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Concetti di spazi vettoriali e sottospazi

Linearità e indipendenza lineare

N1=(3,1) N2=(2,5) L.I.?
λN1 + μN2 = 0
λ(3,1) + μ(2,5) = 0
3λ + 2μ = 0
λ = -5/3μ, λ = 0, μ = 0
λ = 0

Definizione di uno spazio vettoriale

W = { (a,b) | 3a-2b = 0 }
V = R2 = (a,b)
W è sottospazio di V,

  1. W1 = (a1,b1) ∈ W → 3a1 - 2b1 = 0
  2. W2 = (a2,b2) ∈ W → 3a2 - 2b2 = 0
  3. W3 = (a3,b3) ∈ W → 3a3 - 2b3 = 0
    3a3 - 2b3 = 3(a1 + a2, b1 + b2) ∈ W
    3a3 - 2b3 = 0 + 0 = 0 elem

Proprietà di uno spazio vettoriale

λ ∈ R, w = (a,b) ∈ W ↔ 3a - 2b = 0
λw = (λa, λb) ∈ W
3(λa) - 2(λb) = 0
λ(3a-2b) = 0
W è sottospazio

Il vettore nullo e l'intersezione

Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo
U ∩ W = {0}
U e W sottospazi di V
Unione non può mai essere perché entrambi devono essere sottospazi contengono il vettore nullo
Possiamo però avere U ∩ W = {0}

Esame di indipendenza lineare

N1 = (3,1) N2 = (2,5)
λN1 + μN2 = 0
λ(3,1) + μ(2,5) = 0
3λ + 2μ = 0
λ + 5μ = 0
λ = -5μ
λ = 0 L.I.
W = {(a,b) | 3a - 2b = 0}

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
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