Analisi I e Analisi matematica 2

ANALISI 1

FUNZIONI E PROPRIETA’

• : → () =

Funzioni suriettive: una funzione è detta SURIETTIVA se

∀ ∈ ∃ ∈ : () =

• : →

Funzioni iniettive: una funzione è detta INIETTIVA se a valori distinti in A corrispondono valori

distinti in B (,

∀ ∈ ∃! ∈ : ) ∈ ℝ

• : →

Funzioni biunivoche: una funzione è detta BIUNIVOCA se è sia iniettiva che suriettiva.

ELEMENTI DI UNA FUNZIONE

• ⊆ ℝ,

Punto di accumulazione: dato un punto x si dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE PER L’INSIEME A se in

ogni intorno di x vi sono infiniti elementi di A.

• ∈ ⊆ ℝ

Punto isolato: un qualunque elemento si dice PUNTO ISOLATO se esiste almeno un intorno di x

che non contiene nessun elemento di A escluso x.

• ⊆ ℝ,

Insieme chiuso: dato A si dice INSIEME CHIUSO se contiene tutti i suoi punti di accumulazione e tutti

i suoi punti isolati.

• ⊆ ℝ, ∈

Punto interno: dato un punto si dice PUNTO INTERNO DI A se esiste un intorno di x tutto

contenuto in A.

• ⊆ ℝ,

Insieme aperto: dato A si dice INSIEME APERTO se tutti i suoi punti sono punti interni ad A.

• ∈ ℝ ⊆ ℝ

Punto di frontiera: un elemento si dice PUNTO DI FRONTIERA per l’insieme se in ogni intorno

di x ci sono elementi di A e del complementare di A.

• ∈ ℝ

Punto esterno: un punto x si dice PUNTO ESTERNO di A se non è contenuto in A e non è un suo punto di

frontiera.

ANDAMENTO DELLE FUNZIONI

• : ⊆ ℝ → ℝ , ∈ < ,

Funzioni crescenti: una funzione è detta CRESCENTE IN A se, per ogni con si

() < ()

ha

• : ⊆ ℝ → ℝ , ∈ <

Funzioni decrescenti: una funzione è detta DECRESCENTE IN A se, per ogni con

, () > ()

si ha

• : ⊆ ℝ → ℝ ()

Funzioni limitate: una funzione è detta SUPERIORMENTE LIMITATA se la sua immagine è

ℝ superiormente limitato. : ⊆ ℝ → ℝ

un sottoinsieme di una funzione è detta INFERIORMENTE

() ℝ inferiormente limitato.

LIMITATA se la sua immagine è un sottoinsieme di

• : ⊆ ℝ → ℝ ∈

FUNZIONE CONTINUA: una funzione si dice CONTINUA in se:

0

|() | |

)|

∀ > 0 ∃ > 0: − ( < , ∀ ∈ : − <

0 0

TEOREMA DEGLI ZERI

[,

: ] → ℝ

Sia continua

(,

()() < 0 ⇒ ∃ ∈ ): () = 0

Dim. () < 0

Supponiamo

S= { [,

∈ ]: () < 0} ⊆ ℝ

S, )

= ( = 0

0 0 ) ) )

( ≠ 0 ( < 0 ( > 0

Per assurdo se allora oppure

0 0 0 S

)

( < 0 ⇒ ∃ > 0: ( + ) < 0 =

NO, poiché

0 0 0 S

)

( > 0 ⇒ ∃ > 0: ( − ) > 0 =

NO, poiché

0 0 0

)

( = 0

Quindi 0

TEOREMA DI WEIERSTRASS

[,

: ] → ℝ [, ]

Sia una funzione continua, allora in esistono un punto di massimo e di minimo assoluti della

funzione.

Dim.

Una funzione continua è superiormente e inferiormente limitata (per un teorema dimostrato), quindi sappiamo che

esiste [, {():

∈ ℝ: () ≤ ∀ ∈ ]. ([, ]) = ∈ [, ]}

M è l’estremo superiore dell’immagine

[, [,

∀ ∈ ] ∃ ∈ ]: = ( ) ≥ ()

Devo dimostrare che 1 1 [,

∈ ]: () = .

Supponiamo per assurdo che non esista nessun punto

1 [,

ℎ() = ]

Quindi la funzione è ben definita in ed è continua nell’intervallo. Essendo M l’estremo superiore

−() 1

[,

([, ]), ∀ > 0∃ ∈ ]: − () < , ℎ() > ℎ()

dell’insieme si ha che ovvero , cioè la funzione non è

limitata ma va in contraddizione con l’affermazione del teorema sopra citato.

