Algebra lineare

Revisionato il 01/07/2026

di SSaraaaa_

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Appunti dettagliati con dimostrazioni ed esercizi su: spazio vettoriale, basi (base canonica), dimensione di uno spazio, formula di Grassmann, sottospazi, funzioni lineari, omomorfismo, …

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

126 pagine

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Estratto del documento

N₁ = (3,1) N₂ = (2;5)

λN₁ + μN₂ = 0

λ(3,1) + μ(2,5) = 0

w = { (a₁,b₁) | 3a - 2b + c = 0 }

V = R² =(a,b)

1) W₁ = (a₁,b₁) ∈ W ↔ 3a₁ - 2b₁ = 0

W₂ =(a₂,b₂) ∈ W ↔ 3a₂ - 2b₂ = 0

W₃ =(a₃,b₃) W₁+W₂ =(a₁+a₂,b₁+b₂) ∈ W

(3a₃+2b₃, 3a₃ - 2b₃ = 3(a₁ + a₂) - 2(b₁ + b₂)

= 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂

= (3a₁ - 2b₁) + (3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 = 0 vero

2) λ ∈ R , w = (a,b) ∈ W ↔ 3a - 2b = 0

λw = (λa,λb) ∈ W

3(λa) - 2(λb) = 0

& λ(3a-2b) = 0 → λ . 0 = 0 vero ∀ λ

→ W è un sotto spazio

Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo!

U ∩ W = ∅

U e W sottospazi di V

non puo' mai essere

perche entrambi devono emozionarlo sotto spazi contenere il vettore nullo

possiamo però avere U ∪ W = {Θ}

N₁ = (3,1) N₂ = (2;5) L.I.?

λN₁ + μN₂ = 0

λ(3,1) + μ(2,5) = 0

{3λ + 2μ = 0

λ + 5μ = 0 → 3μ + 15μ2μ = 0 μ = 0 L.I.

λ + 5μ = 0 λ = -5μ λ = 0

(3,1)(2,5)

λ = 0

Es W = { (a,b) | 3a - 2b ≤ 0 }

V = R² ∈ (a,b)

W è sottospazio di V ?

1) W_a = (a₁ + b₁) ∈ W → 3a₁ + 2b (a,b)

W_a = (a₂ + b₂) ∈ W → 3a₂ - 2b (a,b)

W_a = (a₃,b₃) W₁ + W₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂) ∈ W

W₃: (a₃, b₃) ∈ W → 3a₃ - 2b₃ = 0

3a₃ - 2b₃ 3 (a₁ + a) 2 (b₁ + b₂) =

= 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂

3(a₂ - 2b₁ + 3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 =

= 0 \mathbb{v}\mathbb{f}\mathbb{i}

2) λ ∈ R , w = (a,b) ∈ W ↔ 3λ

λw = (λa, λb) ∈ W

3 (λa) - 2 (λb) = 0

λ (3a - 2b) ≥ 0 λ .0 = 0 vero ∀ λ

→ W è sottospazio

Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo

U ∩ W = ∅

U e W sottospazi di V

non può mai essere

perché entrambi del sottospazi trontaginu, il vettor

nullo

pessiamo pro avere U ∩ W = {0}

V = R³

U = una retta passante per l'origine

W = un'altra retta passante per l'origine

M : è il più piccolo sottospazio che contiene U e W.

U + W = è il PIANO che contiene le due rette U e W

Def:

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}

Def:

S: insieme di vettori di V.

Il sottospazio vettoriale GENERATO da S è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene S.

(Indico L(S)^S)

L(S) = {λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n | v_i ∈ S^V, λ_i ∈ K {

∑_i=1ⁿ λ_iv_i | λ_i ∈ K, v_i ∈ S}

Def:

S = {v₁, v₂, ..., v_n} vettori di V.

Sono un SISTEMA DI GENERATORI di V

se L(S) = V, cioè se ogni vettore V ∈ V si può scrivere come combinazione lineare dei vettori dati:

V = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n

V = R²

N₁ = (2,1) N₂ = (0,3) N₃ = (1,-1)

Sono generatori di V?

N = (a,b) ∈ R² ∀a, ∀b

a 1 0 1 a( b ) = λ₁(2,1) + λ₂(0,3) + λ₃(1,-1)( b ) = λ₁ (2 (1)( ) + λ₂ (0) + λ₃ (1,-1) 1 1) -1) 2λ₁ + λ₃ =

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