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SERIE A TERMINI POSITIVI:
* 70 in determinate
Ak mai
-
Ak non sono
,
k 1
= (definitivamente)
Proposiz o
an >
:
1 anak
A E sono
ak limitatee
se
=
k 1
=
D se Any
21 è limitata
an +o non
=
k = 1 KEN
Dimostr anto
che
Supponiamo
: An 170 ipotesi
per
+
"An
=
Ant An VR
Arman
Ant1
= An
Ant ?
+ )
+
= =
Canz è AE/20
ha limite
Crescente
monotona
quindi e un +o
o
N N N
. . . positivi criteri
seguenti
Nelle serie i
termini applicare
posso
a :
• criterio del rapporto
• Criterio della radice
• Criterio del confronto
• Criterio del confronto asintotico: casi standard e casi limite
Criterio del rapporto: Utilizzabile solo in serie a termini positivi
& do An
An A1 A2+
+
+
= .... ...
R 0
= HERR Och1 :
- an 1
+ >
-n CONV.
· =
an facilissimo pratica
> applicare corollario
non nella
da il
- : Uso
ant1 = DIVER
· manl 1 - con
ho3casi :
· < DIV
1 - .
C mi utili
da
crit info
Non
1 questo
-
=
· .
Esempio :
0n 1
+
54
n 1
= È perché è positivi
positivi rapporto
termini di
serie termini
· un
una a =*
Applico Crit rapp
· :
.
n 2
+
lim =
5n 1
+
n - 0 g
n +1
ja
POSSO CHE LA CONVERGE
DIRE POSITIVAMENTE
SERIE
Esempio :
-1
n !
n 1
= ↓
(n 1) in
! inf
+ limn
!
i SERECONVERG
O
! A
=
= = =
↓
Esempio :
(nis(" im (n 001
.
Cr
Applico converge in
=
Esempio : ARTIG
E =L e
= limk -e
notevole :
M = 1 DIERG
SERIE ARMONICA: È una serie a termini positivi z
E
+ z
7 E
z
m +
+
+ +
+ +
& 1
M
n 1
= ?
? DIVERGE
Converge
Serie
di
è
Qual il questa diverge
carattere o
=
Per dimostrare che la serie armonica DIVERGE, specifichiamo un teorema che vale per tutte le serie a termini
positivi:
Notazione ordine
di resto di
ennesima
· Somma e :
n fermarmi
di
generale) ad
di (in
tutti e
serie
termini Di
di
esplicitare
considero
1) una
i
& An
A2 Amm
93 ad An
+.... + +....
+ +
+.... +
+
+
+
1 2
+ ...
-m -
Resto
ennesima
Somma , ovvero Ordine
di M
MM
la termini
dei primi
somma ti
In
denominata (ma
Applico serie)
armonica
serie
alla può
questo tutte le
concetto per
valere :
++1+ +
1
1 I 3
1 sommoi
+ e
se termini
volessi primi
...
+ vae
quanto
sapere 1
1
(M3)
3
il
i
n di Sara
resto ordine +
: +.......
13 un
Ora In posso decidere termini,
di
in alcuni ad Ant
, arrestarmi
prendere generalizzi
solo es :
possa per .
9 tazt tantantantz Anth
+... +
.... ...
-
-
In un
↓
an di
Ridotta Ordine
Kesima
+anth resto
1 tantz del
+.... M
+ No =
K
la e
3
con serie scelto n
.
arm =
-E
num
imm
un
TEOREMA DI CONVERGENZA DI CAUCHY: utilizzo
Cauchy
· Enuncio di Serie
Mi poi
Suff la
il da
teorema cond lo
e
necess Conv
una . per
Ora : . ,
.
serie
far la non
redere che
per converge . Se una serie converge, questo deve
termniders
dei se
PEN/XM pum succedere posso dimostrare che nel
caso della serie armonica questo
VELO 7
Cauchy
Teor :
. non succede.
serie arm:
nella 1
n niz
ni2
m +....
1 +
1 +....
+ +
+... +
+ n r
+
esem
In MM
↓ KEIN scegliere
questi quindi k
posso
devo K
prendere
Di 17
ne =
↓ 1
1 1 +
+...
t an
2
n
n +
1
+ 1 1
1 1 A
+...
t + 2
1 2n
n 2
n+ +
1 la erache
Mn cond qualsiasi
di E
essere
doveva
Men
K k
, . ,
2 1
per E
dice accade
mi questo
che va bene
qua non
)
=
Quindi la serie armonica non è convergente, ne risulta che è per forza divergente in quanto una serie a termini
positivi non può mai essere in determinata.
SERIE ARMONICA GENERALIZZATA:
& 1 IR
KE
11k
n =
Se k CONVERGE
la Serie
1
· Se la DIVERGE
1 Serie
· Se K armonica DIVERGE
Serie
1 )
· caso =
-1
= ciò RAABE
per dimostrare il
utilizzo dice
di
Criterio che mi :
e 1 converge
N -2) e-e
diverge
faccio
an himn a
=
n inform
M t)B
n 1
+ - B NOTEVOLE
Limite
lim =
t
t >0
- a
= =
Raabe
Crit : x
n
il Notevole
lim
Applico e .