TEOREMA DI FERMAT

(,

: ) → ℝ ∈ (, ) . ()

sia e sia un punto di massimo (o di minimo) relativo per Allora se è derivabile in ,

0 0

′ ( )

= 0.

si ha che 0

Dim. ( +ℎ)−( ) ( +ℎ)−( )

0 0 0 0

lim lim

Considerando i due limiti e , questi sono uguali per l’ipotesi che sia continua

−

ℎ ℎ

+ ℎ→0

ℎ→0

′( ).

in e fanno Supponiamo il punto un punto di massimo relativo, quindi per ogni h abbastanza piccolo ma

0 0 0 ( +ℎ)−( ) ( +ℎ)−( )

0 0 0 0

( + ℎ) − ( ) ≤ 0, ≥ 0 ℎ < 0 ≤ 0 ℎ > 0.

non 0 si avrà: quindi e

0 0 ℎ ℎ

Per il teorema della permanenza del segno abbiamo:

′ ′

( )

≤ 0 ( ) ≥ 0.

0 0

− + ′ ′ ′ ′ ′

( ) ( ), ( ) ( )

≤ 0, = ( ) = 0.

Quindi le condizioni implicano necessariamente che

0 0 0 0 0

− + − +

TEOREMA DI ROLLE (,

: [, ] → ℝ [, ], ) () = (),

Sia una funzione continua in derivabile in e tale che allora esiste

(,

∈ ): ′() = 0

Dim. [,

Essendo continua in ], per il teorema di Weierstrass esiste un punto di massimo assoluto e un punto

1 2

[,

di minimo assoluto. Se = e = , allora, essendo () = (), la funzione è costante in ]. In questo

1 2

′ () (,

caso si ha = 0 ∀ ∈ ). (,

Se uno dei due punti è interno all’intervallo ), allora per il teorema di Fermat si ha che in uno dei due punti

la derivata prima si annulla e il teorema è dimostrato.

TEOREMA DI LAGRANGE (o valor medio) ()−()

[, (,

: ] → ℝ [, ] (, ). ∃ ∈ ): = ′().

sia una funzione continua in e derivabile in Allora −

Dim. ()−()

(

() = () − − ) . [, ] (, ).

Consideriamo la funzione Questa è continua in e derivabile in Inoltre,

−

() = () = ().

si ha ()−()

′ ′ ′

(, () () ()

∈ ): = 0, 0 = = −

Per il teorema di Rolle si ha che esiste un punto quindi .

−

TEOREMA DI CAUCHY ′

[, () (,

, : ] → ℝ [, ] (, ), ≠ 0 ∀ ∈ ).

Siano due funzioni continue in e derivabili in con allora esiste

′ ()

()−()

(,

∈ ): = .

′ ()

()−()

Dim. ()−()

() = () − (() − ()) .

Consideriamo la funzione ()−()

() ≠ () () ′() = 0

Abbiamo perché altrimenti per il teorema di Rolle applicato alla funzione si avrebbe il

che va contro l’ipotesi del teorema che stiamo dimostrando.

TEOREMA DE L’HÔPITAL ′ ()

∈ (, ) , (, ), ≠ 0 ∀ ∈ (, ),

Sia e siano due funzioni derivabili in escluso al più , con escluso al

0 0

più .

0 ′() ()

lim () = 0 lim = , lim = .

Se allora anche

′() ()

→ → →

0 0 0

Dim. ( ) = ( ) = 0 (, ).

Ponendo possiamo estendere con continuità le due funzioni su

0 0

(,

∈ ) > [ , ]

Sia . Applicando il teorema di Cauchy all’intervallo abbiamo:

0 0

() () − ( ) ′()

0

= =

() () − ( ) ′()

0

+ +

∈ ( , ). → →

Con Quindi, se , anche . Poiché si avrà:

0 0 0

′() ′()

lim = ℎ lim = .

′() ′()

+ +

→ →

0 0

Quindi avremo: ′() ()

lim = lim = .

′() ()

+ +

→ →

0 0

DEFINIZIONE

: → ℝ ∈ .

Sia una funzione e sia Si dice che la funzione è crescente (non decrescente) in se esiste un

0 0

( )

intorno in cui si ha:

0 () − ( )

0 ( ).

> 0 ∀ ∈ ⋂

0

−

0

FORMULA DI TAYLOR E DI MAC LAURIN

():

Polinomio di Taylor con centro della funzione

0 () ( )

"( )

′

() ) ( )( )

= ( + − + ( − ) + ⋯ + ( − )

! !

Resto nella forma di Peano:

(+) ( ) )

+ ( , −

+

( ) ( )

, − = −

( + )!

( , − ) =

→

Formula di Mac Laurin: () ()

"()

′

()

() = () + + + ⋯+ + (, )

! !

TEOREMA DELLA FORMULA DI TAYLOR () (+1)

(, (, () (,

: ) → ℝ ∈ ). ∀ ∈ ) ( )

Sia data la funzione e sia Supponiamo che esista allora si

0 0

avrà: ()

() = + ( , − )

0 0

Dim. ()

()−

lim .

