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W = { (a, b) | 3a - 2b + 0 }
V = R2 = (a, b)
- W1 = { (a, b) | ... } E W ⟹ 3a₁ - 2b₁ + 0 = 0
- W2 = { (a, b) | ... } E W ⟹ 3a₂ - 2b₂ + 0 = 0
- W3 = (3aₙ - 2bₙ = 0) ⟹ 3Q₃ - 2b₃ = 0
- 3Q3 - 2b3 = 3(a₁ + a₂) - 2(b₁ + b₂)
- { 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂(3a₁ - 2b₁) + (3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 = 0vero }
2) λ ∈ R , w = (a, b) ∈ W ⟹ 3a_2b = 0
- λw = (λa, λb) ∈ w
- 3(λa) - 2(λb) = 0
- λ(3a - 2b) = 0
- λ · 0 = 0 vero ∀ λ
⟹ W è sotto spazio
Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo
U ∩ W = ø | U e W sottospazio di V
non può non essere perché entrambi sottospazi contengono il vettor nullo
possiamo però avere U ∩ W = {0}
V = R3
U = una retta passante per l'origine
W = un'altra retta passante per l'origine
U + W = il più piccolo sottospazio che contiene U e W
U + W è il PIANO che contiene
le due rette U e W
Def:
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}
Def:
S insieme di vettori di V
Il sottospazio vettoriale GENERATO da S è il più
piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene S
(indico L(S))
L(S) = {λ1v1 + λ2v2 + … + λnvn | … e S, λ ∈ K }
(Σ λivi = K, vi ∈ S)
Def:
S = {v1, v2, …, vn} vettori di V
sono un SISTEMA DI GENERATORI di V
se L(S) = V cioè se ogni vettore v ∈ V si può scrivere
come combinazione lineare dei vettori dati:
v = λ1v1 + λ2v2 = … + λrvr
{N1, N2, ..., Nr} forma L.I.
{N1, N2, ..., Nr} sono generatori
Sì sono una base di V
No esiste qualche vettore fuori che non è combinazione lineare
V = R3 (o più V.R.3)
Esercizio d'esame
N1= (2, 0, 1) N2= (1, -2, 1) N3= (3, -1, 0)
U = < N1, N2, N3 > è un più piccolo sottospazio che contiene N1, N2, N3
dim U = ? Base di U = ?
{N1, N2, N3} sono generatori ai sono anche L.I.?
λ1 (2, 0, 1) + λ2 (1, -2, 1) + λ3 (3, -1, 0) = (0, 0, 0)
λ1 + λ2 + 3λ3 = 0
-4λ2 + λ3 = 0
λ1 + λ3 = 0
D = 0 infinito soluzioni
λ1 = -2λ2
λ3 = 2λ2
Quindi N1, N2, N3 sono linearmente dipendenti
Propongo due soluzioni
Al posto di N3 propongo togliere N2 o N3
Uso λ3 - 2λ3 - λ2 così lambda uso U = < λ1, λ2 >
Prendiamo U = < N1, N2 > sono L.I.
λ1 N1 + λ2 N2 = o
λ (2 1) (3 1 0) = (0 0 0)
- 2λ1 + λ2 = 0
- λ1 = 0
- λ2 = 0
- λ3= λ2 per ogni λ
- λ1 = -2λ3
- 2M1 + λ2 = 0
- λ2 = o => {N1, N2} sono L.I.
- λ3 = 2 per m = 0
Dim U = 2 (U è un piano)
dim U∩W =?
base di W =?
W = λ₁ω₁ + λ₂ω₂ + λ₃ω₃ + λ₄ω₄ = ⃗0
Λ₁ω₁ + Λ₂ω₂ + λ₃ω₃ + λ₄ω₄ - ⃗0
= λ₁(₁ + ₁ + 2₁) + λ₂(−₁ + ₁ + ₂).
+ ω₃ + ₁ .... + ₄(-₁ + 3₂ + 3₄) = ⃗0
∃ trova un sistema di eq. lineari, una incompleta riduce una libera.
di andare = infinite soluzioni
⟹ ₁, ω₂, ω₃ sono lin. dipendenti.
