Algebra lineare

Appunti dettagliati con dimostrazioni ed esercizi su: spazio vettoriale, basi (base canonica), dimensione di uno spazio, formula di Grassmann, sottospazi, funzioni lineari, omomorfismo, isomorfismo, endomorfismo, relazione tra nucleo e immagine, funzione iniettiva, suriettiva, rango, matrici (proprietà ed operazioni), composizione di funzioni, sistemi di equazioni lineari, teorema di Rouchè-Capelli, metodo di Gauss (eliminazione), operazioni elementari sulle righe di una matrice, calcolo inversa di una matrice, matrice invertibile, matrice quadrata, determinante, permutazioni, teorema di Sarrus, teorema di Binet, formula di Laplace, inversa di una matrice, teorema di Cramer, cambiamento di base di una matrice, autovettori, autovalori, diagonalizzazione di matrici, prodotto scalare, teorema di Cauchy-Schwarz, proiezioni ortogonali in R, base ortogonale, procedimento di Gram-Schmidt, funzione bilineare, cambiamento di base, matrici congruenti, teorema spettrale, spazio affine (punto medio, distanze, rette, proiezione ortogonale, fascio di piani), prodotto vettoriale.

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Padova

Publisher SSaraaaa_

A.A. 2022-2023

126 pagine

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W = V?

W = { (a,b) | 3a - 2b = 0 } V = R² = ℝ(a,b)

W è sottospazio di V?

W₁ = (a₁,b₁) ∈ W ➔ 3a₁ - 2b₁ = 0
W₂ = (a₂,b₂) ∈ W ➔ 3a₂ - 2b₂ = 0
W₃ = (a₃,b₃) = W₁ + W₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂) ∈ W

W₃ ∈ W ➔ 3a₃ - 2b₃ = 0

3a₃ - 2b₃ = 3(a₁ + a₂) - 2(b₁ + b₂)

= 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂

= (3a₁ - 2b₁) + (3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 = 0 vero

λ ∈ ℝ, W = (a,b) ∈ W ➔ 3a - 2b = 0

λW = (λa, λb) ∈ W

3(λa) - 2(λb) = 0

λ (3a - 2b) = 0 λ ⋅ 0 = 0 vero ∀ λ

⇒ W è sotto spazio

OGNI SPAZIO VETTORIALE DEVE CONTENERE IL VETTORE NULLO!

U ∩ W = ∅ U e W sottospazi di V

non può mai essere

perché entrambi sottospazi contengono il vettore nullo

possiamo però avere U ∩ W = {0}

V = R³

U = una retta passante per l'origine

W = Un'altra retta passante per l'origine

U + W = il piú piccolo sottospazio che contiene U e W

NT + WT é il PIANO che contiene le due rette U e W

def

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}

Def.

S insieme di vettori di V

Il sottospazio vettoriale GENERATO da S é il piú piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene S

(indico L(S) con <S>)

L(S) = { λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n | v_i ∈ S, λ_i ∈ K }

{ ∑ λ_iv_i | λ_i ∈ K, v_i ∈ S }

def

S = {v₁, v₂, ..., v_n} vettori di V

Sono un SISTEMA DI GENERATORI di V

se L(S) = V

cioè se ogni vettore v ∈ V si può scrivere

come combinazione lineare dei vettori dati:v = λ₁v₁ + λ₂v₂ = ... + λ_nv_n

{V₁,V₂,...,V_r} poniamo L.I.

1) {V₁,V₂,...,V_r} sono generatori

2) Se sono una base di V

No esiste qualche vettore di V che non è combinazione lineare

V ⊂ R³ (al più V = R³)

V₁ (2,0,1) V₂ (1,2,1) V₃ (3,-1,0)

U = se più piccolo sottospazio che contiene {V₁,V₂,V₃}

dim U = ? Base di U = ?

V₁, V₂, V₃ sono generatori ai sono anche L.I.?

sistemi aug λ₂-λ₃ = 0 λ₃ 3=λ₂

-2λ₂ + λ₃ = 0 λ₃ = λ₂ per ogni λ_i

λ₁ + λ₂ - λ₂ = 0 λ₁ = -2λ₂

{ V₁, V₂, V₃ } sono lineramente dipendenti

pro ncp λ₃ dato λ = 0 λ₃ = λ e λ₁ = - 2

quindi dopo n₃ U =

prendi come U = sono L.I.,

2λ₁ + λ₂ = 0

λ₂ = 0 ⟹ {V₁, V₂} sono L.I.

