Relazione finale completa di Strumenti digitali per l'ingegneria civile

VERIFICA

-1 10 10 1

-4 1 6 -3

3 -8 -2 5

-1 9 9 -1

36 si richiede l’applicazione dei tre algoritmi di

= sin(),

Nel secondo esercizio, data la funzione

derivazione numerica (avanti, indietro e differenze centrali). La funzione viene discretizzata in un

intervallo [0;2π] con un passo di campionamento di π/50. Infine, si richiede di trovare l’errore

percentuale rispetto al valore della derivata vero.

Differenze in avanti in y :

2

−

3 2

= (3)

∆

Differenze all’indietro in y :

2

−

2 1

= (4)

∆

Derivate centrali in y :

2

−

3 1

= (5)

2∆ Tabella 4-6: derivazione numerica

x y indietro avanti centrale valore vero

0 0 0.999342 1

0.062832 0.062791 0.999342 0.995398 0.99737 0.998026728

0.125664 0.125333 0.995398 0.987526 0.991462 0.992114701

0.188496 0.187381 0.987526 0.975756 0.981641 0.982287251

0.251327 0.24869 0.975756 0.960136 0.967946 0.968583161

0.314159 0.309017 0.960136 0.940726 0.950431 0.951056516

0.376991 0.368125 0.940726 0.917604 0.929165 0.929776486

0.439823 0.425779 0.917604 0.89086 0.904232 0.904827052

0.502655 0.481754 0.89086 0.8606 0.87573 0.87630668

0.565487 0.535827 0.8606 0.826945 0.843772 0.844327926

0.628319 0.587785 0.826945 0.790025 0.808485 0.809016994

0.69115 0.637424 0.790025 0.749988 0.770006 0.770513243

0.753982 0.684547 0.749988 0.70699 0.728489 0.728968627

0.816814 0.728969 0.70699 0.661203 0.684097 0.684547106

0.879646 0.770513 0.661203 0.612806 0.637005 0.63742399

0.942478 0.809017 0.612806 0.561991 0.587399 0.587785252

… … … … … …

5.403539 -0.77051 0.612806 0.661203 0.637005 0.63742399

5.466371 -0.72897 0.661203 0.70699 0.684097 0.684547106

5.529203 -0.68455 0.70699 0.749988 0.728489 0.728968627

5.592035 -0.63742 0.749988 0.790025 0.770006 0.770513243

5.654867 -0.58779 0.790025 0.826945 0.808485 0.809016994

5.717699 -0.53583 0.826945 0.8606 0.843772 0.844327926

5.78053 -0.48175 0.8606 0.89086 0.87573 0.87630668

5.843362 -0.42578 0.89086 0.917604 0.904232 0.904827052

5.906194 -0.36812 0.917604 0.940726 0.929165 0.929776486

5.969026 -0.30902 0.940726 0.960136 0.950431 0.951056516

6.031858 -0.24869 0.960136 0.975756 0.967946 0.968583161

6.09469 -0.18738 0.975756 0.987526 0.981641 0.982287251

6.157522 -0.12533 0.987526 0.995398 0.991462 0.992114701

6.220353 -0.06279 0.995398 0.999342 0.99737 0.998026728

6.283185 -9.1E-15 0.999342 0.499671 1

In Figura 4-1 è riportata la rappresentazione della funzione derivata tramite il metodo della

derivazione all’indietro e il suo confronto con il valore vero.

37

Figura 4-1 −

.

Gli errori percentuali vengono calcolati tramite il rapporto: .

.

Tabella 4-7

diff% indietro diff% avanti diff% centrale

-0.001318 0.002634 0.000658

-0.003310 0.004625 0.000658

-0.005333 0.006649 0.000658

-0.007406 0.008721 0.000658

-0.009546 0.010862 0.000658

… … …

0.010862 -0.009546 0.000658

0.008721 -0.007406 0.000658

0.006649 -0.005333 0.000658

0.004625 -0.003310 0.000658

0.002634 -0.001318 0.000658

Figura 4-2

38

Il terzo esercizio richiede l’integrazione numerica, attraverso i metodi dei rettangoli, dei trapezi e

L’intervallo di discretizzazione è tra [0;π] e con un

= sin().