√di trova che λ₁ω₁ + λ₂ω₂ + λ₃ω₃ =
= {ω₁, ω₂, ω₃}
⍺₂ scopre una base di W . ⟹ di = λ₋3
d + d sono lic. ... tradizionali.
⟹ λ₁=0
- λ₂=0
λ₃=0
⟹ di = 3
dim e base di ∩W e ⓜ+W
= ⟨μ₁, μ₂⟩ dim ≌₂.
= ⟨ω₁, ω₂, ω₃⟩ dim Ω=3.
∩=?
̅̅̅= ₁μ₁+δ₂μ₂=β₁ω₁ + β₂ ω₂ + β₃ ω₃
α (2ω₂−−ω₄) + να (ω₁+ω₂t−ω₁-z3)
+β₂((ω₂+ω₃)+β₃(ω₄+ω₃)ω₂)+ω₄ ω₃ω₂
(⍺ ₂ - αρ₄)ω₂+(2⍺t2+2⍺+ε) ω₁.
Ν̅≤(-⍺₂-ρ₂+-β₃) Ν₃ ± ⍺ ⍺±ρ)±β₅
0⍺ βₙ⟒
eq. 5 incognite
2−β2=0
δBx+β3ω=0
−⍺4−2Ρβ₋β3ω=0
−⍺1−β₁−β₃=0
Β⟚≈ ÷ ⍺2 + διά ()
Β₂ + ₓ
βₓkt + () (⍺₂≈-β₃)
β₂+δ2
Β₂=2⍺+2t β₃
⍺L+סℓ+δ₂ζ
3ω=0 ⟹ −δ₂+β₁ω≤0
dx1=-⍺2−ϴ3
−⍺₂− ₂−β₂
Λ₁= −2−β₂
V spazio vettoriale dim V = m (K finito)
Sia {v1,v2,...,vm} base di V
Ogni vi ∈ V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare
v = λ1v1 + λ2v2 +...+ λmvm
V ↔ Km
è una biezione
f lineare ⇒ f è isomorfismo
Teorema:
Tutti gli spazi vettoriali nel campo K di dim m
sono isomorfi a Km
L’isomorfismo dipende dalla scelta di una base di V.
f: V → W funzione lineare
Nucleo di f:
ker(f) = {v ∈ V | f(v) = ō} ⊆ V
Immagine di f:
Im(f) = {w ∈ W | esiste qualche v ∈ V tale che w = f(v)} ⊆ W
Teorema:
ker(f) è sottospazio vettoriale di V
Im(f) è sottospazio vettoriale di W
Teorema:
f: V → W lineare
f è iniettiva se e solo se: ker(f) = {ō}
Def:
f: V → W è suriettiva se Im(f) = W
es f: V → W lineare {v1,v2,...,vm} base di V
linearmente indp
w1 = f(v1), w2 = f(v2), ..., wm = f(vm) → vettori ∈ Im(f)
(non sono base di Im(f)) (non sono L. I.)
[Se un insieme di vettori è base di V (vettori L. I.) non è detto che
anche le rispettive immagini siano base di W (vettori L. I.)]
(2)es f: V ⟶ W
dim V: 3 dim W: 2
{v1,v2,v3} base di V
{w1,w2} base di W
Supponiamo che
p(v1) = (3)w1 + (2)w2
p(v2) = (4)w1 + 5w2
p(v3) = -w1 + 7w2
Scrivere la matrice rispetto alle basi fissate
A = (3 2)(4 5)(-1 7)
(2)es Somma di matrici
(1 2 -3) (2 -1 0) (3 1 -3)(4 5) + (1 2 -3) (1 6 2)
Matrice nulla (elemento neutro)
(0 0 0)
(0 0 0)
Matrice opposta
A = (aij)
-A = (-aij)
A + (-A) = (0 0 0)
(0 0 0)
Prodotto di matrici (righe per colonne)
A = (aij) B = (bij)
C = B * A (cij) = ?
cij = Σk=1l bij aik bik ai2 bi2 ai3 + ... + biz azj
B deve avere n colonneA deve avere n righe
(cij) (riga icolonna j)
(bi1 bi2 ... bim)(a11 a1 b2)
(anj)
moltiplico per elementie sommo
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