Problema di analisi complessa 2

Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 2c

Partendo dalla relazione

Sinh (

ux ) 1

∞

∫ π π

= <

, ,

du Tan ( x ) x

u 2

0 Sinh ( )

2

e derivando, (2n-1) volte, rispetto ad x, ( n = 1,2,…), si ottiene:

−

2 n 1 n

u Cosh (

ux )

∞ ∑

∫ −

π π π π

= ( 2 n 1

) 2 n 2 h

du [ Tan ( x )] = , (2c)

a [

Tan ( x )]

h

u

0 =

h 0

Sinh ( )

2

Si chiede di fornire:

1) l’espressione che definisce a in funzione di n;

0 n

∑

2) l’espressione che definisce la in funzione di n;

a h

=

h 0 n

∑ in funzione di n;

3) l’espressione che definisce il rapporto [ a ] / a

h 0

=

h 0

4) l’espressione che definisce a in funzione di n.

n

Risoluzione

Punto 1

Derivando, (2n-1) volte, rispetto ad x, (n = 1,2,3,…), la relazione:

Sinh (

ux )

∞

∫ π π

du = , ricaviamo:

Tan ( x )

Sinh (

u / 2

)

0 −

2 n 1 n

u Cosh (

ux )

∞ ∑

∫ −

π π π π

( 2 n 1

) 2 n 2 h

du = [ Tan ( x )] = (2c.1)

a [

Tan ( x )]

h

Sinh (

u / 2

)

0 =

h 0

Dalla (2c.1) ricaviamo: π

π − 2

2 ∑ π

−

− − + −

π π −

− ( 2 n 1

)

( 2 n 1

) k 2 ix (

1 k ) ( 2 n 1

)

[ Tan ( x )] = = [ ( 1

) e ] =

[ (

1 )]

π +

2 ix i

i e 1 ≥

k 0

π

− 2 ∑ π

− − +

π = −

− − +

k 2 n 1 2 ix (

1 k ) i 1

= ( 1

) [ 2 i (

1 k )] e , ; sostituendo k a (1+k), abbiamo:

i ≥

k 0 ∑ π

− − −

π π π − −

( 2 n 1

) 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk

[ Tan ( x )] = 2 ( 1

) ( 1

) k e (2c.2)

≥

k 1

Ponendo, nella (2c.1) e (2c.2), x = 0, troviamo:

−

2 n 1

u

∞ ∑

∫ −

π

π − −

2 n 2 n 2 n n k 2 n 1

du = = 2 ( 1

) ( 1

) k (2c.3)

a 0

Sinh (

u / 2

)

0 ≥

k 1

Osserviamo che:

∑ ∑ ∑

− − −

− = − − =

k 2 n 1 2 n 1 2 n 1

( 1

) k ( 2 k ) ( 2 k 1

)

≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1

∑ ∑ ∑ ∑

− − − −

− − + − =

2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1

( 2 k ) [ ( 2 k 1

) ( 2 k ) ( 2 k ) ]

≥ ≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1 k 1

∑ ∑ ∑

− − − ζ

− + − −

2 n

2 n 1 2 n 1 2 n 1

= ( 2 k ) k ( 2 k ) = ( 2 1

) (

1 2 n ) ; (2c.4)

≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1 B

ζ ζ

− = − − =

2 n

ricordando che , e ,

n n

(

1 2 ) ( 2 ) 0

n

2