Problema di analisi complessa 10

Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 2p

Partendo dalla relazione

π

( )

Cosh ux 1

∞

∫ = <

, ,

du x

π

u Cos ( x ) 2

0 (

Cosh )

2

e derivando, (2n-1) volte, rispetto ad x, (n = 1,2,3,…), si ottiene:

− π

2 n 1

u Sinh (

ux )

∞

∫ −

= =

( 2 n 1

)

du [ ]

π

u Cos ( x )

0 Cosh ( )

2 ∑ π

− − − +

π

= − − − +

2 n n 1 k 2 n 1 i x (

1 2 k )

2 ( 1

) ( i ) ( 1

) (

1 2 k ) e (2p).

≥

k 0

Ciò premesso, si chiede di dimostrare che:

 

n 2 n

1 ∑   − =

2 h 2 h

1) 2 ( 2 1

) B 1

  2 h

2 h

 

2 n =

h 1

dove B rappresenta il numero di Bernoulli di indice 2h;

2 h 1 1

∑ − −

k =

2) ( 1

) [ ]

+ +

2 n 2 n

(

1 4 k ) (

3 4 k )

≥

k 0  

2 n

n

2 1 ∑

−

π  

− − −

2 n n 1 4 h 2 h

= ( 1

) [ 4 ( 2 1

) B 4 n ]

  2 n

2 n 2 h

 

2 4 ( 2 n )! =

h 1

Risoluzione

Utilizzando la relazione:

π

Cosh (

ux ) 1

∞

∫ <

du = , ,

x

π

Cosh (

u / 2

) Cos ( x ) 2

0

e derivando, (2n-1) volte, rispetto ad x, (n = 1,2,3,…), e ponendo dopo, x = 0,

otteniamo: −

2 1

n

lim u Sinh (

ux )

∞

∫ du = 0;

→

x 0 Cosh (

u / 2

)

0

π ∑ ∑

π

− − + − − −

π π π

− − − +

( 2 n 1

) k i x (

1 2 k ) ( 2 n 1

) k 2 n 1 2 n 1

[ ] = 2 [ ( ) e ] = 2 ( ) ( i ) (

1 2 k ) = 0,

=

π )

x 0 =

x 0

Cos ( x ) ≥

≥ k 0

k 0 −

 

−

2 n 1 2 n 1

∑ ∑

∑ ∑

− −  

− + − + − k h

k 2 n 1 k 2 n 1

da cui: ( 1

) (

1 2 k ) = 1 + ( 1

) (

1 2 k ) = 1 + ( 1

) ( 2 k ) =

 

h

 

≥ ≥ ≥ =

k h

k 0 k 1 1 0

−

−

   

− −

2 n 1 2 n 1

2 n 1 2 n 1

1

∑ ∑ ∑ ∑

∑    

− − + −

− k h h k h

k

=1+ ( 1

) + ( 1

) ( 2 k ) 1 2 ( 1

) k =

=

   

h h

 

  2

≥ ≥ = = ≥

k 1 k 1 h 1 h 1 k 1

− −

   

n n

2 n 1 2 n 1 B

1 1 1

∑ ∑ ∑

− −

   

+ − − −

2 h 1 k 2 h 1 2 h 2 h 2 h

= 2 ( 1

) k = 2 ( 2 1

) = 0, da cui:

   

− −

2 h 1 2 h 1

   

2 2 2 2 h

= ≥ =

h 1 k 1 h 1