Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
SPAZI Rm, APPLICAZIONI LINEARI, MATRICI, SISTEMI LINEARI
COPPIA ORDINATA
due componenti fra () -> due coppie sono uguali se:
- coppia nulla: 0 = (0,0)
- 1a coppia unità: e1 = (1,0)
- 2a coppia unità: e2 = (0,1)
insieme: R2
N-PLA ORDINATA
sequenza di m componenti fra () -> uguali se:
- m-pla nulla: 0 = (0,...,0) m volte
- m-pla unità: em = (0,...,1) 1 in ma posizione m volte
insieme: Rm
SISTEMA DI RIFERIMENTO
- NEL PIANO:
- origine
- due rette ortogonali
- due punti unità
- sulle rette
- NELLO SPAZIO:
- origine
- tre rette ortogonali
- non complanari
- tre punti unità sulle rette
APPLICAZIONI LINEARI
- FRA SPAZI Rm
APPLICAZIONE
da un insieme dominio ad -> associa ad ogni elemento del dominio un'immagine del codominio
- Le operazioni sono uguali:
- stesso dominio
- stesso codominio
- a ogni elemento del dominio è associata la stessa immagine
A → B a → b b = espressione in a
f: A → B f(a) = espressione in a
ℝm → ℝm m variabili ⟶ m polinomi omogenei di 1° grado nelle m variabili
F(x1,…,xm) = a1,1x1+…+a1,mxm, am,1x1+…+am,mxm
ai,j (i=1,…,m) (j=1,…,m)
Esempio: ℝ → ℝ x ⟶ ax
ℝ2 → ℝ x,y ⟶ ax+by
ℝ → ℝ2 x ⟶ ax+b
ℝ2 → ℝ2 x,y ⟶ ax+b1, cx+dy
matrice associata:
[ F ]
_m×m m righe, m colonne
v =
[ a1,1 … a1,m ]
[ am,1 … am,m ]
Osservato:
F(1,0,…,0)= (a1,1t …+0a1,m, 1am,1t …+0am,m) =(a1,1,a2,1,…,am,1)
L'immagine della m° n-pla unità è la m° colonna della matrice
2) Composizione:
Date f, g applicazioni t.a.b che:
A → B
a ⟶ g∘f(a)
Si ha un'applicazione
A → C
a ⟶ g∘f(a)
Proprietà:
- Associativa: (h∘g)∘f = h∘(g∘f) (h∘g∘f) = h∘(g∘f(a))
- Elementi neutri: applicazione che ad ogni “a” associa se stesso (“identità su A”) idA(a) = a
per ogni a ∈ A f ∘ idA = f = idB ∘ f
sistema con due equazioni:
- infinite
- nessuna
sistema con tre equazioni:
- una
- infinite
- nessuna
equazione: punto nello spazio
sistema di due equazioni: retta che interseca due piani
sistema di tre equazioni: punto di intersezione di tre piani
M equazioni N incognite:
polinomio omogeneo di 1g. in m incognite =
costante
Soluzione: m-pla ordinata di numeri tali che sostituiti alle incognite rende vera l'uguaglianza
per ogni m≥2 se almeno un coefficiente ≠0 → infinite soluzioni
(m-1 componenti eletta)
un sistema lineare in una sequenza di m incognite ha come soluzione una m-pla ordinata di numeri tali da risolvere ogni equazione
Sistemi Lineari e Matrici:
un sistema di m equazioni lineari in m incognite è caratterizzato da una matrice m×(m+1)
scritta come equazione:
Ax=b
PROPOSIZIONE
Se A ha un'inversa, allora è unica (A-1)
Dimostrazione:
B', B" inversa di A.
B' = B'Im = B'(AB")B" = ImB" = B"
TEOREMA:
Sia Am×m non singolare, Bn×m t.c. ∀pm×1 è unica soluzione di Ax = p e x = Bp
allora
A è invertibile e A-1 = B
DIMOSTRAZIONE
∀p (AB)p = A(Bp) = p = Imp dunque AB = Im
∀q (BA)q = B(Aq) = q = Inq dunque BA = Im
PROPOSIZIONE
Sia Am×m. Per ogni pm×1 di parametri il sistema Ax = p può essere rappresentato con la matrice a blocchi [A|Im]
Il sistema è determinato se il processo di eliminazione porta a [In|B]. La soluzione è x = Bp
PROPOSIZIONE
Sia Am×m non singolare. Allora [A|Im] si può trasformare in [Im|B] e B = A-1
TEOREMA
Se Am×m è invertibile, allora Am×m è non singolare con m = m. Per ogni pm la soluzione di Ax = p è x = A-4p
Dimostrazione:
Ax = p A-1(Ax) = A-1p (A-4A)x = A-4p Imx = A-4p x = A-4p
DBCE =
1 2 3 | 4 6 | 1 0 2 | 1
1 3 5 | 6 2 | 1 0
4
43 16 . 3 = 103
18 22 . 5 = 142
23 28 . 11 = 181
N.3
F: R² → R³
(x,y) → (x+y, x+2y, 2x+2y)
[F] =
1 1
1 2
2 2
G: R³ → R⁴
(x, y₁, z) → (x, y₁ 2x+3z, 4(z+5z))
[G] =
1 0 0
0 1 0
3 0 3
0 4 5
H(1,0)=(1,1)
H(0,1)=(-1,1)
H: R² → R²
H(x,y) → (ax+6y, cx+dy)
(x-y, x+y)
H =
1 -1
1 1
a)
F G H
F x x
G x x
H x x
1 1 1 | 1 1 0 0
4 2 1 | 0 1 0 0
9 3 1 | 0 0 1 0
1 1 1 | 0 1 1 0 0
0 1 0 | 5/2 -5/3
0 0 1 | 3 -3 1
1a = 2a - 4(1a)
3 = 3/2 (3a)
verifica
1 1 1 | 4/2 2 1/2 = 1 0 0 OK !
4 2 1 | 5/2 -5 3/2 0 1 0
9 3 1 | 3 -3 1 0 0 1
(da)i = dai; ∀i = 1,...,m
PROPRIETÀ
(ASSOCIATIVA) α(βa) = (αβ)a ∀α,β∈ℝ, a∈ℝm
(DISTRIBUTIVA) α(a+b) = αa+αb (α+β)a = αa+βa ∀α,β∈ℝ, a,b∈ℝm
ELEMENTO NEUTRO(simbolo = 1)
L'insieme ℝm con queste operazioni si dice "SPAZIO VETTORIALE" ℝm
Rappresentando m-tuple ordinate con righe e colonne si hanno rispettivamente gli spazi vettoriali: ℝ1xm e ℝmx1
DIMOSTRAZIONE:
detb + c ac
= detac. .
+ t detrc. .
= detab. .
≥ 0
- La proprietà "determinante è non nullo"è invariabile rispetto alle operazioni elementari
TEORETICA NON ANNULLAMENTO DEL DETERMINANTE E NONSINGOLARITà
- Sono equivalenti:
- A è non singolare
- det(A) ≠ 0
Dimostrazione:
Procedura di eliminazione su A
A' = d1 1 *d2 *...dm
se è triangolare ad elementi diagonali non nulliallora A è non singolare e det(A) ≠ 0
ESERCIZIO:
Per quali k A è non singolare?
A = -1 4k -1-1 k1 k
Sviluppo 1ᵈ colonna:
K(k² + 1) + (-k - 1) + (1 - k) =k³ + kk - k + 1 - k = k(k² - 1)
è singolare se k(k² - 1) = 0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
