Matematica 1 - Compiti svolti

Compito Luglio 2023

1. Studio Funzione

   f(x) = ln(1/x²-2x+4)

   1. Dominio

      • 1/x²-2x+4 > 0
      • x²-2x+4 > 0
      • Δ = b²-4ac = 4-4(1)(4) = 4-16 < 0
      • Δ < 0, x²-2x+4 sempre >0

      D: {x ∈ R | x ∈ R}

   2. Segno

      Im(1/x²-2x+4) ≥ 0

      • x²-2x+4 < 1
      • x²-2x+3 ≤ 0

      Δ = b²-4ac = 4-4(1)(3) = 4-12 < 0

      La diseq. iniziale non è mai vera; le funzione è sempre negativa

   3. Limiti

      • Limiti a dx e sx ( ∞, -∞) - Asintoto orizz.
      • lim (x → ∞) ln(1/x²-2x+4) = ln(∞) = ln0 = -∞
      • lim (x → -∞) ln(1/x²-2x+4) = ln(∞) = ln0 = -∞
      • No Asintoto verticali, non ho punti di discontinuità
      • Asintoto verticali

\[ \lim_{x \to -\infty} F(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} = 0 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} = 0 \]

Il lim e piu avanti nelladerivata dopo (afnalisi)\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \]

No asintoto obliquo

Derivata

\[ f(x) = \frac{1}{(x^2 - 2x + 4)} \cdot \left( \frac{1}{x^2 - 2x + 4} \right) = (x^2 - 2x + 4)^{-1} \]

\[ = (x^2 - 2x + 4)^{-1} \cdot \left( -1 \right) (x^2 - 2x + 4) \left( 2x - 2 \right) \]

\[ - (x^2 - 2x + 4)^{-1} \cdot \left( -\frac{1}{(x^2 - 2x + 4)^2} \right) \]

\[ = (2x - 2) \cdot \frac{-2x + 2}{x^2 + 2x + 4} = - \]

Segno - \(\frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 4}\) > 0

N: \(2x + 2 \geq 0\)

D: sempre positivo

\[ x = 1 \] massimo

\[ f(1) = \ln \left( \frac{1}{1^2 - 2 + 4} \right) = \ln \left( 1 - 2 + 4 \right) = \ln \left( \frac{1}{3} \right) \approx -1.0986 \]

Integrali

1. \[ \int \frac{\ln(t) \cdot \cos(t)}{3} \frac{e^{2\cos(t)}}{3} \, \frac{dt}{dx} \]

   cos(t) = x

   \[ \cos(t) = x \]

   divino tutti e due

   Sint alt = dx

   \[ \int e^{\frac{2x}{3}} \, dx = -\frac{1}{3} \, \int x \, e^{\frac{x}{3}} \, dx \]

Compito Giugno 2023

1. Studio Funzione

   f(x) = x³ e^1/x

2. Dominio

   x ∈ ℝ

   x ≠ 0

3. Segno

   3√x³ e^1/x > 0

   x ≠ 0

4. Limiti

   lim (x → 0^-) 3√x³ e^1/x = -∞

   lim (x → 0⁺) 3√x³ e^1/x = 0^-

   lim (x → +∞) 3√x³ e^1/x = +∞

   lim (x → +∞) f(x) = lim (x → +∞) (3√x³ e^1/x) / x

5. Derivata

   F(x) = x³ e^1/x

   F'(x) = 3√x³ (e^1/x + x³ e^1/x (-1/x²))

D:

2) SEGNO

Im                       > 0      m(H) = 0

         > Val(1)

                                     > 1

                                     > 0

3) LIMITE

lim           . m            = +∞     X = 0

                                                                        ASINT VERTICALE

lim             

4) DERIVATA

   =       

   =                                          

     =