Analisi matematica 2

Consideriamo la funzione polinomiale f (x) = 2x + 3x 5. Calcoliamo f (1):

2 − −

f (1) = 2(1 ) + 3(1) 5 = 2 + 3 5 = 0

2

3 Limiti

3.1 Definizione di Limite

Sia f (x) una funzione definita in un intorno di a. Si dice che il limite di f (x) per x che

tende a a è L: lim f (x) = L

x→a

Se per ogni ϵ > 0 esiste un δ > 0 tale che:

|x − |f −

0 < a| < δ =⇒ (x) L| < ϵ

3.2 Esempio di Limite

Calcolare il limite: lim (3x + 1)

x→2

Sostituendo x con 2, otteniamo: 3(2) + 1 = 7

Pertanto, il limite è 7.

3.3 Proprietà dei Limiti

• Somma dei Limiti: lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x→a x→a x→a

• · ·

Prodotto dei Limiti: lim [f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x)

x→a x→a x→a

4 Continuità

4.1 Definizione di Continuità

Una funzione f (x) è continua in a se:

• f (a) è definita

• lim f (x) esiste

x→a

• lim f (x) = f (a)

x→a

4.2 Esempio di Continuità

2 −1

x ̸

per x = 1. Possiamo calcolare lim f (x):

Consideriamo la funzione f (x) = x→1

x−1

2 − −

x 1 (x 1)(x + 1)

lim = lim = lim (x + 1) = 2

− −

x 1 x 1

x→1 x→1 x→1

Poiché f (1) non è definita, la funzione non è continua in x = 1.

3

4.3 Teoremi sulla Continuità

• Teorema di Bolzano: Se f è continua nell’intervallo [a, b] e f (a) e f (b) hanno

∈

segni opposti, allora esiste almeno un c (a, b) tale che f (c) = 0.

• Teorema di Weierstrass: Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato

ha massimo e minimo.

5 Derivata

5.1 Definizione di Derivata

La derivata di f in x è definita come: −

f (x + h) f (x)

′

f (x) = lim h

h→0

5.2 Interpretazione Geometrica

La derivata rappresenta la pendenza della tangente al grafico della funzione in un punto.

′ ′

Se f (x) > 0, la funzione è crescente; se f (x) < 0, è decrescente.

5.3 Esempio di Derivata

2

Calcoliamo la derivata di f (x) = x : 2 2 2

2 2 −

− x + 2xh + h x

(x + h) x

′ = lim = lim (2x + h) = 2x

f (x) = lim h h

h→0 h→0

h→0

5.4 Regole di Derivazione

• ′ ′ ′

Regola del Prodotto: (f g) = f g + f g

′

′ ′

• fg f g−f g

Regola del Quoziente: = 2

g

• ′

Regola della Derivazione della Composizione (Regola della Catena): (f (g(x))) =

′ ′

·

f (g(x)) g (x)

5.5 Derivate di Funzioni Elementari

• d n n−1

x = nx

dx

• d x x

e = e

dx

• d 1

ln x =

dx x

• d d −

sin x = cos x e cos x = sin x

dx dx 4

6 Massimi e Minimi

6.1 Teorema di Fermat ′

Se f ha un massimo o minimo locale in x = c e f è derivabile in c, allora f (c) = 0.

6.2 Esempio di Massimo e Minimo

2

−x

Consideriamo f (x) = + 4x. Troviamo i punti critici:

′ −2x

f (x) = + 4 = 0 =⇒ x = 2

Calcoliamo il secondo derivato: ′′ −2

f (x) =

′′

Poiché f (2) < 0, abbiamo un massimo locale in x = 2.

6.3 Ottimizzazione

Utilizzo delle derivate per risolvere problemi di ottimizzazione. Ad esempio, trovare il

valore massimo di un’area rettangolare data una lunghezza di perimetro fissato.

7 Integrali

7.1 Integrale Indefinito

Definizione e notazione: Z f (x) dx = F (x) + C

dove F è una funzione la cui derivata è f , e C è una costante arbitraria.

7.2 Esempio di Integrale Indefinito

Calcoliamo l’integrale indefinito: 3

Z x

2 + C

x dx = 3

7.3 Integrale Definito

Il valore di un integrale definito è dato da:

b

Z −

f (x) dx = F (b) F (a)

a 5

7.4 Esempio di Integrale Definito

Calcoliamo l’integrale definito: 1

1 3

Z x 1

2

x dx = =

3 3

0 0

7.5 Teorema Fondamentale del Calculus

Collegamento tra derivazione e integrazione, affermando che l’integrazione è l’inversa della

derivazione.

7.6 Tecniche di Integrazione

• Integrazione per Sostituzione: Usata per semplificare l’integrale sostituendo

una variabile.

• R R

−

Integrazione per Parti: u dv = uv v du.

8 Serie

8.1 Serie Numeriche

Definizione e convergenza delle serie numeriche. Una serie è la sommatoria di una se-

quenza: ∞

X

S = a n

n=1

8.2 Criteri di Convergenza

Esempi di criteri di convergenza:

• P P

≤ ≤

Criterio del confronto: Se 0 a b e b converge, allora a converge.

n n n n

8.3 Serie di Potenze

Definizione e raggio di convergenza. Una serie di potenze ha la forma:

∞

X n

−

a (x c)

n

n=0

9 Funzioni di più variabili

9.1 Definizione e dominio ≥

Le funzioni di più variabili f (x, y), con il loro dominio definito da condizioni come x 0,

≥

y 0. 6