Testi Esame Svolti Analisi Matematica 1

Name: Testi Esame Svolti Analisi Matematica 1
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Author: Raincy44

Revisionato il 21/09/2026

di Raincy44

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Testi esami di analisi 1, con risoluzione di tutti e quattro gli esercizi, è inoltre presente un formulario elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Capitanelli Raffaela

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2016-2017

88 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

Tabella con i principali limiti notevoli

Limiti trigonometrici

Lim sin x / x = 1
Lim tan x / x = 1
Lim (1 - cos x) / x = 0
Lim (1 - cos x) / x² = 1/2
Lim x / arcsin x = 1
Lim x / arctan x = 1

Limiti esponenziali e logaritmici

Lim (1 + a/x)^x = e^a
Lim (1 + ax)^1/x = e^a
Lim log_a (1 + x) / x = 1/ln a
Lim (a^x - 1) / x = ln a
Lim (e^x - 1) / x = 1
Lim ((1 + x)^a - 1) / x = a

Le operazioni sui limiti di somma, prodotto, quoziente

(+ infty) + e = + infty (+ infty) + (+ infty) = + infty

(+ infty) . e = segno di e . (+ infty) (se e<0)

(+ infty) . (+ infty) = + infty

e / infty = 0; infty / e = infty; e / 0 = infty; 0 / infty = 0 (se e<>0)

infty / 0 = infty 0 / x = 0

Regole di derivazione

Derivata di una costante per una funzione: D[k · f(x)] = k · f'(x)

Derivata di una somma di funzioni: D[f(x) + g(x) + h(x)] = f'(x) + g'(x) + h'(x)

Derivata di un prodotto: D[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Derivata di un rapporto: D[f(x)/g(x)] = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / [g(x)]²

Derivata di una funzione composta (funzione di funzione): D[g(f(x))] = g'(f(x)) · f'(x)

In particolare:

Y = ln|x|
Y = [f(x)]ⁿ
Y = a^f(x)
Y = e^f(x)
Y = ln|f(x)|
Y' = 1/x
Y' = n · [f(x)]^n-1 · f'(x)
Y' = a^f(x) · ln a · f'(x)
Y' = e^f(x) · f'(x)
Y' = f'(x)/f(x)

Derivata di una funzione composta esponenziale: D[f(x)]^g(x) = [f(x)]^g(x) · [g'(x) · ln f(x) + g(x) · f'(x)/f(x)]

Derivata di una funzione inversa: D[f^-1(y)] = [1/f'(x)], x = f^-1(y)

Forme indeterminate

+∞ -∞ 0·∞ 0/0 ∞/∞

Quando ho (∞ + ∞) => f(x) - g(x) = log_e(e^f(x) / e^g(x)) = log_e(e^f(x)/e^g(x))

Quando ho (0 · ∞) => f(x) · g(x) = f(x)/(1/g(x))= g(x)/(1/f(x))

Quando ho (0/0) e (∞/∞) applico Hopital

Quando ho (1^∞; ∞⁰; 0⁰) => f(x)^g(x) = e^{log_e(f(x))·g(x)} = e^{g(x) log_e(f(x))}

0^+∞ 0^-∞ +∞^+∞ +∞^-∞ →

e^+∞-∞ → 0

e^-∞-∞ → +∞

e^+∞+∞ → +∞

e^-∞+∞ → 0

Formulario: tavola delle derivate fondamentali

Y = f(x) y' = f'(x)

Funzione costante

Y = k y' = 0

Funzione potenza

Y = xⁿ, n in R y' = nx^n-1

In particolare:

Y = x y' = 1
Y = |x| y' = x/|x|
Y = 1/x y' = -1/x²
Y = sqrt(x) y' = 1/(2sqrt(x))
Y = root(n)(x) y' = 1/(n root(n)(x^n-1))

Funzione logaritmica

Y = log_ax y' = 1/x log_a e = 1/(x ln a)

In particolare:

Y = ln x y' = 1/x
Y = a^x y' = a^x ln a

In particolare:

Y = e^x y' = e^x

Funzioni goniometriche

Y = sen x y' = cos x
Y = cos x y' = -sen x
Y = tg x y' = 1/cos²x = 1 + tg²x
Y = ctg x y' = -1/sen²x

Funzioni goniometriche inverse

Y = arcsen x y' = 1/sqrt(1 - x²)
Y = arccos x y' = -1/sqrt(1 - x²)
Y = arctg x y' = 1/(1 + x²)
Y = arcctg x y' = -1/(1 + x²)

Logaritmi

Log_ab = c

b = a^c

Serie numeriche

Serie geometrica: sum from k=1 to infinity of q^k

-> |q| < 1, la serie converge a q/(1-q)
- q = 1, la serie diverge a +∞
- q > 1, la serie diverge a +∞
- q < -1, la se

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