Analisi matematica 1 e 2

ANALISI MATEMATICA 1 E 2

� INTRODUZIONE: COSA STUDIA L’ANALISI

MATEMATICA

L’Analisi Matematica studia i limiti, la continuità, le derivate, gli integrali e le loro estensioni a più

variabili. Si occupa di capire come variano le grandezze, di modellizzare fenomeni reali e di fornire

il linguaggio matematico del cambiamento.

Divisione naturale del corso:

Analisi 1: funzioni reali di una variabile reale.

 Analisi 2: estensione a funzioni di più variabili, calcolo vettoriale e superfici.

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ANALISI 1: UNA VARIABILE REALE

1. INSIEMI NUMERICI E STRUTTURE

ℝ è un corpo ordinato completo: permette di definire limite, continuità, e integrali.

 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Insiemi importanti: .

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2. SUCSESSIONI E SERIE

Successioni:

Limite: \lim_{n \to \infty} a_n = L

 Criteri: monotonia + limitatezza = convergenza

 Successioni notevoli: \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e

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Serie: Convergenza = limite delle somme parziali

 Serie geometriche, armoniche, alternanti

 Criteri: confronto, rapporto, radice, Leibniz

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3. FUNZIONI E LIMITI

Limiti: \lim_{x \to a} f(x) = L

 Continuità: il limite coincide con il valore della funzione

 Punti di discontinuità: eliminabili, di salto, essenziali

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4. DERIVATE

Definizione: f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

 ⇒

Derivabilità continuità (ma non viceversa!)

 Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, catena

 Teoremi: Fermat, Rolle, Lagrange (MVT)

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5. STUDIO DI FUNZIONE

Analisi del segno, monotonia, concavità

 Derivate prime e seconde

 Asintoti: orizzontali, verticali, obliqui

 Punti critici: massimo, minimo, flessi

 Grafico completo

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6. INTEGRALI

Integrale indefinito:

Antiderivata: F’(x) = f(x) \Rightarrow \int f(x) dx = F(x) + C

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Integrale definito:

Riemann: \int_a^b f(x) dx

 Proprietà: linearità, additività, monotonia

 Teorema fondamentale del calcolo:

 \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Tecniche:

Sostituzione, integrazione per parti, decomposizione in fratti semplici

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ANALISI 2: PIÙ VARIABILI E CALCOLO VETTORIALE

1. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

 Curve di livello, superfici, grafici in 3D

 Limiti: devono essere indipendenti dalla direzione di avvicinamento

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2. DERIVATE PARZIALI E DIFFERENZIABILITÀ

Derivate rispetto a ciascuna variabile

 Derivate direzionali e gradiente

 Jacobiana per funzioni vettoriali

 Differenziabilità implica continuità e viceversa solo con condizioni aggiuntive

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3. MASSIMI, MINIMI, LAGRANGE

Punti critici: \nabla f = 0

 Matrice Hessiana e test del determinante

 Vincoli: moltiplicatori di Lagrange:

 \nabla f = \lambda \nabla g

4. INTEGRALI MULTIPLI

Doppio e triplo integrale

 Cambi di variabile (coordinate polari, cilindriche, sferiche)

 Teorema di Fubini: possibile scambiare l’ordine

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5. CAMPI VETTORIALI E CURVE

Un campo vettoriale è una funzione \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

 Linee di flusso

 Integrale curvilineo: lungo una curva C

 \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}