Relazione parte 1 Metodi Numerici

Calcolo di un integrale definito: formule di Newton-Cotes

Studenti: Giovanni Donini 896077, Francesco Diana 952362, Mattia Ferrari 919506

Problema

4 3 +, ∈ , ; = න ( +1) = 680

Analizziamo la funzione con diversi metodi risolutivi di Newton-Cotes sia in forma chiusa che in forma aperta, evidenziando il grado di precisione e quindi di approssimazione delle diverse formule.

Formule di quadratura di Newton-Cotes in forma chiusa

Le formule di quadratura di Newton-Cotes in forma chiusa, usano entrambi gli estremi di integrazione; esse sono:

• Formula dei trapezi: Lineare
• Formula di Cavalieri-Simpson 1/3: Quadratica
• Formula di Cavalieri-Simpson 3/8: Cubica
• Formula di Boole: Del 4^o ordine

Formule di quadratura di Newton-Cotes in forma aperta

Le formule di quadratura di Newton-Cotes in forma aperta usano solo punti interni all’intervallo; esse sono:

• Formula del punto medio: Costante
• Formula con 2 punti: Lineare
• Formula con 3 punti: Quadratica
• Formula con 4 punti: Cubica

Le formule di Newton-Cotes usano valori delle funzioni su punti equispaziati.

Risultati Newton-Cotes in forma chiusa

Utilizzando le formule di Newton-Cotes in forma chiusa possiamo dedurre che la formula di quadratura dei trapezi, avendo grado 1, non restituisce un risultato accettabile. La formula di Simpson 1/3 fornisce un risultato soddisfacente in termini numerici, pur avendo un grado di precisione inferiore a quello della funzione f(x) che si intende approssimare. Le formule di quadratura di Simpson 3/8 e Boole forniscono un risultato maggiormente preciso rispetto a Simpson 1/3, non tanto dal lato numerico quanto da quello di approssimazione grafica, avendo un grado di precisione maggiore o uguale a quello della funzione medesima che risulta essere pari 3. Tali risultati sono osservabili dai grafici posti di lato.

Risultati Newton-Cotes in forma aperta

Anche nelle formule di Newton-Cotes in forma aperta che hanno un grado inferiore a 2, ossia con 1 punto e con 2 punti, i risultati non sono accettabili in quanto divergono molto dalla soluzione esatta. La formula con 3 punti fornisce un risultato soddisfacente in termini numerici, pur avendo un grado di precisione inferiore a quello della funzione f(x) che si intende approssimare. Infine la formula di quadratura di Newton-Cotes con 4 punti fornisce un risultato ancor più preciso rispetto a quelli precedenti sia dal lato numerico sia da quello di approssimazione grafica, avendo un grado di precisione uguale a quello della funzione medesima che risulta essere pari 3. Tali risultati sono osservabili dai grafici posti di lato.

Conclusioni

Riportiamo nella tabella sottostante i valori delle aree sottese delle funzioni approssimanti relative alle diverse formule di quadratura. Si ribadi...