Relazione finale tecniche di modellazione per l ingegneria civile Strumenti digitali

(B+C) A(B+C)

6 4 7 69 58 106

9 6 17 ; 84 74 120

9 9 12 186 145 286

AB AC AB+AC

26 32 65 43 26 41 69 58 106

36 42 70 48 32 50 84 74 120

74 83 185 112 62 101 186 145 286

A(B+C) = AB + AC, l’identità è rispettata. 22

[(AB)C=A(BC)]

- Seconda Identità

Si utilizzano le matrici dell’identità precedente.

AB BC

26 32 65 54 33 53

36 42 70 85 59 91

74 83 185 73 43 69

(AB)C A(BC)

601 382 602 601 382 602

716 442 702 = 716 442 702

1654 1063 1673 1654 1063 1673

La terza parte dell’esercizio 1 invece richiede di risolvere due equazioni di matrici in funzione di una matrice C,

scegliendo arbitrariamente due matrici A e B. Scelte A e B

A B 4 3 2

1 5 6 7 5 8

3 4 7 5 4 -4

4 9 6

Si dimostrano le seguenti equazioni: -1 -1

(A B-A)

- Equazione A(BC+A)=B se C=B B

-1

A

-1 - -26 10 7

0.506493506 0.311688 0.142857143

- 34 -13 -9

0.12987013 0.233766 0.142857143 1.5 -0.5 -0.5

0.142857143 0.142857 -0.14285714 A *(B-A)

-1

B-A -0.12987013 0.61039 0.909091

3 -2 -4 -0.402597403 -1.20779 -2.18182

4 1 1 0.857142857 0.571429 1

1 -5 -10

C 5.350649 -23.9481 -38.4545

-6.8961 31.31169 50.27273

-0.42208 1.233766 1.954545

Segue 23

4.2 ESERCIZIO 2, DERIVAZIONE NUMERICA

Nel secondo esercizio è richiesta la derivazione numerica della funzione f(x)= sin(x). La derivazione può essere valutata

a partire dal punto in cui si intende calcolare la derivazione numerica, rispetto alla misura successiva (metodo delle

differenze in avanti) rispetto alla misura precedente (metodo delle differenze all’indietro) oppure come media delle due

differenze (metodo delle differenze centrali). Il successo della derivazione numerica dipende da due fattori: il passo di

campionamento con il quale sono noti i dati e la dispersione presente nei dati dovuta agli inevitabili errori di misura. Di

seguito il calcolo tabellare della funzione seno Derivazione Errori

Funzione Derivata Numerica Percentuali diff

angolo seno coseno avanti indietro diff centr avanti indietro centr

0 0 1 0.99589 0 0 0%

0.15708 0.156434 0.987688 0.97137 0.995892735 0.983632 -2% 1% 0%

0.314159 0.309017 0.951057 0.92293 0.971370551 0.94715 -3% 2% 0%

0.471239 0.45399 0.891007 0.85176 0.92293 0.887347 -4% 4% 0%

0.628319 0.587785 0.809017 0.75962 0.851763849 0.805694 -6% 5% 0%

0.785398 0.707107 0.707107 0.64878 0.759624446 0.704203 -8% 7% 0%

0.942478 0.809017 0.587785 0.52196 0.648780567 0.585371 -11% 10% 0%

1.099557 0.891007 0.45399 0.38229 0.521961558 0.452126 -16% 15% 0%

1.256637 0.951057 0.309017 0.23321 0.382290123 0.307748 -25% 24% 0%

….. - -

4.555309 -0.98769 -0.15643 -0.0784 0.233205436 0.155792 -50% 49% 0%

- -3.54E-

4.712389 -1 -1.8E-16 0.07838 0.078378458 16 ########### ############## 93%

4.869469 -0.98769 0.156434 0.23321 0.078378458 0.155792 49% -50% 0%

5.026548 -0.95106 0.309017 0.38229 0.233205436 0.307748 24% -25% 0%

5.183628 -0.89101 0.45399 0.52196 0.382290123 0.452126 15% -16% 0%

5.340708 -0.80902 0.587785 0.64878 0.521961558 0.585371 10% -11% 0%

5.497787 -0.70711 0.707107 0.75962 0.648780567 0.704203 7% -8% 0%

5.654867 -0.58779 0.809017 0.85176 0.759624446 0.805694 5% -6% 0%

5.811946 -0.45399 0.891007 0.92293 0.851763849 0.887347 4% -4% 0%

5.969026 -0.30902 0.951057 0.97137 0.92293 0.94715 2% -3% 0%

6.126106 -0.15643 0.987688 0.99589 0.971370551 0.983632 1% -2% 0%

6.283185 -2.5E-16 1 -4E-17 0.995892735 0.497946 -100% 0% -50%

Figura 4.1; Derivazione numerica

y= sin(x)

