Precompiti matematica 1 svolti

1) Dominio

f(x) = cos(√(x-5)) / x - 6

• x - 5 ≥ 0
• x ≠ 6 → x ≠ 6

D: x ∈ ℝ: x ≥ 5, x ≠ 6

{5,6} ∪ (6,+∞]

2) Derivata

F(x) = ∛(x² - 5) + cos√(x³ - 2x)

F'(x) = 1/3 (2x - 5)^-2/3 ⋅ (4x) + cos(x³ - 2x)(3x² - 2) =

= 1/3 (2x - 5)^-2/3 4x + cos(x³ - 2x)(3x² - 2)

= 4x/3∛((2x-5)²) + cos(x³ - 2x)(3x² - 2)

3) Determinante

A = (1 2 2 β) (0 2 -1) (1 0 0)

det A = (-1) (1) det (1 -2 2) (0 2 -1) (1 0 0)

= (-1) [(2 - 2λ)] = 2λ - 2

4) Autovalori

A = (2 3 1) (0 1 0) (0 1 0)

det (2-λ 3 1) (0 -1-λ 0) (0 1-λ 0)

= (-1)(2-λ) det (-λ 0) (0 1-λ)

= (2-λ)(-1-λ)(1-λ)

λ₁ : 2

m_g = 1

λ₂ : 1

m_g = 1

λ₃ : 1

m_g = 1

Diagon. ?: Gli autovalori devono essere semplici, m_g = m_g

• mp λ₁ : 3 - rango

  ( 2 - 2 )^-1 ( 2 3 1 ) ( x )

        ( 0 0 1 ) ( y )

        ( 0 1 1 ) ( z )

  = 3 - rango ( 0 3 1 )

  = 3 - 2 = 1

• mp λ₂ : 3 - rango

  ( 3 - 1 )^-1 ( 3 0 0 ) ( 0 0 0 )

        ( 0 3 0 ) ( 0 0 0 )

        ( 0 0 1 ) ( 0 0 9 )

  = 3 - rango ( 0 0 0 )

  = 3 - 1 = 2 m_a ≠ m_g

• mp λ₃ : 3 - rango ( 2 3 1 ) ( 0 0 0 )

        ( 0 1 0 ) ( 0 0 0 )

        ( 0 1 0 ) ( 0 0 0 )

  = 3 - rango ( 0 0 0 )

  = 3 - 1 = 2 m_a ≠ m_g

Non è diagonalizzabile.

^~

1. Scrivere n^o complessi in forma z = a + ib

   1) z₁ = λ

    = λ 1

   λ₁² λ₄ λ₄ λ₄ 4 4 2

   λ₂³ λ₁ - λ₁ = -1

    = i

   λ₃² λ₁ - λ₃

    = 4

    = λ = λ 1

   = 1

   z₂ = λ¹- λ

   z₃ λ₂ λ₃

   = λ¹- λ

   z₂ λ₂ λ₃

   = λ¹- 1

      ( 3λ - 2 )

   z₃ λ₃

   = ( λ - 1 ) ( 3 1 - 2 )

   = ( 1 - 1 ) ( 3λ - 2 )

    =   = ( 1 - 1 ) ( 3 1 - 2 )

   = 9 + 4

    =   = 3² z³ + 2

      - 3 = 2² λ - 3 + 2

        =     = 5^-1 - 4

          =   = - 2

          =   = - 3^-2 λ - 3 - λ

              =

   1^-1 - 2

        = = 5^-1/13^-1

   1^-1+1

   1¹/13+1/5/13

Precompito Aprile 2023

1. Dominio

   f(x) = √x² - 4 / ln(x)

   D = {x² - 4 > 0}

   x > 2

   ln(x) ≠ 0

   D = {x ∈ ℝ , x > 2}

2. Derivata

   f(x) = sin(x²) - 2cos(x)ln(x)

   f(x) = cos(x²)2x + 2(-sin(x)ln(x)

   = 2xcos(x²) + 2sin(x)ln(x) - 2cos(x)/x

3. Integrale

   ∫_π/2^2π cosx e^sinx dx

   = e^sinx |_π/2^2π

   = e⁰ - e¹ = 1 - e

4. Dip. Lineare

   u = (1 -1 1), v = (2 3 2), w = (5 5 0)

   Sono (u,v,w) dep.?

Precompito Gennaio 2023

1. Dominio

   f(x) = _{Im (x-1)}/^{x2 - 3}

   D = { x ∈ ℝ : x > 1, x ≠ √3 } → [1, √3) ∪ (√3, +∞]

2. Derivata

   F(x) = _{cos(x³) - 2xe^x}/^sinx

   = _{sinh(3x³) - 3x² - 2e^x}/^(sinx)2

   = _{sinx - 3x sin(x³) - 4e^x}/^(sinx)2 - cosx (cos(x³) - 2e^x)

3. Integrale

   ∫²/_x(x-1) dx = A/x + B/x+1 = ²/_x(x-1)

   ∫_xA/x + B/x-1 dx = −2 ∫u⋅ln|x| + 2 ∫u⋅ln|x+1| + C

4. Determinante

   A = 0200 0411 2031 0012

   (+1)(+1)(u) = 16