Raccolta esercizi Fisica generale

Il blocco m1 in moto sulla piastra con velocita v e' rallentato dalla forza di attrito (dinamico) F1k che e' diretta

verso sinistra. A sua volta la piastra e' spinta a destra dalla forza di reazione, uguale e contraria alla precedente

ed e' rallentata dalla forza di attrito F2k fra piastra e piano. Dette N1 e N2 le forze normali applicata alla pioastra e

al blocco e, scelto un asse x positivo verso destra, la 2a legge della dinamica per i due corpi si scrive:

      

= = = =

μ1 μ1 μ2 μ2

F1k N1 m1 g F2k N2 ( m1 m2

) g

   

= =

F1k m1 a1 F1k F2k m2 a2

la condizione che la piastra si muova e' che sia a2 >0 cioe'

    

μ1 μ2

[ m1 ( m1 m2

) ] g 

=

a2 0

m2

che e' una condizione indipendenta dalla velocita iniziale v. Coi dati del problema si ottiene

      

μ1 μ2

[ m1 ( m1 m2

) ] g 2 2

          

μ1

a2 0.653 m s a1 g 5.88 m s

m2

e quindi la piastra si muove. Per calcolare la distanza x1 richiesta oserviamo che il blocco si ferma rispetto alla piastra

quando i due hanno la stessa velocita'. Scrivendo la legge del moto per le velocita dei due corpi si ricava il tempo t0

in cui assumono valore uguale v0.

  

= =

v1 v a1 t v2 a2 t 

v 1

          

=

v a1 t0 a2 t0 t0 0.459 s v0 a2 t0 0.3 m s



a1 a2

La distanza percorsa dal corpo rispetto alla piastra e' la differenza dei due spostamenti nel tempo to:

1 1

2 2

          

x1 v t0 a1 t0 0.758 m x2 a2 t0 0.069 m x1 x2 0.689 m

2 2

Dopo che i due corpi hanno raggiunto la stessa velocita' si muovono insieme, tenuti uniti dalla forza di attrito statico e

proseguono il moto finche l'attrito dinamico con il piano non riduce la loro velocita comune a zero. Per risponder a questa

domanda scriviamo che il lavoro della forza d'attrito dinamico durante l;intervallo di tempo in cui i ]i due corpi si muovono

insieme e' pari alla variazione di energia cinetica. Detto d lo spazio percorso; 2

 

1 ( m1 m2

) v0

2

            

= μ2

F2k d ( m1 m2

) v0 F2k ( m1 m2

) g 9.8 N d 0.023 m



2 2 F2k

Questo spazio va aggiunto a x2 che la piastra ha percorso prima che il blocco vi si fermasse sopra:

 

d x2 0.092 m

Dato che alla fine la piastra e il blocco sopra sono fermi, l'energia dissipata e' pari all'energia cinetica iniziale che e' solo

quella dovuta alla velocita v di m1:

1 2

   

Ediss m1 v 9 J

2

Attrito - Due blocchi trascinati

Due blocchi di masse m = 900 g e m = 250 g, collegati da una molla di costante

1 2

elastica k = 30 N/m e lunghezza a riposo d = 8 cm sono in moto con accelerazione

2

costante a = 0.2 m/s su di un piano orizzontale, sotto l’effetto di una forza esterna

F applicata alla massa m . Sapendo che il coefficiente d’attrito dinamico fra blocchi

2

e il piano è μ = 0.11, calcolare 1) il modulo della forza F applicata; 2) la lunghezza

k

della molla.

     

m1 900 gm m2 250 gm d 8 cm

 

1 2

      

k 30 N m 0.11 a 0.2 m s

μk

Consideriamo separatamente le forze che agiscono su ciascuno dei

due corpi.

Sulla massa 1 agiscono:

- il suo peso m1g verso il basso.

- la forza normale N1 diretta verso l'alto che gli impedisce di

cadere.

- la forza elastica della molla Fm che lo spinge verso destra.

- la forza di attrito dinamico F1k diretta verso sinistra che ne

rallenta il movimento.

Sulla massa 2 agiscono:

- il suo peso m2g verso il basso.

- la forza normale N2 diretta verso l'alto che gli impedisce di

cadere.

- la forza applicata F che lo spinge verso destra.

- la forza elastica della molla Fm che lo spinge verso sinistra.

- la forza di attrito dinamico F2k diretta verso sinistra che ne

rallenta il movimento

Tenendo presente che le due masse si muovono verso destra con

la stessa accelerazione "a", detta "x" la lunghezza della molla,

abbiamo:

       

N1 m1 g 8.826 N F1k N1 0.971 N

μk

       

N2 m2 g 2.452 N F2k N2 0.270 N

μk

      

Fm F1k m1 a F F2k Fm m2 a Fm k ( x d )

= = =

        

k ( x d ) F1k m1 a F F2k k ( x d ) m2 a

= =

Queste ultime costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite F e x. Per risolverlo

sommiamo le due equazioni e ricaviamo F, poi sostituiamo nella prima e troviamo x.

          

F1k F F2k ( m1 m2

) a F F1k F2k ( m1 m2

) a 1.471 N

=

 

F1k m1 a

  

x d 0.118 m

k

Da notare che dato che i due corpi si muovono insieme, li si puo' anche considerare come

un'unica massa. In questo modo si riesce a trovare F. Poi pero' per trovare x bisogna

considerare uno solo dei due blocchi. Questo perche x e' una grandezza relativa alla forza

elastica della molla, che considerando i due corpi insieme, viene ignorata.