λ₁ + 2λ₂ = 0 ⟹ ⟹ {V₁, V₂} è una base di U

dim U = 2

(U è un piano)

VV generato da:

W₁ = v₁ + v₂

W₂ = v₂ + 2v₃

W₃ = v₁ + 2v₂ + 3v₃

2v₁ + 3v₂ + 3v₃

λ₁λ₂ + λ₂v₁ + λ₃v₂ + 2v₃ - λ₂ + 2v₁ + v₂ + 3v₃ + 2v₃ + 3v₁ + 3v₃

Trova un sistema di eq. lineari, una incognita ruota una libera di variare ⇒ infinite soluzioni

W₁, W₂, W₃ sono lin. dipendenti

Si trova che v₁ + v₂ + v₃

λ₁ v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃

Tirabolo e si trova

λ₁ = 0

λ₂ = 0

λ₃ = 0

Dim e base di U ∩ W e U + W

U = (v₁, v₂) dim U = 2

W = (W₁, W₂, W₃) dim W = 3

U ∩ W = ?

U capovolto = d₁u₁ + d₂u₂ = βv₁W₂ + β₂v₃W₃

α (2u₂ − u₄) + d_x (v₂ + 2u₂ − v₃) = β₁ (v₄ + v₄ + v₄)

Leg. 5 incognite

2d₂ + 3d₃ + β₁ = 0

d₂ + 2β₂ + β₃ = 0

1α₁ + β₁ = 0

V spazio vettoriale dim V = m (K finito)

Sia {v₁, v₂, ..., v_m} base di V

Ogni v_i ∈ V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare

v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_mv_m

W ↔ K^m

f:v_i ↦ (λ₁, λ₂, ..., λ_m)

ϕ è una biezione

f è lineare ϕ è isomorfismo

Teorema: Tutti gli spazi vettoriali sul campo K di dim m

sono isomorfi a K^m

L'isomorfismo dipende dalla scelta di una base di V.

f : V → W funzione lineare

Nucleo di f: ker(ϕ) = {v ∈ V | ϕ(v) = 0⃗} ⊆ V

Immagine di f: Im(ϕ) = {w ∈ W | esiste qualche v ∈ V

tale che w = ϕ(v) } ⊆ W

Teorema: ker(ϕ) è sottospazio vettoriale di V

Im(ϕ) è sottospazio vettoriale di W

Teorema: f : V → W lineare

ϕ è iniettiva se e solo se: ker(ϕ) = {0⃗}

Def: f: V → W è suriettiva se Im(ϕ) = W

es: f : V → W lineare {v₁, v₂, ..., v_m} base di V

linearmente ind.

w₁ = ϕ(v₁), w₂ = ϕ(v₂), ..., w_m = ϕ(v_m) → vettori ∈ Im(ϕ)

(Non sono base di Im(ϕ) (Non sono L.I.))

[Se un insieme di vettori è base di V (vettori L.I.) non è detto che

anche le rispettive immagini siano base di W (vettori L.I.)]

(a) f: V → W

dim V = 3 dim W = 2

{v₁,v₂,v₃} base di V

{w₁,w₂} base di W

Supponiamo che

ρ(v₁) = 3w₂

ρ(v₂) = w₁ + 5w₂

ρ(v₃) = w₁ - 7w₂

Scrivere la matrice rispetto alle base finite

A = ( 3 0 )

( 1 5 )

(-2 5 )

(a) Somma di matrici

( 1 2 -3) + ( 2 -1 0 ) ( 3 1 -3 )

( 4 0 5 ) ( 1 2 -3 ) ( 1 6 2 )

Matrice nulla (elemento neutro)

( 0 0 0 )

Matrice opposta

A = (aᵢⱼ) -A = (-aᵢⱼ)

A + (-A) = ( 0 0 )

( 0 0 )

Prodotto di matrici (righe per colonne)

A = (aᵢⱼ) B = (bᵢⱼ)

C = B * A (cᵢⱼ)= ?

cₖⱼ = Σ (aᵢₖ * bₖⱼ)

(b₁₁a₁₁ + b₁₁a₂₁ + b₁₁a₃₁ + ... + bᵢₗaⱼ)

B deve avere n colonne

A deve avere n righe

(cₖⱼ) = [bᵢ₁bᵢ₂...bᵢₙ]

(cᵢ₁)

Righe i colonne j

(a₁ⱼ)

Moltiplico gli elementi e sommo

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