Raccolta di esercizi di Fisica 2

O R

R r

3

R

1 2

Si noti che la funzione è continua nei punti R , R e R .

E(r) 1 2 3

In questo esercizio, nonostante che il teorema di Gauss coinvolga integrali di superficie e di

volume, è stato sufficiente ricordare le formule per la superficie ed il volume di una sfera grazie al

fatto che le densità di carica sono costanti.

Esercizio 2

Dato un filo rettilineo indefinito circolare di raggio R = 10 cm e carico con densità di carica di

volume: ; con =

= +

in cui rappresenta il raggio di circonferenze concentriche alla sezione perpendicolare del filo,

r

determinare l’andamento del campo elettrico in tutto lo spazio in funzione di r.

Soluzione

Prendiamo un sistema d’assi cartesiano con l’asse R

coincidente con l’asse centrale del filo rettilineo ρ

z z r

indefinito. Il sistema presenta una simmetria P

cilindrica attorno all’asse in quanto, oltre alla

z

forma cilindrica del filo, si ha che la densità di

carica di volume in punto P interno al filo dipende

punto P dall’asse

solo dalla distanza del Di

r z. y

O

conseguenza il campo elettrico deve avere θ

x

anch’esso simmetria cilindrica, cioè deve avere

una forma del tipo: r

�̂

� = h

�̂

in cui è un versore giacente nel piano e

xy E(r) E(r)

perpendicolare all’asse ed inoltre la

z,

componente dipende solo dal modulo che è

E(r) r,

la distanza del punto P dall’asse z.

Possiamo quindi applicare il teorema di Gauss su una superficie cilindrica, di altezza generica e di

h

il calcolo all’interno

raggio di base coassiale al filo rettilineo indefinito e ripetere del filo ed

r,

all’esterno. In entrambe le zone si ha che il flusso del campo elettrico sulla superficie cilindrica è

dato da: ̂

� =∫ ∙� = ∫ = ℎ

cioè dal prodotto della componente per la superficie laterale del cilindro, in quanto il flusso

E(r) ̂

�

sulle basi è 0 dato che sulle basi il campo elettrico è ortogonale al versore , mentre in ogni punto

�̂ ̂

�

della superficie laterale si ha sempre che è concorde con .

Per il calcolo dell’integrale di volume, vista la simmetria cilindrica, è opportuno usare le coordinate

cilindriche invece di quelle cartesiane, la trasformazione che lega i due sistemi di coordinate è:

= cos �

{ = sin �

�=�

come abbiamo già visto, è la distanza del punto P dall’asse +∞,

dove e quindi mentre

r, z

θ è l’angolo formato dal versore con l’asse

�̂ �

con , infine non viene cambiato dalla

x z

l’elemento di volume infinitesimo

trasformazione. In questo sistema di coordinate si scrive:

dV

= � �

� �

Zona A:

In questa zona il calcolo del campo elettrico con il teorema di Gauss fornisce:

ℎ

� +

ℎ= ∫ = ∫ � �= ∫ � ∫ � ∫

� � + � +

ℎ

� � −

dove per l’integrazione in abbiamo posto il centro del cilindretto in un punto arbitrario lungo

z z o

l’asse Il calcolo fornisce:

z. ℎ

ℎ= ln +

�

e quindi: ln +

ln + ≅ /

= �

→

Se si calcola il limite per si ha:

lim = lim ln + = /

�

→ →

limite che può essere eseguito con gli sviluppi di Taylor o con il teorema di de l’Hôpital.

� �

Zona B:

Il calcolo è formalmente identico con l’unica differenza che l’integrazione in arriva fino al raggio

r

del filo, in quanto oltre questo raggio non vi è più carica e quindi:

R ℎ ln +

ℎ= �

infine: .

= ln + ≅ /

� e tende a 0 all’infinito.

Si noti che la funzione è continua in

E(r) r = R

Lezione del 24/03/2015

Esercizio 1

Numero 3 della prova scritta di Fisica 2 del 23 giugno 2009

All’interno di una sfera di raggio -9

= 10 cm è distribuita una carica totale = 8·10 C. La densità

R q =

di carica di volume varia con la distanza dal centro della sfera secondo la legge , dove

r b

è una costante. Determinare:

a) il valore della costante b;

b) l’andamento del campo elettrico all’interno della sfera;

c) la differenza di potenziale tra il centro della sfera e la sua superficie.

Soluzione E(r)

Calcoliamo la carica totale usando l’integrale di volume della densità di R

a)

carica: r O

=∫

� E(r)

Data la simmetria sferica della distribuzione di carica e poiché la densità di

carica dipende solo da calcoliamo questo integrale in coordinate polari

r,

sferiche invece di quelle cartesiane. Le trasformazioni sono:

= sin � cos �

{ = sin � sin �

� = cos � θ

dall’origine z

dove è la distanza del generico punto è

r P O, P

φ

l’angolo formato dal raggio con l’asse è l’angolo

mentre

r z, θ

con l’asse

formato dalla proiezione di sul piano I limiti delle

r xy x. r y

O

coordinate polari sono: φ

+∞ x

�

{ �

delle coordinate polari sferiche è che l’integrale

Il vantaggio dell’uso di volume si trasforma nel

nelle 3 variabili polari. L’elemento di volume

prodotto di 3 integrali indipendenti si scrive:

dV

=| | � �= sin � � �

,�,�

| |

dove è il determinante della matrice quadrata Jacobiana data da:

,�,� � � �

� �� ��

� � �

= � �� ��

�� �� ��

( � �� ��)

sin �.

il cui determinante fornisce proprio

Tornando all’integrale si ha alloraμ � �

=∫ sin � � � = ∫ sin � � ∫ � ∫ =

�

e poiché è noto si ha:

q −

= → = ≅ . ∙ /

b) Per il calcolo del campo elettrostatico usiamo il teorema di Gauss su una sfera centrata

nell’origine e di raggio tale che , infatti per la simmetria sferica della distribuzione di

r

carica anche il campo elettrostatico deve avere dipendenza puramente radiale e quindi in ogni punto

della superficie sferica di raggio il campo elettrico ha espressione:

r �̂

� =

�̂ ̂ �̂ ̂

∥ � �

con , dove è il versore del campo elettrico ed è il versore perpendicolare ed uscente dalla

Per il calcolo dell’integrale di volume si procede come prima, solo che la

superficie sferica S(r).

variabile di integrazione radiale arriva fino ad Si ha quindi:

r’ r.

̂ ∫ ′ →

� =∫ ∙� = � �

→ = → = ≅ /

� �

c) Per il calcolo delle differenza di potenziale tra il centro e la superficie della sfera di raggio R

usiamo la definizione di differenza di potenziale:

− =∫ ∙ �

Nel nostro caso il punto coincide con mentre il punto è un punto arbitrario sulla superficie

A O, B

della sfera e quindi si ha: − =∫ ∙ � = ∫ = ≅

� �

Esercizio 2

Numero 5 della prova scritta di Fisica 2 del 29 settembre 2009

di spazio in cui esiste un campo elettrico, il potenziale ha l’espressioneμ

In una regione = − ; dove = ; = /

rappresenta la distanza dall’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

La variabile r

Calcolare:

a) il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate (0, 3, 4);

= 2 m centrato nell’origine e con

b) la quantità di carica contenuta in un cubo di lato gli spigoli

L

paralleli agli assi.

Soluzione z

a) Calcoliamo il campo elettrico facendo il gradiente del P

potenziale e poiché quest’ultimo dipende solo dalla distanza 4

è

r,

utile esprimere il gradiente in coordinate polari sferiche: r

� �

� , , )

, �, � = −� = − ( �� sin � ��

� O y

3

x

il cui calcolo fornisce: L

, �, � = − − , , = , , = �

cioè un campo elettrico puramente radiale, come ci si doveva aspettare visto che il potenziale non

dipende dalle coordinate angolari.

∀� e ∀�:

Nel punto (0, 3, 4) si ha quindi

√

|�|

= = + + = → , �, � = ∙ ∙ = /

b) Poiché il campo elettrico è radiale ed il centro cubo è posto al centro del sistema di assi cartesiani

con gli spigoli paralleli agli assi, si ha che il flusso del campo elettrico su ogni faccia del cubo è

uguale, calcoliamo quindi il flusso del campo elettrico su una faccia e poi moltiplichiamo per 6.

Prendiamo la faccia ortogonale all’asse ̂

il cui versore normale coincide con il versore , per il

x

calcolo del flusso esprimiamo il campo elettrico in coordinate cartesiane:

, ,� = �= , ,�

� , , �

e lo calcoliamo sulla faccia di coordinate , si ha:

̂=

∙ ( , , �) ∙ , , =

e quindi, notando che il flusso è:

dS = dydz, ̂

� =∫ ∙ = ∫ � =

Il flusso totale su tutto il cubo è quindi: � =

Applicando infine il teorema di Gauss alla superficie del cubo si ha per la carica interna:

−

→ = → = � ≅ ∙

� = �

�

Esercizio 3

Moto di una particella carica all’interno di una zona dove è presente un campo elettrostatico

uniforme: moto parabolico.

Esempio lungo l’asse

Un protone si muove liberamente di un sistema di riferimento con velocità

x Oxy,

̂

� = ∙ / , ed entra in una regione di lunghezza L = 5 cm dove è presente un campo

. Determinare l’intensità del campo elettrostatico affinchè il protone

̂

=

elettrostatico uniforme

all’uscita della regione con campo elettrico si sia spostato della quantità h = 2 cm nella direzione .

y

Calcolare l’energia cinetica del protone all’uscita ed esprimerla in elettronvolt (eV).

Soluzione y

Data la massa del protone:

−

= . ∙ E v

e la carica del protone: h

−

= . ∙

il moto del protone si scompone in un v

o

moto rettilineo ed uniforme lungo ed

x O x

L

uniformemente accelerato lungo Infatti

y.

il protone è sottoposto ad un’unica forza costante lungo data da:

y ̂

= =

che produce una accelerazione costante lungo y: ̂

�= =

Si ha un moto parabolico, infatti scrivendo le equazioni generali del moto in e in funzione del

x y

tempo si ha: = +

{ = + +

Avendo posto l’origine del sistema di riferimento all’inizio della regione con campo elettrico e

e sostituendo al modulo dell’accelerazion