. .
1 *
=
)
n(( -
( /k
mi -) 17
nY z)
n
lim +
2 .
= =
=
n - -
1
n - h
(n 1)k
+
lim
Dal Notevole :
. *
7
+
(1 >
- COMU
1
F
=
lim 1
n 10
- M
ES : conv.
S 1 ·
n2
n 1
=
Criterio del confronto: Per serie a termini positivi (Gauss)
....
An Dr
Antaztazt D.D
tant
= =
... Lanz
Dn =
An-De 92-b2
an serie minorante
supponiamo che s ... Ebn} serie maggiorante
" >
Di
1) Sere an
Se la CONVERGE
Converge minorante
anche converge
= = n
n = 1
= 1
- D
2) DM
Se DIVERGE DIVERGE
anche
an n
n = 1
= 1 &
D
Se
3) DI DIVERGE AM
> su
nulla
Non so
= n
n 1
1
= =
Se an &
4) D
converge Su
sonulla
non
Esempi :
g 1 -n VM
R
M
n 1
= 11 n
01
n è
è
M e
Quindi serie minorante
la magg .
R
n 1
= = diverge
SERIE ARMONICA
La che
So
)
=
.
"Diverge
1 1
conf
=> DIVERGE
se del
il +
per
M . M
n
n = 1
1
=
Esempio :
S 1 n
(m)
In
n -
In(m)
n -
n = 1 e
1
1 N 1
serie Diverg DIVERGE
arm che
so
.
H In(n)
ch
n-In(m) -
n =
un
im min
Serie
Seriemagg .
Esempio : tra 1
o
Oscilla e
>
Sinan
o 12
n = Sin 2 1 & genn
1
R2 12 converge
Con
sere arm
ht .
n =
= sinz è
Cche minorante) converge
12
Criterio del confronto asintotico: Funziona solo su due serie a termini positivi
ebn
· An e
an carattere
serie
allora
lim fo due
le lo stesso
hanno
= :
DM
n n -
= 1 ↓ )
(div
(aiv) = .
In
Se
può CONV
an
risultato CONV
essereo
Non
1) .
finito
essere
Deve
ma un num
Esempio :
& confronto
1 (0checonv )
Se .
serie
scelgo il
da
come per da
5
2n + n
n =
1
= 1
=
n 0
1 5- +X
=
an +
lim converse
n 10 1
- na *
Lim
D 1 divergel
Iserie
scelgo Serie arm so che
la :
=
14
n =
& 1 DIVERGE
= 2n 5
+
n = 1
Esempio :
D sint
1 mi riconduco a :
im
Sit 13
n 1
= sin un
n3
1
D Scelgo
im 3
lim d
USO =
: =
nd
na 1
n -
N = = lim = lim 1
1 =
n3
na n
n -
- 0
CONVERGE
serie
la
=
⑧ 1
n3
n = 1
Criterio di Riemann: Si basa sul criterio del confronto asintotico Funziona per serie a termini positivi
& nan l
dEIR lim
sia
An =
d reale
qualunque num
un =
n 1 n
= -
i
lER [0 compreso] > CONVERGe
1) an
a ed
se 2 =
MER/oY (non
ed 01 an DIVERGE
l
= 1
Old
se la
2) può Sere
essere o +o
=
naan 0
funz
Crit MAI
Questo lim
e
<21
se
non o =
. .
Esempio :
In(n)
· na
n 2
= In(n) hann
nd
lim inn)
im
sed bene
2 Non e
to va
= =
=
n2
n - 0 In
Sec im &C
1
= =
n+ (r)
In
8 per il lim lim 0
not : =
na
10
n -
ne ==
= In
n)
im
sed della
debole
↳ Un
Un
Serie CONVERGE
lim la
e
d)
=> 1 =
o
=+
SERIE A TERMINI ALTERNI: Quando gli elementi di posto pari sono positivi e quelli di posto dispari sono negativi, o
viceversa.
Esempio : 94
az
an az +
= -
- ....
= +
- criterio di Leibniz
Per questi tipi di serie si applica un criterio: il
Criterio di Leibniz:
Dice Che : D 1-1)"an
Data condizioni
verificate
CONVERGE
Serie 2
la Se sono :
n 0
= (condiz
1) altrimenti può
serie convergere
in
lim
se an-o ,
Necessaria la non
generale
n >
-
se 191119aklan
2) decrescente si
deve primi
forza termini
devono i
essere non essere per ,
les
Può da Ano)
partire indice in
da certo poi
un
S Ian 1) Ian) decrescente
monotona
deve essere
=
+
Esempio :
& n
-1 = V
or
· CONVERGE
im quindi
V
: 121
+ 1
4
M
n n
1
= s
- 140
Esempio : mi
N =
i X
1)M
1 · Leibniz
non applicare
posso
-
n 0
=
Per risolvere le serie assegno alterno posso applicare un altro criterio, questo criterio oltre a funzionare per le
serie a termini alterni funziona per LE SERIE A SEGNO QUALUNQUE
Sono delle serie in cui ci sono sia dei termini positivi
che negativi, senza una particolare logica
a 92 Ay 07
Ar
az az
+ + +
-
- - ...
"l
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