Consideriamo il limite +1

(− )

→ 0

0

Applicando n volte la regola de l’Hôpital, ci si riconduce al seguente limite:

() () (+1)

()

− ( ) ( )

0 0

lim = ,

( (

+ 1)! ( − ) + 1)!

→ 0 0

(+1) ( ).

poiché per ipotesi esiste 0

Quindi si avrà: (+1)

() ( )

() −

0

lim = ,

+1

( ) (

− + 1)!

→ 0 0

da cui si ottiene: ()

() −

(+1)

( ( ) )

+ 1)! = + ( , − lim ( , − ) = 0.

0 0 0 0 0

+1

( )

− → 0

0

Dalla formula precedente otteniamo: (+1) ( ) )

+ ( , −

0 0 0 +1

() ( )

() = + − .

0

( + 1)!

TEOREMA DELLA FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI LAGRANGE ()

(,

: ) → ℝ; ∈ (, ) () (, )

Sia data una funzione sia e supponiamo che la derivata sia continua in e che

0

(+1) ()

∀ ∈ (, ),

sista escluso al più allora si ha:

0 () ( )

"( )

0 0

′ 2

) ( )( ) ( ) ( ),

() = ( + − + ( − ) + ⋯ + − + , −

0 0 0 0 0 0 0

2! !

(+1) (̅ )

+1

( ) ( )

, − = −

0 0 0

( + 1)!

),

̅ = + ( − 0 < < 1.

Dove 0 0

Dim. [ , ] >

Applichiamo il teorema di Cauchy alle funzioni della variabile y nell’intervallo ; quindi:

0 0

()

() +1

() = ∑ ( − ) , () = ( − )

!

=0

(

̅ ∈ , ) >

Esiste allora, per il teorema di Cauchy, , tale che:

0 0

() − ( ) ′( ̅ )

0 =

() − ( ) ′( ̅ )

0

Da cui: () ( )

1

0

=0 (+1)

∑ ( (̅ )( )

() − − ) − ̅

! !

=

+1

) )

−( − −( + 1)( − ̅

0

Semplificando: () (+1)

( ) (̅ )

0 +1

( ( )

() = ∑ − ) + − .

0

(

! + 1)!

=0

DEFINIZIONE (,

: ) → ℝ, (, ).

Sia data una funzione derivabile in Diciamo che la funzione è convessa nell’intervallo in cui la si

∀ ∈ (, ) ( , ( ))

considera se il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto al grafico

0 0 0

della funzione. Diciamo che è concava quando sta al di sotto della retta tangente.

DEFINIZIONE

∈ (, ) > 0 , (, ),

Un punto si dice punto di flesso per la funzione se esiste tale che la funzione derivabile in

0 ( , + ) ( , − )

è convessa in ed è concava in (o viceversa).

0 0 0 0

TEOREMA (crescenza e decrescenza)

(,

: ) → ℝ ∈ (, )

Sia data la funzione derivabile in se:

0

′ ( )

> 0 ⇒

0 0

′ ( )

< 0 ⇒

0 0

Dim: )

() − (

0

lim =>0

−

→ 0 0

′

(, (, () (,

: ) → ℝ ∀ ∈ ) > 0 ∀ ∈ ) ⇒ è (, )

DEFINIZIONE [,

: ] → ℝ , () > 0 ∀ ∈ [, ]

Data una funzione continua limitata e data

[,

() = ({(, ) ∈ ] × ℝ ∶ 0 ≤ ≤ ()}) ∈ [, ]

con

{ } [,

= , , ⋯ , ⊆ ]

0 1

= < < ⋯ < =

0 1

Si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione P:

( )

= (, ) = ∑ (()) ∙ −

]

∈[ ; −1

−1

=1

Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione P:

( )

= (, ) = ∑ (()) ∙ −

]

∈[ ; −1

−1

=1

Per ogni partizione P si ha che: (, ) < (, );

in particolare: ( − ) ≤ (, ) ≤ (, ) ≤ ( − )

Dove: [,

= inf{(), ∈ ]} = sup {(), ∈ [, ]}

[,

]

Prese due partizioni di si ha che:

1 2 ) );

(, < (,

1 2

quindi si ottiene: (, ) ≤ inf {(, ), [, ]}

E [,

sup{(, ), ]} ≤ (, ).

Al variare delle partizioni avremo dunque:

() = sup{(, ), } ≤ inf{(, ), } = ()

DEFINIZIONE () [, ] [, ]

Una funzione si dice integrabile su se:

() = () = ∫ ()

TEOREMA [,

[, ], [, ] ∀ > 0 ∃ ∈ ]: |(, ) − (, )| <

Data limitata in essa è integrabile su se e solo se

TEOREMA

: [, ] → ℝ , ∈ ℝ

Sia una funzione monotona. Allora essa è integrabile:

Dim. )

> 0 () = ( = ( ).

Fissiamo e sia non decrescente. In questo caso si ha Se P è una partizione di

−1

,

modulo si avrà:

)( ) )

(, ) − (, ) = ∑( − − &l