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5.1 COSTRUZIONE CURVE NON PARAMETRICHE

La prima rappresentazione è una retta passante per due punti di equazione y = mx+q. Ho preso come intervallo della retta [-2;4] e ho preso due punti di coordinate P1(-2,3) e P2(4,1).
x y X Y X A P1 P2 X B
-2 3 -2 1 3 -0.1667 0.1667 -0.33333
4 1 4 1 1 0.6667 0.3333 2.333333
bx y -2 3 -1.88 2.96 -1.76 2.92 -1.64 2.88 -1.52 2.84 -1.4 2.8 -1.28 2.76 -1.16 2.72 -1.04 2.68 -0.92 2.64 -0.8 2.6 -0.68 2.56 -0.56 2.52 -0.44 2.48 -0.32 2.44 -0.2 2.4 -0.08 2.36 0.04 2.32 0.16 2.28 0.28 2.24 0.4 2.2 0.52 2.16 0.64 2.12 0.76 2.08 0.88 2.04 1 2 1.12 1.96 1.24 1.92 1.36 1.88 1.48 1.84 1.6 1.8 1.72 1.76 1.84 1.72 1.96 1.68 2.08 1.64 2.2 1.6 2.32 1.56 2.44 1.52 2.56 1.48 2.68 1.44 2.8 1.4 2.92 1.36 3.04 1.32 3.16 1.28 3.28 1.24 3.4 1.2 3.52 1.16 3.64 1.12 3.76 1.08 3.88 1.04 4 1 Tabella 5.1: Costruzione retta passante per due punti
Grafico retta passante per due punti
A seguire viene richiesto la rappresentazione di una parabola di secondo grado.

passante per tre punti y=ax2+bx+c e una di terzo grado passante per quattro punti y=ax3+bx2+cx+d. Ho preso come intervallo per la prima [-2:4] e per la seconda [-2;6]. L'andamento e il grafico della prima parabola sono riportati nella tabella 5.2 e nella figura 5.2, la seconda invece nella tabella 5.3 e nella figura 5.3.

Parabola 3 punti

X Y
-3 7
-2 3
-1 1
0 0
1 1
2 3
3 7
4 15

Figura 5.2: Grafico parabola passante per tre punti

Parabola 4 punti

X Y
-2 3
0 1
4 6
6 15

Figura 5.3: Grafico parabola passante per quattro punti

Costruzione parabola passante per tre punti
x y X Y X AP1
-2 3 -8 4 -2 1
3 -0.0104 0.0208 -0.0208 0.010417 -0.05208
aP2 0 1 0 0 1
1 0.1042 -0.1667 0.0833 -0.02083 0.479167
bP3 4 6 64 16 4 1 6 -0.2500 0.0833 0.2500 -0.08333 0.166667
cP4 6 8 216 36 6 1 8 0 1 0 0 1
dx y
-2 3
-1.84 2.640053
-1.68 2.31936
-1.52 2.03664
-1.36 1.790613
-1.2 1.58
-1.04 1.40352
-0.88 1.259893
-0.72 1.14784
-0.56 1.06608
-0.4 1.013333
-0.24 0.98832
-0.08 0.98976
0.08 1.016373
0.24 1.06688
0.4 1.14
0.56 1.234453
0.72 1.34896
0.88 1.482241
1.04 1.633013
1.2 1.81
1.36 1.981921
1.52 2.177493
1.68 2.385441
1.84 2.604482
2 2.833333
2.16 3.070722
2.32 3.315362
2.48 3.565973
2.64 3.821282
2.8 4.08
2.96 4.340853
3.12 4.602563
3.28 4.863843
3.44 5.123413
3.6 5.383
3.76 5.632323
3.92 5.879093
4.08 6.119044
4.24 6.350884
4.4 6.573333
4.56 6.785124
4.72 6.984964
4.88 7.171573
5.04 7.343685
5.2 7.55
5.36 7.639253
5.52 7.760165
5.68 7.861445
5.84 7.941813
6 8

5.3: Costruzione parabola passante per quattro punti

Parabola 4 punti

9876Y 543210

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7X

Figura 5.3: Grafico parabola passante per quattro punti

Infine, viene richiesta la rappresentazione di una circonferenza passante per tre punti

Ho preso come intervallo [0;2π].

2 2x +y +ax+by+c=0.