1.5

1

0.5

0 0 1 2 3 4 5 6 7

-0.5

-1

-1.5 Figura 4.2; grafico di funzione seno 24

4.3 ESERCIZIO 3, INTEGRAZIONE NUMERICA

Nel terzo esercizio è richiesta l’integrazione numerica della funzione seno f(x)=sin(x). Come nella derivazione, il

calcolo dell’integrazione numerica può avvenire in tre metodologie diverse. Il primo per rettangoli, dove l’intervallo di

integrazione [a,b] viene diviso in tanti rettangoli uguali per i quali calcoliamo e poi sommiamo le loro aree. Il secondo

metodo invece prevede l’approssimazione della curva in tanti trapezi dei quali calcoliamo le aree. Infine il terzo metodo

prevede la suddivisione dell’intervallo [a,b] in un numero pari di porzioni utilizzando una funzione quadratica diversa

per ciascuna coppia di porzioni adiacenti. Di seguito il calcolo dell’integrale utilizzando i tre metodi appena descritti,

discretizzando la funzione in 10,24,50 e 100 parti

10 rettangoli

i alfa seno(a) trapezi p.medi f(x) aree simpson controllo

0 0 0 0.04854 0.154508 0.153894 0.04854 0 0

1 0.314159 0.309017 0.140869 0.448401 0.433525 0.136196 0.190993 1

2 0.628319 0.587785 0.219409 0.698401 0.642994 0.202003 0 0

3 0.942478 0.809017 0.276472 0.880037 0.770762 0.242142 0.500027 1

4 1.256637 0.951057 0.306471 0.975528 0.827998 0.260123 0 0

5 1.570796 1 0.306471 0.975528 0.827998 0.260123 0.618068 1

6 1.884956 0.951057 0.276472 0.880037 0.770762 0.242142 0 0

7 2.199115 0.809017 0.219409 0.698401 0.642994 0.202003 0.500027 1

8 2.513274 0.587785 0.140869 0.448401 0.433525 0.136196 0 0

9 2.827433 0.309017 0.04854 0.154508 0.153894 0.048347 0.190993 1

10 3.141593 1.23E-16 -7E-17 6.13E-17 6.13E-17 -7E-17 0 0

Totali 2 1.983524 1.777815 2.00011

Diff. Perc 0.14% 12.50% -0.01%

Figura 4.3; integrazione numerica per 10 parti

24 rettangoli

i alfa seno(a) trapezi p.medi f(x) aree simpson controllo

0 0 0 0.00854 0.065263096 0.065217 0.008542919 0 0

1 0.1309 0.130526 0.02548 0.194672619 0.193445 0.025482586 0.034074229 1

2 0.261799 0.258819 0.04199 0.320751239 0.31528 0.041986239 0 0

3 0.392699 0.382683 0.05777 0.441341716 0.427153 0.057771496 0.099900586 1

4 0.523599 0.5 0.07257 0.554380715 0.526417 0.072568266 0 0

5 0.654498 0.608761 0.08612 0.657934105 0.611484 0.086123373 0.158918882 1

6 0.785398 0.707107 0.0982 0.750230061 0.681807 0.098204885 0 0

7 0.916298 0.793353 0.10861 0.829689372 0.737722 0.108606085 0.20710712 1

8 1.047198 0.866025 0.11715 0.894952468 0.780179 0.117149004 0 0

….

