Analisi matematica 2

R

n a < M

n {a }

per ogni n numero naturale ammissibile. Una successione è inferiormente limi-

n

∈

tata se esiste m tali per cui

R a > m

n

per ogni n numero naturale ammissibile.

{a }

Una successione è limitata se risulta limitata sia superiormente che inferiormente,

n ∈

ossia se esistono m, M tali per cui

R m < a < M

n

per ogni n numero naturale ammissibile.

Una successione non limitata viene detta illimitata.

n −1.

Esempio 5.2. La successione a = (−1) è limitata essendo a = 1 e a =

n 2n 2n+1

2 2 ≥

La successione a = n è inferiormente limitata essendo n 0 per ogni n numero

n

naturale.

Spieghiamo il concetto di convergenza partendo da un esempio. Consideriamo la suc-

cessione 1

a = .

n n

Se diamo valori crescenti alla n osserviamo che la successione a si avvicina a zero.

n

1.5 y

1

0.5 x

2 3 4 5 6 7 8 9 10

La stessa osservazione la possiamo fare per la successione

n

a = .

n n +1

In questo caso però al crescere di n si nota che i valori di a si avvicinano a 1.

n

y

1

0.5 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 67

Capitolo 5 - Successioni numeriche

Possiamo formalizzare questo con il concetto di limite finito di una successione.

{a }

Diremo che la successione converge a un valore reale l, e si indica con

n lim a = l ,

n

n→+∞

se per ogni > 0 scelto a piacere esiste un N > 0 (dipendente da ) tale che

|a − l| < per n > N .

n

Esempio 5.3. Proviamo che 1 = 0.

lim n

n→+∞

Dobbiamo verificare la definizione di limite, quindi:

1 1 1

− −→ −→

< < < n> .

n n

Il limite quindi è vero.

Non tutte le successioni sono convergenti. Ad esempio la successione

2

a = n

n

non verifica la definizione di convergenza. Dando valori sempre più grandi ad n notiamo

che a diventa sempre più grande (si intende con segno positivo).

n {a }

Diremo che la successione diverge a +∞, e si indica con

n lim a = +∞ ,

n

n→+∞

se per ogni M > 0 scelto a piacere esiste un N (dipendente da M ) tale che

a > M, n>N.

n

{a } −∞,

Diremo che la successione diverge a e si indica con

n lim a = +∞ ,

n

n→+∞

se per ogni M > 0 scelto a piacere esiste un N (dipendente da M ) tale che

−M,

a < n>N.

n

Esempio 5.4. Proviamo che 2

lim n = +∞.

n→+∞

Sia M > 0 scelto a piacere. Dobbiamo provare che la successione da un certo n in

poi è sempre più grande di M . √

2 −→

n > M n > M .

Il limite quindi è vero.

68 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

5.1 - Proprietà delle successioni

Esistono successioni che non sono né divergenti né convergenti. Queste successioni sono

dette irregolari e sono tali che non esiste

lim a .

n

n→+∞

{a }

Consideriamo una successione e supponiamo di selezionare, in base a una qualche

n {b }

legge, alcuni suoi termini formando una nuova successione in cui si succedono

n

{a }.

con lo stesso ordine che avevano nella successione Abbiamo cosı̀ ottenuto una

n

{a }.

sottosuccessione di n n−1 ∈

, con n Prendiamo i termini che hanno come

Esempio 5.5. Sia a = N,.

n n+2

indice, ad esempio, i multipli di 3: −

1 2 3n 1

− ··· ···

, , , ,

2 5 3n + 2

Potevamo anche prendere i termini con indice i multipli di 2.

Non dimostriamo la seguente: ∗

{a } ∈

Proposizione 5.6. Sia una successione che ammette limite l . Allora:

R

n

1. Il limite è unico. {a }

2. Ogni sottosuccessione di ammette limite l.

n n

Esempio 5.7. La successione a = (−1) è irregolare perché le sottosuccessioni a

n 2n

e a tendono a limiti differenti (la prima è costante ed uguale a 1, mentre la

2n+1 −1).

seconda è costante ed uguale a

n →

La successione b = (−2) è irregolare perché le sottosuccessioni b +∞ e

n 2n

→ −∞.

b 2n+1

Restano validi, adattondoli alle successioni, i teoremi del confronto e della permanenza

del segno visti nel capitolo precedente.

Veniamo adesso alla nozione di monotonia. Una successione a è

n

• ≤

crescente se a a per ogni n ammissibile;

n n+1

• ≥

decrescente se a a per ogni n ammissibile;

n n+1

• strettamente crescente se a < a per ogni n ammissibile;

n n+1

• strettamente decrescente se a > a per ogni n ammissibile.

n n+1

Nei primi due casi la successione viene detta monotona, negli ultimi due strettamente

monotona. Va da sè che tutte le successioni monotone sono tutte regolari.

2

Esempio 5.8. La successione a = n è strettamente crescente, mentre la succes-

n 2 −

sione b = log n è strettamente decrescente. La successione c = n n è crescente

1

n n

2

ma non strettamente crescente. La successione d = sin n non è monotona.

n

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 69

Capitolo 5 - Successioni numeriche n

∈

Esempio 5.9. La progressione geometrica di ragione q e termine q è tale

R

che:  +∞ se q > 1





 1 se q = 1



n

lim q = |q|

0 se < 1

n 



 ≤ −1

 non esiste seq .

n

{q }

Nel primo caso è crescente e superiormente illimitata, costante nel secondo

caso (o quando q = 0), decrescente e limitata se 0 < q < 1.