-1x y X Y X AP1 -2 3 -2 3 1 -13 -0.2778 0.1667 0.1111 -2.33333 a Xo 1.166667

P2 0 1 0 1 1 -1 0.2222 -0.3333 0.1111 -8.33333 b Yo 4.166667

P3 4 6 4 6 1 -52 -0.2222 1.3333 -0.1111 7.333333 c R 3.374743

t x y

0 1.166667 7.541409

0.125664 1.589634 7.514799

0.251327 2.005931 7.435386

0.376991 2.408992 7.304423

0.502655 2.792461 7.123976

0.628319 3.150291 6.896891

0.753982 3.476837 6.626748

0.879646 3.766951 6.317809

1.00531 4.016056 5.974944

1.130973 4.220225 5.603562

1.256637 4.376238 5.209521

1.382301 4.481633 4.799031

1.507964 4.53475 4.378569

1.633628 4.53475 3.954765

1.759292 4.481633 3.534303

1.884956 4.376238 3.123814

2.010619 4.220225 2.729771

2.136283 4.016056 2.358389

2.261947 3.766951 2.015525

2.38761

3.476837 1.7065852.513274 3.150291 1.4364422.638938 2.792461 1.2093572.764602 2.408992 1.028912.890265 2.005931 0.8979483.015929 1.589634 0.8185353.141593 1.166667 0.7919243.267256 0.743699 0.8185353.39292 0.327402 0.8979483.518584 -0.07566 1.028913.644247 -0.45913 1.2093573.769911 -0.81696 1.4364423.895575 -1.1435 1.7065854.021239 -1.43362 2.0155254.146902 -1.68272 2.3583894.272566 -1.88689 2.7297714.39823 -2.0429 3.1238144.523893 -2.1483 3.5343034.649557 -2.20142 3.9547654.775221 -2.20142 4.3785694.900885 -2.1483 4.799035.026548 -2.0429 5.209525.152212 -1.88689 5.6035625.277876 -1.68272 5.9749445.403539 -1.43362 6.3178095.529203 -1.1435 6.6267485.654867 -0.81696 6.8968915.78053 -0.45913 7.1239765.906194 -0.07566 7.3044236.031858 0.327402 7.4353866.157522 0.743699 7.5147996.283185 1.166667 7.541409

Tabella 5.4: Costruzione circonferenza passante per tre punti

Cinconferenza 3 punti

87654

Y 3210

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Figura 5.4: Grafico circonferenza passante per tre punti

5.2 COSTRUZIONE DI

CURVE PARAMETRICHE

5.2.1 Soluzione di Hermite

Il sistema si basa sul calcolo di 12 coefficienti identificativi della curva polinomiale cubica attraverso il sistema A=M*B. Con tale soluzione si impone il passaggio della curva per due punti dati e la tangenza della curva a due vettori assegnati.

P3P2P1P0 zyxzyxzyxzyx 746553145-6714.840.642.528.716.110.1 -1 BzByAxBzByBxMM 132.82-76.828.716.110.1100011-22 -177.7-22.5176.214.840.642.510.3333330.1111110.037037-1-23-3 3145-673145-6710.6666670.4444440.2962960100 28.716.110.17465511110001 45 45zyxt 40 4028.716.110.10 35 3529.2499816.991028.8298660.02 30 3029.6641817.864137.6970050.04 25 2529.9489618.719436.6977310.06 Y Y20 2030.1107119.557025.8283580.08 15 1530.155820.3775.08520.1 30.090621.179464.464570.12 10 1029.9214821.964493.9627810.14 5 529.6548322.732193.5761470.16 0 029.2970123.482663.3009820.18 50403020100 01020304028.854424.2163.13360.2 X Z28.3333724.93233.0703140.22 27.7403125.631653.1074370.24 4527.0815726.314153.2412830.26

4026.3635526.97993.4681660.28 3525.592627.6293.78440.3 3024.7751128.261544.1862980.32 2523.9174528.877614.6701730.34 X 2023.02629.477315.2323390.36 1522.1071230.060745.869110.38 21.167230.6286.57680.4 1020.2126131.179187.3517220.42 519.2497231.714378.1901890.44 018.284932.233679.0885150.46 40302010017.3245432.7371810.043010.48 Z16.37533.22511.050.5 15.4426633.6972212.105790.52 14.533934.1539313.206680.54 13.6550834.5952314.349010.56 12.8125935.0212215.529080.58 12.012835.43216.74320.6 11.2620835.8276617.987690.62 10.566836.2082919.258860.64 9.93334936.5739920.553030.66 9.3680936.9248621.86650.68 8.877437.26123.19560.7 8.46765437.582524.536630.72 8.14522737.8894525.885920.74 7.91649338.1819527.239760.76 7.78782638.460128.594490.78 7.765638.72429.94640.8 7.8561938.9737431.291820.82 8.06597139.2094132.627050.84 8.40131739.4311133.948420.86 8.86860239.6389435.252230.88 9.474239.83336.53480.9 10.2244940.0133837.792440.92 11.1258440.1801739.021470.94 12.1846240.3334740.21820.96

Tabella e figure 5.5: Soluzione di Hermite
P0 P1 P2 P3
x y z x y z x y z x y z
16.4 47.5 44.4 28.8 42 2 41.6 28.4 37.4 8.4 14.4 25.4

5.2.2 Soluzione di Bezier

È una curva approssimante che attribuisce ai punti assegnati la funzione di punti di controllo della curva con il vincolo di passaggio imposto nei punti iniziale e finale.

M M Bx By Bz Ax By Bz
-1 3 -3 1 0 0 0 1 16.4 47.5 44.4 -46.4 7.7 -125.23
-6 3 0 0.037037 0.111111 0.333333 1 28.8 42 2 1.2 -24.3 233.4
-3 3 0 0 0.296296 0.444444 0.666667 1 41.6 28.4 37.4 37.2 -16.5 -127.21
1 0 0 0 1 1 1 1 8.4 14.4 25.4 16.4 47.5 44.4
t x y z
0.02 17.14411 47.16034 41.94836
0.04 17.88695 46.80161 39.67743
0.06 18.6263 46.42418 37.5812
0.08 19.35992 46.02842 35.65366

YY

0.08

19.35992

46.02842

35.65366

2020

Dettagli
Publisher
Lola78
A.A. 2021-2022
118 pagine
SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/04 Strade, ferrovie ed aeroporti
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Lola78 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecniche di modellazione per l'ingegneria civile e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Loprencipe Giuseppe.