Analisi 2

LIUC Scuola di Ingegneria Gestionale

Terza Prova Parziale di Analisi Matematica 28 Marzo 2024

Terza Prova Parziale

Versione C

Cognome

Nome

Numero di matricola

Istruzioni:

SEGNARE immediatamente NOME e COGNOME sul testo dell’esame (negli

appositi spazi) e sui FOGLI PROTOCOLLO.

La prova parziale dura 60 minuti ed è composto da una domanda teorica e 4

esercizi. Alla domanda e ad ogni esercizio è assegnato un punteggio. Il totale

dell’esame è pari a 32 punti. La risposta alla domanda e tutti gli esercizi vanno

svolti sul foglio protocollo avendo cura di riportare TUTTI I PASSAGGI

effettuati per arrivare al risultato finale. La mancanza dei passaggi

numerici corrisponde a penalità sul punteggio, anche a fronte di un

risultato finale corretto.

Alla fine dell’esame dovrete consegnare sia il testo dell’esame che i fogli proto-

collo dove avete svolto gli esercizi. LA BRUTTA COPIA NON deve essere

consegnata.

Regole di comportamento:

NON è consentito l’uso della calcolatrice, è vietato l’uso di ogni altro strumento

elettronico. I telefoni cellulari devono essere spenti e non accessibili. Non è con-

sentito l’uso di appunti o altro materiale. È vietato copiare, ogni tentativo

o comportamento sospetto sarà sanzionato con il ritiro dell’esame

e la bocciatura immediata. Ulteriori sanzioni disciplinari potranno

essere comminate. 1

Domanda Teorica - 7 punti

Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale

Soluzione → ∈

Sia f : [a, b] continua. Allora esiste c tale che

R R

b

Z

1 f (x)dx = f (c)

−

b a a

Dimostrazione

Essendo f continua in [a, b], per il Teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo (= M )

e minimo (= m). Dalla proprietà di monotonia si ha che:

b b b

Z Z Z

1 1 1

≤ ≤

m = mdx f (x)dx M dx = M

− − −

b a b a b a

a a a

b

Z

1 f (x)dx è compreso tra il massimo e il minimo di f . Per la proprietà

quindi il valore −

b a a ∈

dei valori intermedi delle funzioni continue, tale valore sarà uguale a f (c) per qualche c

[a, b].

Esercizio 1 - 6 punti

Si consideri la serie +∞ n

−

x 1

X 2n

2 2

n=2

∈

con x R. ∈

1. (3 punti) Stabilire per quali valori x la serie converge.

R 2

2. (3 punti) Ricavare la somma della serie per x = 3

Soluzione

1. (3 punti) +∞ +∞ +∞

n n

− −

x 1 4(x 1)

X X X

2n n

−

2 = = (2x 2)

2 2

n=2 n=2 n=2

−

La serie è pertanto una serie geometrica di ragione q = 2x 2. Affinchè converga deve

essere 1 3

|2x − −1 −

2| < 1, < 2x 2 < 1, 1 < 2x < 3, <x< .

2 2

2

2. (3 punti)

+∞ +∞ +∞

n n 1 0

2 2 2 2 2

X X X

n

· − − − − − − −

(2 2) = = =

3 3 3 3 3

n=2 n=2 n=0

1 2 1 2 3 2 4

− − −

= + 1= + 1= + 1=

2

2 3 3 5 3 15

1+

− −

1 3

3

Esercizio 2 - 6 punti

Si consideri la successione: 2

cos n

a =

n k

n(n + 1)

1. (3 punti) Si stabilisca, al variare di k, il carattere della successione.

2. (3 punti) Per k = 3 si stabilisca il carattere della serie

+∞

X a n

n=1

Soluzione ∈

1. (3 punti) Una successione a è convergente se esiste un valore l tale che

R

n lim a = l

n

n→+∞

→

Se n +∞ 2

2 cos n

cos n ∼

k k+1

n(n + 1) n + n

2

≤ ≤ ∀n.

dove al numeratore abbiamo che 0 cos n 1 Notiamo che il comportamento

≥ ≥

asintotico del denominatore è il seguente: Se k + 1 1, ovvero k 0

2 2 2

cos n cos n

cos n ∼ ∼

lim lim =0

lim k k+1 k+1

n(n + 1) n + n n

n→+∞ n→+∞

n→+∞

altrimenti, per k < 0, abbiamo

2 2 2

cos n cos n cos n

∼ ∼

lim lim lim =0

k k+1

n(n + 1) n + n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

∀k ∈

Da che si deduce che la successione è convergente R.

2. (3 punti) Per k = 3 +∞ 2

cos n

X 3

n (n + 1)

n=1 3