Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti sulle funzioni elementari

Capitolo 3: Funzioni

Funzioni elementari

Facciamo qui un rapido richiamo delle principali funzioni e delle loro proprietà algebriche.

Potenze e radicali

Potenze
Sia a ∈ R e n ∈ N. Il numero a si dice potenza di grado n del numero a. Vediamo le principali proprietà delle potenze:

aⁿ · a^m = a^n+m; (3.1)
(aⁿ · bⁿ) = (ab)ⁿ; (3.2)
aⁿ : a^m = a^n-m; (3.3)
(aⁿ : bⁿ) = (a/b)ⁿ; (3.4)
(aⁿ)^m = a^nm; (3.5)
a^-n = 1/a per ogni a, b ∈ R, per ogni n, m ∈ N; (3.6)
a⁰ = 1, a¹ = a per ogni a ≠ 0. (3.7)

Radicali
Sia a ∈ R, n un numero naturale. Per radicale del radicando a di indice n si intende il numero √ⁿa.

Si osservi che, quando n è pari, è necessario che a ≥ 0, viceversa le radici di indice dispari si intendono per qualsiasi numero reale. Inoltre, nel caso pari parleremo di radice aritmetica di a quando la si sceglierà senza segno (o, per meglio dire, con segno positivo), mentre parleremo di radice algebrica di a intendendo quella con segno positivo o negativo (ciò è dovuto al fatto che un numero positivo e il suo opposto, elevati ad una potenza pari, danno lo stesso valore). Nel caso delle radici dispari, invece, il segno della radice sarà concorde a quello del numero a. Utilizzeremo spesso anche la seguente notazione: √^1/na = a^1/n. (3.8)

Valgono allora le seguenti proprietà per i radicali:

• Somma: Due radicali si possono sommare se e solo se hanno uguale indice e uguale radicando.
• Prodotto: √^ma · √ⁿb = √^nm(a · b); (3.9) equivalente a (a^1/n · b^1/m) = (a · b)^1/(nm). (3.10)
• Quoziente: √^ma : √ⁿb = √^nm(a : b); (3.11) equivalente a (a^1/n : b^1/m) = (a : b)^1/(nm). (3.12)
• Potenza: √^m(aⁿ) = a^m/n; (3.13) equivalente a (a^1/n)^m = a^m/n. (3.14)
• Radice: √^q(√^ma) = a; (3.15) equivalente a (a^1/n)^1/m = a^1/(nm). (3.16)
• Razionalizzazione: Quando un radicale si presenta al denominatore di una frazione è conveniente razionalizzare tale espressione, i.e. rendere il denominatore un numero razionale.

Radicale doppio: Consideriamo la radice della forma √²(a ± b), con la condizione 2a - b è un quadrato perfetto. Allora vale la formula:

√(2a ± a² - b) = ± √²(a − a − b). (3.20)

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Sia a un numero reale positivo e diverso da 1. La funzione f: R → R, f(x) = a^x, si dice funzione esponenziale. Il suo dominio coincide con tutto R, mentre la sua immagine coincide con R⁺. Inoltre essa è crescente per a > 1 e decrescente per 0 < a < 1. Di seguito sono rappresentate le funzioni esponenziali 2^x e (1/2)^x.

Si ricordano le proprietà più importanti della funzione esponenziale:

a^x · a^y = a^x+y; a^x : a^y = a^x-y; (3.21)
(a^x)^y = a^xy; a^x · b^x = (ab)^x.

Sotto le stesse ipotesi fatte in precedenza per a, si definisce la funzione logaritmo (in base a) f: R⁺ → R, f(x) = log_ax. Si osservi che, per definizione:

y = log_ax ⇐⇒ x = a^y, (3.22)
da cui le due identità: y log_ay = log_ax, x = a^y. (3.23)

Il dominio della funzione logaritmo è R⁺, mentre il suo codominio è tutto R. Inoltre essa è crescente per a > 1 e decrescente per 0 < a < 1. Nel seguito sono rappresentate le funzioni logaritmiche log₂x e log_1/2x.