5.2 Legame fra limitatezza, convergenza e monoto-

nia delle successioni

Direttamente dalla definizione di successione convergente discende che

Proposizione 5.10. Una successione convergente è limitata. Una successione di-

vergente non è limitata. n

Non tutte le successioni limitate sono convergenti, ad esempio a = (−1) .

n

Esempio 5.11. Una successione irregolare può essere limitata o non limitata. Ad

n n

esempio a = (−1) è irregolare e limitata, mentre b = (−2) è irregolare e non

n n

limitata.

Proposizione 5.12. Una successione limitata e monotona (crescente o decrescen-

te) è convergente.

Il seguente teorema stabilisce una relazione fondamentale tra limiti di funzioni e limiti

di successioni. →

Teorema 5.13. Sia f : a e x un punto di accumulazione per A. Allora:

R 0

lim f (x) = l

x→x 0

{a } − {x }

se e solo se per ogni successione a valori in A e convergente a x risulta

n 0 0

lim f (a ) = l .

n

n→+∞

∈ → →

Dimostrazione. Siano x e l Se f l per x x , allora, fissato > 0, esiste

R.

0 0

δ > 0 tale che |f − |x − |

(x) l| < per ogni x < δ .

0

{a }

Ma se è convergente a x , in corrispondenza di questo δ esiste un N tale che

n 0

|a − | |f −

x < δ per n > N e quindi (a ) l| < .

n 0 n

Viceversa, supponiamo per assurdo che lim f (a ) = l ma che lim f (x) = l non sia

n

n→+∞ x→x 0

vero. Allora esiste > 0 tale che per ogni δ > 0 possiamo trovare una successione

70 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

5.3 - Legame fra limitatezza, convergenza e monotonia delle successioni

1

∈ |a − | |f − ≥ {a }

a A tale che x < e (a ) l| . La successione converge a x

n n 0 n n 0

n

ma f (x ) non tende a l, contro l’ipotesi.

n

Questo ragionamento si può estendere anche al caso infinito, che però non trattiamo.

Esempio 5.14. Mostriamo che la successione n

1

a = 1 +

n n {a }

è convergente. Per provare questo mostreremo che è monotona crescente e

n

limitata. ∈

Per la crescenza basta mostrare che a > a per ogni n ossia

N,

n+1 n

n+1 n

n +1

n +2 > .

n +1 n

Abbiamo infatti: n+1 n n+1

n +2 n +1 n(n + 2) n +1 =

= 2

n +1 n (n + 1) n

n+1

1

1 n +1

n +1 −

− > 1 =1

1 2

(n + 1) n n +1 n

n ≥

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato (1 + x) 1 + nx. Si noti che a = 2

1

Analogamente si dimostra che la successione n+1

1

b = 1 +

n n

è decrescente e, per ogni n naturale, a < b . Osserviamo anche qui che b = 4.

n n 1

≤

Allora segue che a è limitata, ossia 2 a < 4.

n n

{a }

La successione converge al numero di Nepero e.

n

Proposizione 5.15. Una successione monotona (crescente o decrescente) non è

irregolare.

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 71

Capitolo 5 - Successioni numeriche

5.3 Algebra dei limiti e forme indeterminate

{a } {b }

Proposizione 5.16. Siano date due successioni e convergenti rispettivamente

n n

ad l e l . Allora si può dimostrare che

1 2 lim (a + b ) = l + l ,

n n 1 2

n→+∞ − −

lim (a b ) = l l ,

n n 1 2

n→+∞

lim a b = l l ,

n n 1 2

(5.1) n→+∞

a l

n 1 6

lim = l = 0,

2

b l

n→+∞ n 2

l

b 6

(l , l ) = (0, 0).

lim a = l 2

n 1 2

n 1

n→+∞

Esempio 5.17. Siano date le successioni n

1 → →

0, b = 1.

a = n

n n n +1

Allora →

a + b 1,

n n

− → −1,

a b

n n

− →

b a 1,

n n

→

a b 0,

n n

a n → 0,

b n

b →

a 0.

n

n

Vi sono tre problemi con le formule (5.1):

• Coinvolgono solo successioni convergenti;

• → →

Nel rapporto fra successioni, se a 0 e b 0 allora il limite non è calcolabile

n n

poiché porge una forma indeterminata;

• → →

Nell’ultima formula, se a 0 e b 0 allora il limite non è calcolabile poiché

n n

porge una forma indeterminata.

Si estende alle successioni la teoria delle forme indeterminate vista per i limiti di funzioni

reali di variabile reale. Valgono inoltre le definizioni di successione infinitesima e infinita

analoghe a quelle date per le funzioni.

Esempio 5.18. Consideriamo il limite

√ √

−

lim n +1 n .

n→∞

72 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

5.3 - Algebra dei limiti e forme indeterminate

Non possiamo usare l’algebra dei limiti poiché si presenta la forma indeterminata

− ∞.

+∞

Per