Problema di analisi complessa 7

Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 7c

Partendo dalla relazione:

n 1

∑

−

π π π π <

=

( 2 n 1 2 n 2 h , ,

x

[ Tan ( x )] a [

Tan ( x )]

h 2

=

h 0

fornire l’espressione che definisce a , (h = 0,1,2,3,…,n), in funzione di n, (n = 1,2,3,…).

h

Risoluzione

Riprendiamo la formula indicata in (2c.2)

n ∑

∑ π

− − −

π π π

π π − −

( 2 n 1

) 2 n 2 h 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk

[ Tan ( x )] = = 2 ( 1

) ( 1

) k e , (7c.1)

a [

Tan ( x )]

h

= ≥

h 0 k 1 +

1 1 it

π π

= =

e poniamo , da cui: = ,

ln

Tan ( x ) t x ArcTan (t ) −

2

i 1 it

che sostituita nella (7c.1) fornisce: +

1 it −

n − 1 it

k ln

∑ ∑

∑ − −

− − − −

−

2 n n k 2 n 1 2 2 1

2 h n n k n k

1 it

= 2 ( 1

) ( 1

) k e = ; (7c.2)

2 ( 1

) ( 1

) k ( )

a t

h +

1 it

= ≥ ≥

k 1 1

h 0 k

derivando la (7c.2), (2h) volte, rispetto a t, e ponendo dopo, t = 0, abbiamo:

−

1 it

∑ −

− −

2 n n k 2 n 1 k ( 2 h )

a ( 2 h )! = [ 2 ( 1

) ( 1

) k ( ) ] ;

=

t 0

h +

1 it

≥

k 1  

2 h

lim 2 h

∑ − −

−   − +

− + k ( 2 h j ) k ( j )

k k ( 2 h ) = [(

1 it ) ] [(

1 it ) ] =

ora, [(

1 it ) (

1 it ) ]  

= →

t 0 t 0 j

 

=

j 0

−

   

Γ + − Γ + − Γ +

2 h j j

2 h 2 h

2 h 2 h

( k 1

)( i ) ( k j )( i ) ( k j )

∑ ∑

  

 − h

= = =

k ( 1

)

   

Γ + − + Γ Γ + − +

j j

   

( k 1 2 h j ) ( k ) ( k 1 2 h j )

= =

j 0 j 0

 

2 h 2 h

∑   − + − + − + − +

h

= k ( 1

) ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h 1

) ;

 

j

 

=

j 0

ricordiamo che nello sviluppo delle derivate abbiamo utilizzate le formule seguenti:

α β

Γ + Γ +

( 1

) ( n )

α α β β

− − − −

+ = + + = − +

( n ) n n ( n ) n n

D ( a bx ) b ( a bx ) ; D ( a bx ) ( b ) ( a bx ) ;

α β

x x

Γ + − Γ

( 1 n ) ( )

inoltre, ricordiamo la ben nota relazione:

n

∑ k

x(x-1)(x-2)…(x-n+1) = ,

s ( n , k ) x

=

k 0

dove s(n,k) rappresentano i numeri di Stirling di prima specie.

 

2 h 2 h

∑   − + − + − + − +

h

Pertanto: k ( 1

) ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h 1

) =

 

j

 

=

j 0

     

− −

2 h 2 h 1 2 h 2 h 1

2 h 2 h u

( ) ( )

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ −

     

− − + − − − −

h u h p u p

= k ( 1

) s 2 h 1

, u ( k j 1

) = k ( 1

) s 2 h 1

, u k ( j 1

) ;

     

j j p

     

= = = = ≥

j 0 u 0 j 0 u 0 p 0

   

−

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑

∑ −

   

− − − − −

h p u p

2 n n k 2 n

quindi: a ( 2 h )! = 2 ( 1

) ( 1

) k ( 1

) s 2 h 1

, u k ( j 1

) =

   

h j p

   

≥ = = ≥

k 1 j 0 u 0 p 0

   

−

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑ ∑

− +

   

− − − − −

2 n n h u p k 2 n p

= 2 ( 1

) ( 1

) s 2 h 1

, u ( j 1

) ( 1

) k ;

   

j p

   

= = ≥ ≥

j 0 u 0 p 0 k 1

ζ − −

sappiamo che = 0, (n + p intero > 0), e quindi:

( 2 n 2 p )