Si hanno le proprietà:

• log_a(xy) = log_ax + log_ay, x, y > 0; (3.24)
• log_a(x/y) = log_ax − log_ay, x, y > 0; (3.25)
• log_a(x^y) = y · log_ax, x > 0, y ∈ R; (3.26)
• log_ax = log_bx / log_ba, x > 0. (3.27)

Le funzioni trigonometriche

Misure di angoli ed archi
Misurare un angolo significa compararlo con un altro angolo, scelto come unità. Ad ogni arco di circonferenza corrisponde un unico angolo al centro. La misura di un arco è, quindi, la misura dell’angolo al centro che vi corrisponde. In trigonometria si adoperano tre diverse unità di misura per gli angoli:

• Il grado sessagesimale, definito come la novantesima parte dell’angolo retto;
• Il grado centesimale, definito come la centesima parte dell’angolo retto;
• Il radiante.

Vediamo nel dettaglio come si definisce quest'ultimo. Sia C una circonferenza di centro O e raggio r e sia AB un arco determinato dai punti A e B su di essa. Sia ` > 0 la lunghezza dell’arco AB: per definizione, la misura in radianti dell’angolo al centro ∠AOB che sottende l’arco AB è il rapporto `/r.

Si osservi che se `/r = 1, allora ` = r: in altre parole, l’unità di misura in questo sistema, detta radiante, è l’angolo al centro che sottende un arco pari alla lunghezza del raggio della circonferenza. Se ne deduce che la misura dell’angolo di 360 gradi, sottendendo tale angolo l’intera circonferenza, corrisponde a 2π radianti.

In generale, la misura in radianti α di un angolo α è correlata a quella in gradi sessagesimali α_grad dalla relazione:

α_rad = α_grad · 2π/360

La trigonometria è la branca della matematica che studia le relazioni intercorrenti tra i lati e gli angoli dei triangoli. Per poter definire delle formule che permettano di calcolare, ad esempio, la lunghezza dei lati di un triangolo scaleno una volta noti i suoi angoli, è necessario introdurre delle particolari funzioni, dette funzioni trigonometriche, definite per ogni angolo α espresso in radianti e a valori (in generale) nell’insieme dei numeri reali.

Per fare questo, sia C := {(x, y) ∈ R² : x² + y² = 1} la circonferenza unitaria di centro il punto O(0, 0) e raggio r = 1, rappresentata in figura:

L’ascissa a del punto P viene detta coseno dell’angolo θ, l’ordinata b viene detta seno dell’angolo c, mentre l’ordinata γ del punto Q viene detta tangente dell’angolo θ:

a = cos θ, b = sin θ, c = tan θ.

Nel seguito riportiamo i grafici delle funzioni seno, coseno e tangente. Poiché P ∈ C, si ha a² + b² = 1, e quindi:

cos²θ + sin²θ = 1, (3.28)

che è detta relazione fondamentale della trigonometria.

Se consideriamo i triangoli OP H e OQH, essi risultano simili in quanto hanno gli stessi angoli interni. Ne segue che:

KQ : P H = OK : OH.

Ma KQ = c = tan θ, P H = b = sin θ, OK = 1, OH = a = cos θ, e quindi:

tan θ = sin θ/cos θ, da cui la relazione:

tan θ = sin θ/cos θ. (3.29)

Si definiscono poi le funzioni cosecante, secante, cotangente di θ al modo seguente:

csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ. (3.30)

Le funzioni trigonometriche godono di alcune proprietà fondamentali che possiamo riassumere nella seguente tabella:

È inoltre immediato verificare che:

• sin 0 = 0, sin π/2 = 1, sin π = 0, sin 3π/2 = −1;
• cos 0 = 1, cos π/2 = 0, cos π = −1, cos 3π/2 = 0;

Archi associati. Relazioni tra funzioni trigonometriche

Si dicono archi associati due angoli la cui somma o differenza è un angolo notevole. In particolare, se x, y sono i due archi, essi si dicono:

• Complementari se x + y = π/2;
• Supplementari se x + y = π;
• Esplementari se x + y = 2π.

Valgono le seguenti relazioni per gli archi associati:

sin(π/2 − x) = cos x; cos(π/2 − x) = sin x; tan(π/2 − x) = cot x.