18 2.356194 0.707107 0.08612 0.657934105 0.611484 0.086123373 0 0

19 2.487094 0.608761 0.07257 0.554380715 0.526417 0.072568266 0.158918882 1

20 2.617994 0.5 0.05777 0.441341716 0.427153 0.057771496 0 0

21 2.748894 0.382683 0.04199 0.320751239 0.31528 0.041986239 0.099900586 1

22 2.879793 0.258819 0.02548 0.194672619 0.193445 0.025482586 0 0

23 3.010693 0.130526 0.00854 0.065263096 0.065217 0.008542919 0.034074229 1

24 3.141593 1.01E-15 -6E-16 5.05347E-16 5.05E-16 -5.769E-16 0 0

Totali 2 1.99714 1.997143396 2.000003269

Differenze percentuali 0.14% 0.14% -0.0002%

Figura 4.4; integrazione numerica per 24 parti 25

50 rettangoli

i alfa seno(a) trapezi p.medi f(x) aree simpson controllo

0 0 0 0.001973 0.031395 0.03139 0.001973 0 0

1 0.062832 0.062791 0.00591 0.094062 0.093923 0.00591 0.007885 1

2 0.125664 0.125333 0.009824 0.156357 0.155721 0.009824 0 0

3 0.188496 0.187381 0.0137 0.218036 0.216312 0.0137 0.023532 1

4 0.251327 0.24869 0.017521 0.278853 0.275254 0.017521 0 0

5 0.314159 0.309017 0.021273 0.338571 0.332139 0.021273 0.038807 1

6 0.376991 0.368125 0.024941 0.396952 0.386609 0.024941 0 0

7 0.439823 0.425779 0.028511 0.453766 0.438354 0.028511 0.05347 1

8 0.502655 0.481754 0.031968 0.50879 0.487121 0.031968 0 0

9 0.565487 0.535827 0.035299 0.561806 0.532715 0.035299 0.06729 1

10 0.628319 0.587785 0.038491 0.612605 0.575 0.038491 0 0

…..

26 1.633628 0.998027 0.062522 0.995071 0.838797 0.062522 0 0

27 1.69646 0.992115 0.062028 0.987201 0.834487 0.062028 0.124591 1

28 1.759292 0.982287 0.061288 0.975435 0.827946 0.061288 0 0

29 1.822124 0.968583 0.060307 0.95982 0.819088 0.060307 0.121636 1

30 1.884956 0.951057 0.059088 0.940417 0.807804 0.059088 0 0

31 1.947787 0.929776 0.057636 0.917302 0.793964 0.057636 0.116762 1

32 2.010619 0.904827 0.055956 0.890567 0.777428 0.055956 0 0

33 2.073451 0.876307 0.054055 0.860317 0.75805 0.054055 0.110048 1

34 2.136283 0.844328 0.051941 0.826672 0.735682 0.051941 0 0

35 2.199115 0.809017 0.049622 0.789765 0.710188 0.049622 0.101597 1

….

46 2.890265 0.24869 0.0137 0.218036 0.216312 0.0137 0 0

47 2.953097 0.187381 0.009824 0.156357 0.155721 0.009824 0.023532 1

48 3.015929 0.125333 0.00591 0.094062 0.093923 0.00591 0 0

49 3.078761 0.062791 0.001973 0.031395 0.03139 0.001973 0.007885 1

50 3.141593 -2.5E-15 1.45E-15 -1.3E-15 -1.3E-15 1.45E-15 0 0

Totali 2 1.999342 1.999342 2

Diff. Perce 0.03% 0.03% 0.00%

Figura 4.5; integrazione numerica per 50 parti

100 rettangoli

i alfa seno(a) trapezi p.medi f(x) aree simpson controllo

0 0 0 0.000493 0.015705 0.015705 0.000493 0 0

1 0.031416 0.031411 0.00148 0.047101 0.047083 0.00148 0.001973 1

2 0.062832 0.062791 0.002465 0.078449 0.078369 0.002465 0 0

3 0.094248 0.094108 0.003447 0.109721 0.109501 0.003447 0.005912 1

4 0.125664 0.125333 0.004426 0.140884 0.140418 0.004426 0 0

5 0.15708 0.156434 0.005401 0.171908 0.171062 0.005401 0.009827 1

6 0.188496 0.187381 0.00637 0.202762 0.201376 0.00637 0 0

7 0.219911 0.218143 0.007333 0.233417 0.231303 0.007333 0.013704 1

8 0.251327 0.24869 0.008289 0.26384 0.26079 0.008289 0 0

9 0.282743 0.278991 0.009236 0.294004 0.289787 0.009236 0.017527 1

10 0.314159 0.309017 0.010175 0.323877 0.318245 0.010175 0 0

…. 26

30 0.942478 0.809017 0.0257 0.818049 0.729813 0.0257 0 0

31 0.973894 0.827081 0.026254 0.835704 0.741769 0.026254 0.051958 1

32 1.00531 0.844328 0.026783 0.852535 0.752951 0.026783 0 0

33 1.036726 0.860742 0.027285 0.868524 0.763377 0.027285 0.054073 1

34 1.068142 0.876307 0.027761 0.883657 0.773064 0.027761 0 0

35 1.099557 0.891007 0.028209 0.897917 0.78203 0.028209 0.055974 1

36 1.130973 0.904827 0.028629 0.911291 0.790295 0.028629 0 0

37 1.162389 0.917755 0.029021 0.923766 0.797877 0.029021 0.057655 1

38 1.193805 0.929776 0.029384 0.935329 0.804794 0.029384 0 0

39 1.225221 0.940881 0.029718 0.945969 0.811064 0.029718 0.059108 1

40 1.256637 0.951057 0.030023 0.955675 0.816703 0.030023 0 0

41 1.288053 0.960294 0.030299 0.964438 0.821729 0.030299 0.060327 1

42 1.319469 0.968583 0.030544 0.97225 0.826156 0.030544 0 0

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….

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