Analisi I e Analisi matematica 2

FUNZIONI DA TRASFORMARE IN SERIE

0 2

( − ) ( − )

0 0

′ () ()

) ( )( )

() = ( + − + "( ) + ⋯ + ( ) + ( − )

0 0 0 0 0 0

2! !

Se è derivabile infinite volte si ha:

∞ ()

( )

0

() = ∑ ( − ) → ò è ℎ

0

!

=0 ()

lim ( − ) = 0

Per far sì che la Serie di Taylor esista deve essere 0

→∞

TEOREMA ∈ (, )

(,

: ) → ℝ

Sia 0

() ()|

| < ( , )

( )

+1 ̅

(

)

( ) ( )

+1

( ) ( )

− = ( − ) ⟹ − → 0 → +∞

0 0 0

( )

+ 1 !

TEOREMA (criterio di condensazione)

{ } ⊆ (0, +∞)

Sia monotona decrescente

∞ ∞

∑ ∑

2

è convergente se e solo se converge la serie

2

=0 =0

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

()

(), ())

(, (), ̇ ⋯ , = 0 → equazione differenziale di ordine n

Un’equazione differenziabile ha come soluzione una funzione derivabile n volte tale che:

()

(), ())

(, (), ̇ ⋯ , ≡ 0 ∀ ∈ I

PROBLEMA DI CAUCHY

()

()̇ + ()() + () = 0

{ )

( =

0 0

Con:

∈ ℝ

0

()

̇ = ()

, , ⊆ ℝ

∈I

, : I → ℝ () ≠ 0, ∀ ∈ I

soluzioni dell’equazione, funzioni derivabili

1 2

= 1,2 ()

() + ()

()

̇ = −

()

(, (,

= ) → [ + , − ] ⊆ )

() ()

→ ℎ à () () () ≡ 1 ∀

() ()

()

̇ = −()() − () → forma normale

̇

() ( ) ( ) () ()

= + ∫ () = + ∫ −() − () = − ∫ () − ()

0 0 0

0 0 0

| |()||

() ()| () ()) () ()|

− = |∫ ()( − | ≤ ∫ −

1 2 2 1 1 2

0 0

| |()|

() ()|

= max − ⟹ ≤ ∫

1 2

∈[+,−] 0

|| ⟹ ∃: () < ∀ ∈ [ + , − ]

|()|

≤ ∫ ≤ ( − )

0

0

Da qui troviamo che

1

( ) ()

: − < ⟹ = ()

0 1 2

2 ′

() ()

= ⇒

Per sufficientemente vicino a si ha

0 1 2

() ()

̇ = −()() − () ̇ = −()()

La differenza di soluzioni di è una soluzione dell’equazione omogenea

≡ 0 ⟹ () ≡ 0

-() soluzione banale

()

Sia non identicamente nulla

()

̇

()

̇ = −()() ⟹ = −() ∀ ∈

()

̇ ()

∫ = − ∫ () ⟹ ∫ =∫ , = ()

()

Quindi:

− ()

∫

ln| | | |

∫ = − ∫ () ⟹ = − ∫ () + ⇒ =

− ()

∫

() = 1

(),

L’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea è uno spazio vettoriale, infatti le soluzioni sono funzioni lo

1

()

spazio delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di (dimensione 1). 1

()

Nel caso non omogeneo, l’insieme delle soluzioni è una varietà affine di (spazio unidimensionale traslato).

METODO A COEFFICIENTI COSTANTI

̈ + ()̇ + () + () = 0

() ()

+ →

tutte le possibili soluzioni dell’equazione omogenea con soluzioni linearmente

1 1 2 2 1 2

indipendenti dell’equazione omogenea.

() () () ()

() = + → imponiamo che sia soluzione e omettiamo la dipendenza da t per comodità

1 1 2 2

̇ ̇

̇ = + + ̇ + ̇

1 1 2 2 1 1 2 2

̇ ̇

+ = 0 ℎè ℎ

1 1 2 2

̇ ̇

̈ = ̇ + ̇ + ̈ + ̈

1 1 2 2 1 1 2 2

Sostituzione nell’equazione:

̇ ̇ ) )

̇ + ̇ + ̈ + ̈ + ( ̇ + ̇ + ( + + = 0

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

(̈ )

+ ̇ + = ∙ 0 = 0

1 1 1 1 1

(̈ )

+ ̇ + = ∙ 0 = 0

2 2 2 2 2

Quindi:

̇ ̇

̇ + ̇ + = 0

1 1 2 2

Allora:

̇ ̇

+ = 0

1 1 2 2 ̇ ̇

{

con incognite

1 2

̇ ̇

̇ + ̇ = −

1 1 2 2

1 2

( ) ≠ 0

Ha soluzione unica se ̇ ̇

1 2

0 ̇ ̇

Determinante Wronskiano≠ perché sono linearmente indipendenti.

1 2 ̇ ̇

,

Risolvendo il sistema troviamo la coppia di funzioni .

1 2

(),

()

Integrando troviamo e quindi la soluzione particolare.

1 2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARATE

()

̇ = ()(()) : → ℝ

: ℝ → ℝ

() )

̇ = ()(()) → ∃ : ( = 0 ⟹ ̅ () ≡ è soluzione

0 0 0

̅̇ () ()) )

≡ 0 = ()(̅ = ()( = () ∙ 0 = 0

0

() ∈

Sia una nuova soluzione con

(()) ≠ 0 ∀ ∈

Quindi

̇ () = () ∈

0

(())

()

̇ ()

∫ = ∫ () → ∫ = ∫ ()

(()) ()

( )

0 0 0 0

()

()

̇ = ()(())

{ ⇒∫ = ∫ ()

)

( = ()

0 0

0 0

DEFINIZIONE |() ()| | |

− < ∙ ∀, ∈ ℝ

La funzione è detta Lipschitziana (o di Lipschitz) se

|() )| | |

− ( < ∙

Localmente Lipschitziana se 0 0

→costante di Lipschitz

1

∈ ⟹

Se in un intorno di è localmente Lipschitziana in

0 0

TEOREMA DI CAUCHY ̇ = ()()

∃! {

Supponiamo continua e localmente Lipschitziana in , allora Soluzione massimale di

0 )

( =

0 0

Soluzione massimale→soluzione definita sul più grande intervallo possibile

FATTORE INTEGRANTE

̇ + () = () , ⊆ ℝ) (),

Per risolvere (con funzioni continue in si può usare una funzione speciale detta

()

̇ = ()().

fattore integrante, cola proprietà che

̇

() + ()() = ()() ⟺ (()()) = ()()

Integrando:

()() = ∫ ()() +

() ≠ 0 1

() = ∫ ()() +

() () ()

() () () () =

Per costruire consideriamo una primitiva di e poniamo

() () ()

⟹ () = ∫ () +

() ()

() = ̇ = ()()

verifica le proprietà ?

() () () ()

() = = () = () = ()() ⟺ ̇ = ()()

FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI 2 3

: → ℝ ℝ (ℝ ℝ ).

Una funzione si dice di due o più variabili se il suo dominio è un sottoinsieme di

(, ) (, ).

Se una funzione è di due, tre o n variabili, il valore che assume in un punto si denota con

3 2

ℝ ≅ ℝ × ℝ

Il grafico di una funzione di più variabili è il sottoinsieme di definito dall’insieme:

= {(, , ) ∈ × ℝ: = (, )}

La composizione di funzioni e successioni di più