Cavalieri-Simpson, della funzione

numero di parti di 10, 24, 50 e 100 (per semplicità si riporteranno solo le integrazioni numeriche

suddivise in 10 e 100 parti).

L’integrazione numerica attraverso il metodo dei rettangoli consiste nel costruire dei rettangoli per

ogni intervallo della funzione considerata e sommare l’area di questi per ottenere

un’approssimazione dell’integrale della funzione.

Tabella 4-8

discretizzazione 10 parti

Δx

x y areola somma

0.15708 0.156434 0.049145 0.15708 2.008248

0.471239 0.45399 0.142625

0.785398 0.707107 0.222144

1.099557 0.891007 0.279918

1.413717 0.987688 0.310291

1.727876 0.987688 0.310291

2.042035 0.891007 0.279918

2.356194 0.707107 0.222144

2.670354 0.45399 0.142625

2.984513 0.156434 0.049145

Tabella 4-9

discretizzazione 100 parti

Δx

x y areola somma

0.015708 0.015707 0.000493 0.015708 2.000082

0.047124 0.047106 0.00148

0.07854 0.078459 0.002465

0.109956 0.109734 0.003447

0.141372 0.140901 0.004427

0.172788 0.171929 0.005401

0.204204 0.202787 0.006371

0.235619 0.233445 0.007334

0.267035 0.263873 0.00829

0.298451 0.29404 0.009238

… …

...

2.843141 0.29404 0.009238

2.874557 0.263873 0.00829

2.905973 0.233445 0.007334

2.937389 0.202787 0.006371

2.968805 0.171929 0.005401

3.000221 0.140901 0.004427

3.031637 0.109734 0.003447

3.063053 0.078459 0.002465

3.094469 0.047106 0.00148

3.125885 0.015707 0.000493

Con il metodo dei trapezi si divide l’area della funzione considerata dividendo in diverse parti

l’intervallo di integrazione e calcolando l’area dei trapezi sotto la curva. La somma dei trapezi

costituisce l’integrale della funzione. 39

Tabella 4-10

discretizzazione 10 parti

Δx

x y areola somma

0 0 0.314159 1.983524

0.314159 0.309017 0.04854

0.628319 0.587785 0.140869

0.942478 0.809017 0.219409

1.256637 0.951057 0.276472

1.570796 1 0.306471

1.884956 0.951057 0.306471

2.199115 0.809017 0.276472

2.513274 0.587785 0.219409

2.827433 0.309017 0.140869

3.141593 1.23E-16 0.04854

Tabella 4-11

discretizzazione 100 parti

Δx

x y areola somma

0.031416 0.031411 0.000493 0.031416 1.999836

0.062832 0.062791 0.00148

0.094248 0.094108 0.002465

0.125664 0.125333 0.003447

0.15708 0.156434 0.004426

0.188496 0.187381 0.005401

0.219911 0.218143 0.00637

0.251327 0.24869 0.007333

0.282743 0.278991 0.008289

0.314159 0.309017 0.009236

… … …

2.858849 0.278991 0.009236

2.890265 0.24869 0.008289

2.921681 0.218143 0.007333

2.953097 0.187381 0.00637

2.984513 0.156434 0.005401

3.015929 0.125333 0.004426

3.047345 0.094108 0.003447

3.078761 0.062791 0.002465

3.110177 0.031411 0.00148

3.141593 4.56E-15 0.000493

prevede l’approssimazione della funzione con una parabola

Infine, il metodo di Cavalieri-Simpson

passante per tre punti equidistanti dell’intervallo di integrazione. Per attuare tale modello, è

l’area al di sotto della curva

necessario dividere la funzione in un numero pari di parti e calcolare

∆ [ + 4 + ].

