Problema di analisi complessa 11

Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 3p

Partendo dalla relazione

π

( )

Cosh ux 1

∞

∫ = <

, ,

du x

π

u Cos ( x ) 2

0 (

Cosh )

2

e derivando, (2n) volte, rispetto ad x, (n = 1,2,3,…), si ottiene:

π

2 n

u Cosh (

ux )

∞

∫ = =

( 2 n )

du [ ]

π

u Cos ( x )

0 Cosh ( )

2 ∑ π

+ − +

π

= − − +

2 n 1 n k 2 n i x (

1 2 k )

2 ( 1

) ( 1

) (

1 2 k ) e (3p)

≥

k 0

Ciò premesso, si chiede di dimostrare che: +

− +

π  

− −

k n 1 2 n 1 n 2 n 1

( 1

)

( 1

)

∑ ∑   − − +

2 h 2 h

1) = [ 2 ( 2 1

) B ( 2 n 1

)] ;

 

+ + 2 h

+ +

2 n 1 2 n 2 2 h

 

(

1 2 k ) 2 ( 2 n 1

)!

≥ =

k 0 h 1

1 1

∑ − + =

k

2) ( 1

) [ ]

+ +

+ +

2 n 1 2 n 1

(

1 4 k ) (

3 4 k )

≥

k 0 +

− +

π  

− n 1 2 n 1 2 n 1

n

( 1

) 2 ∑   − − +

2 h 2 h

= ;

[ 4 ( 2 1

) B 2 ( 2 n 1

)]

 

+ 2 h

+

2 n 1 2 h

 

4 2 ( 2 n 1

)! =

h 1

B rappresenta il numero di Bernoulli di indice 2h.

2 h

Risoluzione

Punto 1

Utilizzando la relazione:

π

Cosh (

ux ) 1

∞

∫ <

du = , ,

x

π

Cosh (

u / 2

) Cos ( x ) 2

0

e derivando, (2n) volte, rispetto ad x, (n = 1,2,3,…), e ponendo dopo, x = 0,

otteniamo: π

2 n

u

∞ ∑

∫ π

− +

π −

( 2 n ) k i x (

1 2 k ) ( 2 n )

du = [ ] = 2 [ ( 1

) e ] ;

=

π )

x 0 =

x 0

Cosh (

u / 2

) Cos ( x )

0 ≥

k 0

2 n

u n

( 2 )!

∞ ∞ ∑

∑

∫ ∫ − − −

− k

n u k uk

2 / 2

du = = =

2 ( 1

)

2

u e ( 1

) e du 1

Cosh (

u / 2

)

0 0 +

+

≥ ≥ n

2 1

k

k 0 0 k )

( 2

− k

( 1

)

∑

+

n

2 2

2 ( 2 n )! ;

= +

+ n

2 1

(

1 2 k )

≥

k 0

∑ ∑ ∑

π

− + +

π π π π

− − − + − − +

k i x k n k n n n n k n

(

1 2 ) ( 2 ) 2 2 2 1 2

2 [ ( 1

) e ] = 2 ( 1

) ( i ) (

1 2 k ) = 2 ( 1

) ( 1

) (

1 2 k ) =

)

=

x 0

≥ ≥ ≥

k k k

0 0 0

Ricordiamo che:    

n n

2 2

2 n 2 n

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

   

− + + − + − + −

k h h k h

k n k

2

= ( 1

) (

1 2 k ) = 1 ( 1

) ( 2 k ) = 1 ( 1

) 2 ( 1

) k =

 

 

h h

   

≥ ≥ = ≥1 = ≥

k k h k h k

1 0

0 1 1