Molla e blocchi sovrapposti

Due blocchi di massa m=120 g e M=1.75 kg sono posti uno sull'altro sopra un

piano orizzontale e il blocco inferiore è collegato ad una molla di costante elastica

k = 12 N/m. I coefficienti d'attrito statico e dinamico fra i due blocchi e fra il blocco

inferiore e il piano sono μs = 0.450 e μk = 0.275. Mentre una forza esterna tiene

fermi i due blocchi, la molla viene lentamente compressa di una quantità d e poi i

blocchi sono lasciati liberi di muoversi. Calcolare l'accelerazione iniziale "a" di

ciascuno dei due blocchi nel caso che sia 1) d = 50 cm; 2) d = 75 cm.

     

m0 0.120 kg M 1.75 kg 0.45 0.275

μs μk

 

1 2

         

k 12 N m d1 50 cm d2 75 cm g 9.8 m s

Consideriamo il diagramma delle forze che agiscono separatamente su ciascuno dei due blocchi dopo

che sono stati lasciati liberi di muoversi. Supponiamo per il momento che i due blocchi rimangano

fermi, nonostante la molla e verifichiamo se questo e' possibile.

Il blocco piccolo m0 e' sottoposto alle seguenti forze:

- il peso m0g verso il basso.

- la forza normale Na dovuta al blocco grande M che lo

sostiene.

Il blocco grande M e' sottoposto alle seguenti forze:

- il peso Mg verso il basso

- una forza normale Nb verso l'alto che lo sostiene

e che gli e' applicata dal piano su cui e' appoggiato.

- la forza elastica della molla F

- una forza Na verso il basso, applicata dal blocco m0 e uguale

e contraria alla Na che agisce sul blocco m0 (forza di reazione).

- la forza di attrito statico Fs fra blocco e piano, che si oppone al

movimento e quindi e' diretta a sinistra

Dalle condizioni dell'equilibrio dei due blocchi risulta:

        

F Na m0 g 1.176 N Nb ( Na M g ) 18.326 N

Fs =

Calcoliamo adesso la massima forza di attrito statico fra il blocco M e il piano e poi due valori

della forza elastica F1 e F2 dei due casi:

           

Fsmax Nb 8.247 N F1 k d1 6 N F2 k d2 9 N

μs

Si vede che, per F= F1, la forza d'attrito statico Fs necessaria per mantenere fermo il blocco grande M e'

inferiore alla massima forza d'attrito statico Fsmax e quindi il blocco non si muove. E se e' fermo il blocco

grande M e' fermo anche quello piccolo m0. Si conclude che nella condizione d =d1 l'ipotesi che i due blocchi

siano fermi e' verificata e in questo caso avremo a = 0 per tutti e due i blocchi.

Nel caso F= F2 invece, la forza della molla e' maggiore della Fsmax e quindi l'attrito statico non e' sufficiente a

bloccare il movimento e i due blocchi si mettono in moto e se la forza di attrito statico fra i due blocchi e'

sufficientemente grande, essi si muoveranno insieme, altrimenti il blocco piccolo m0 scivolera' all'indietro

sull'altro. Supponiamo per il momento che si muovano insieme e che quindi abbiano la stessa accelerazione

"a", diretta verso destra. Dato che la forza elastica agisce solo sul blocco grande M, la forza orizzontale che

spinge il blocco piccolo m0 verso destra e' la forza d'attrito fra i due blocchi e, dato che non c'e slittamento, e'

una forza di attrito statico che indichiamo come F0s. Allora in queste condizioni, in aggiunta alle forze gia'

indicate prima, abbiamo anche le seguenti forze:

Sul blocco piccolo m0:

- la forza F0s di attrito statico che lo spinge verso destra

e che gli e' applicata dal blocco grande.

Sul blocco grande M:

- la forza di attrito dinamico col piano che si oppone la miovimento

e quindi e' diretta verso sinistra

- una forza F0s diretta verso sinistra uguale e contraria alla

F0s che spinge m0 (forza di reazione).

Dalle leggi della dinamica per il blocco M abbiamo:

         

Nb Na M g ( m0 M ) g Fk ( m0 M ) g 5.04 N

= = μk

   

F2 Fk F0s M a F0s m0 a

= =

Queste ultime sono due equazioni nelle due incognite a e Fs. Per risolvere il

sistema sommiamo le due equazioni e ricaviamo a e poi FS:



( F2 Fk )  2

         

F2 Fk ( m0 M ) a a 2.118 m s Fs m0 a 0.254 N

= 

( M m0

)

verifichiamo ora che la forza Fs che imprime al blocco m0 l'accelerazione "a' e' inferiore all massima forza di

attrito statico fra i due blocchi cioe' Fs <Fsmax. Infatti

       

Na m0 g 1.176 N Fsmax Na 0.529 N

μs

Quindi e' confermato che i due blocchi si muovono insieme.

In alternativa e' possibile impostare il problema considerando i due blocchi come un'unica

massa. Ricordiamo infatti che quando due masse si muovono insieme si possono sempre

considerare come un'unica massa di valore pari alla somma delle masse, sottoposta alle

forze che agiscono dall'esterno, trascurando cioe' le forze che ciascuna massa esercita

sull'altra. Allora, considerando il diagramma delle forze che agiscono dall'esterno

sull'insieme dei due blocchi:

Nel caso F=F1, immaginando i blocchi fermi:

        

Nb ( m0 M ) g 18.326 N Fsmax Nb 8.247 N

μs

e si conclude come prima che F1< Fsmax e quindi i due blocchi sono fermi.

Nel caso F= F2 sempre ipotizzando per i due blocchi la stessa accelerazione:

      

Fk Nb 5.04 N F2 Fk ( m0 M