come: −2 −1

3 Tabella 4-12

discretizzazione 10 parti

x y areola somma

0 0 0 2.00011

0.314159 0.309017 1 1.823853

0.628319 0.587785 0 0

0.942478 0.809017 1 4.77491

1.256637 0.951057 0 0

1.570796 1 1 5.902113

40

x y areola

1.884956 0.951057 0 0

2.199115 0.809017 1 4.77491

2.513274 0.587785 0 0

2.827433 0.309017 1 1.823853

3.141593 1.23E-16 0 0

Tabella 4-13

discretizzazione 100 parti

x y areola somma

0 0 0 2.00000001

0.031416 0.031411 1 0.001973

0.062832 0.062791 0 0

0.094248 0.094108 1 0.005912

0.125664 0.125333 0 0

0.15708 0.156434 1 0.009827

0.188496 0.187381 0 0

0.219911 0.218143 1 0.013704

0.251327 0.24869 0 0

0.282743 0.278991 1 0.017527

… … …

2.858849 0.278991 1 0.017527

2.890265 0.24869 0 0

2.921681 0.218143 1 0.013704

2.953097 0.187381 0 0

2.984513 0.156434 1 0.009827

3.015929 0.125333 0 0

3.047345 0.094108 1 0.005912

3.078761 0.062791 0 0

3.110177 0.031411 1 0.001973

3.141593 4.56E-15 0 0

La Tabella 4-14 mostra una sintesi dei risultati ottenuti

Tabella 4-14

N° intervalli 10 24 50 100

Rettangoli 2.00824841 2.001428608 2.000329025 2.000082249

Trapezi 1.98352354 1.997143396 1.999341983 1.999835504

Simpson 2.00010952 2.000003269 2.00000017 2.00000001

Si richiede inoltre di rappresentare in un grafico (Figura 4-3) il confronto tra gli errori percentuali

sin() = 2.

∫

dei diversi metodi in relazione al valore vero di integrazione: 0

41

Figura 4-3

Infine, l’ultima richiesta dell’esercitazione riguarda calcolare e determinare il grafico di 5 curve

parametriche a piacere. Si riportano le rappresentazioni grafiche.

Figura 4-4

Figura 4-5

42

Figura 4-6

Figura 4-7

Figura 4-8

43

5. ESERCITAZIONE 5

Costruzione di grafici di curve nel piano XY passanti per punti noti

Si richiede la costruzione di grafici di funzioni non parametriche e il calcolo dei coefficienti a

partire da punti da noi scelti tramite l’utilizzo di sistemi lineari che consiste nel prodotto matriciale

tra l’inversa dei coefficienti delle incognite e il vettore dei termini noti.

1. Retta Si trova e

= + . = −5 = 12.

x y

punto 1 2 2

punto 2 3 -3

matrice X

2 1

3 1

-1

matrice X y A

-1 1 X 2 = -5

3 -2 -3 12

Figura 5-1

2. Parabola di II grado 2

= + + . x y

punto 1 -2 3

punto 2 0 1

punto 3 4 6

matrice X

4 -2 1

0 0 1

16 4 1

44

-1

matrice X y A

0.083333 -0.125 0.041667 3 0.375

-0.33333 0.25 0.083333 X 1 = -0.25

0 1 0 6 1

Figura 5-2

3. Parabola di III grado: 3 2

= + + + .

x y

punto 1 4 2

punto 2 2 1

punto 3 -2 1

punto 4 5 4

matrice X

64 16 4 1

8 4 2 1

-8 4 -2 1

125 25 5 1

-1

matrice X y A

-0.08333 0.041667 -0.00595 0.047619 2 0.0595

0.416667 -0.29167 0.065476 -0.19048 X 1 = -0.1548

0.333333 0.083333 -0.22619 -0.19048 1 -0.2381

-1.66667 1.666667 0.238095 0.761905 4 1.6190

45

Figura 5-3

4. Circonferenza In questo caso il vettore dei termini noti è

2 2

+ + + + = 0.

2 2

composto dalle espressioni: Per trovare le coordinate del centro si ricorda che

−( + ).

2 2

e il raggio

= − = 0.429, = − = 2.286 = √ + − = 3.642.

2 2 x y

punto 1 4 3

punto 2 2 -1

punto 3 -2 5

matrice X

4 3 1

2 -1 1

-2 5 1

-1

matrice X A

0.214286 -0.07143 -0.14286 -25 -0.8571

0.142857 -0.21429 0.071429 X -5 = -4.5714

-0.28571 0.928571 0.357143 -29 -7.8571

Figura 5-4

46

Costruzione di curve parametriche in forma matriciale

La costruzione di curve parametriche può avvenire attraverso tre metodi di risoluzione:

1. Risoluzione di L