Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti sulle funzioni elementari

I II III IV

sin x + + − −

cos x + − − +

tan x + − + −

61

3.1.5 Formule trigonometriche

Come abbiamo visto prima, è facile stabilire il valore di una delle funzioni

trigonometriche quando si lavora su archi associati. Tuttavia, risulta spesso

utile conoscere il valore di una delle funzioni trigonometriche anche su angoli

che si possano esprimere come somma, differenza (o altro ancora) di due o più

archi (non necessariamente associati). Di seguito riportiamo tali formule.

Formule di sottrazione

sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x; (3.33)

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y; (3.34)

tan x − tan y

tan(x − y) = . (3.35)

1 + tan x tan y

Formule di addizione

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x; (3.36)

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y; (3.37)

tan x + tan y

tan(x + y) = . (3.38)

1 − tan x tan y

Formule di duplicazione

sin 2x =2 sin x cos x; (3.39)

2 2

2 2

cos 2x = cos x − sin x = 2 cos x − 1 = 1 − 2 sin x; (3.40)

2 tan x

tan 2x = . (3.41)

2

1 − tan x

Formule di bisezione r 1 − cos x

x = ± ; (3.42)

sin 2 2

r

x 1 + cos x

cos = ± ; (3.43)

2 2

r

x 1 − cos x

tan = ± . (3.44)

2 1 + cos x

62

Espressione in funzione di t = tan(x/2)

2t

sin x = ; (3.45)

2

1 + t 2

1 − t

cos x = ; (3.46)

2

1 + t

2t

tan x = . (3.47)

2

1 − t

Formule di prostaferesi x + y x − y

sin x + sin y =2 sin cos ; (3.48)

2 2

x − y x + y

sin x − sin y =2 sin cos ; (3.49)

2 2

x + y x − y

cos x + cos y =2 cos cos ; (3.50)

2 2

x + y x − y

cos x − cos y = − 2 sin sin ; (3.51)

2 2

sin(x ± y)

tan x ± tan y = . (3.52)

cos x cos y

Formule di Werner 1

sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; (3.53)

2

1

sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] ; (3.54)

2

1

cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x − y)] . (3.55)

2

3.1.6 Funzioni trigonometriche inverse

Se consideriamo la funzione sin x ristretta al solo dominio [−π/2, π/2], ci accor-

giamo che su tali valori la funzione seno assume tutti i valori compresi tra −1 e

1 una ed una sola volta. Ne segue che la funzione

h i

π π −→ [−1, 1],

sin : − ,

2 2

risulta biettiva e quindi invertibile. La funzione

h i

π π

−→ − , ,

arcsin : [−1, 1] 2 2

è detta arco seno di x, è la funzione inversa della funzione seno ed è definita da

y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y.

63

Allo stesso modo, si possono definire le funzioni inverse di coseno e tangente.

Abbiamo la funzione −→ [0, π] ,

arccos : [−1, 1]

detta arco coseno di x, definita da

y = arccos x ⇐⇒ x = cos y.

Infine la funzione ³ ´

π

π ,

arctan : R −→ − ,

2 2

detta arco tangente di x, definita da

y = arctan x ⇐⇒ x = tan y.

Nel seguito sono riportati i grafici delle funzioni arcoseno, arcocoseno e ar-

cotangente.

3.1.7 Funzioni iperboliche

Se x ∈ R definiamo la funzione seno iperbolico di x, come

2x

x −x e − 1

e − e = .

sinh x = (3.56)

x

2 2e

64

Definiamo poi la funzione coseno iperbolico di x come

x −x 2x

e + e e + 1

cosh x = = . (3.57)

x

2 2e

In analogia con quanto si fa per le funzioni trigonometriche, definiamo poi la

funzione tangente iperbolica di x come x −x 2x

e − e

sinh x e − 1

= .

tanh x = = (3.58)

x −x 2x

cosh x e + e e + 1

Di seguito sono rappresentati i grafici delle funzioni seno iperbolico, coseno

iperbolico e tangente iperbolica.

Le funzioni iperboliche soddisfano a relazioni molto simili a quelle delle fun-

zioni trigonometriche classiche. In particolare per esse vale la relazione fonda-

mentale 2 2 (3.59)

cosh x − sinh x = 1,

e tutta una serie di altre formule, simili a quelle per le funzioni trigonometriche

(che non riportiamo perché di non fondamentale utilità).

65

3.1.8 Le funzioni iperboliche inverse

Come per le funzioni trigonometriche, anche quelle iperboliche hanno le loro

inverse. Esse vengono dette settori iperbolici e di seguito ne diamo le espressioni

analitiche e i grafici.

Settore seno iperbolico

La funzione −→ R, (3.60)

sett sinh : R

definita da (3.61)

y = sett sinh x ⇐⇒ x = sinh y

si dice funzione settore seno iperbolico. Per una sua espressione analitica, po-

niamo y −y

e − e 2y y

=⇒ e

x = − 2xe − 1 = 0.

2

y 2

Posto t = e , abbiamo l’equazione t − 2xt − 1 = 0 le cui soluzioni sono

√ p

2

2x ± 4x + 4 2

t = x + 1.

= x ±

2

y

Ricordando che t = e > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,

per cui la funzione settore seno iperbolico si esprime come

³ ´

p 2

y = sett sinh x = log x + x + 1 . (3.62)

Settore coseno iperbolico

La funzione sett cosh : [1, +∞) −→ R, (3.63)

definita da y = sett cosh x ⇐⇒ x = cosh y (3.64)

si dice funzione settore coseno iperbolico. Per una sua espressione analitica,

poniamo y −y

e + e 2y y

x = =⇒ e − 2xe + 1 = 0.

2

y 2

Posto t = e , abbiamo l’equazione t − 2xt + 1 = 0 le cui soluzioni sono

√ p

2

2x ± 4x − 4 2

= x ±

t = x − 1.

2

y

Ricordando che t = e > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,

per cui la funzione settore coseno iperbolico si esprime come

´

³ p 2

x − 1 . (3.65)

y = sett cosh x = log x +

66

Settore tangente iperbolica

La funzione sett tanh : (−1, 1) −→ R, (3.66)

definita da y = sett tanh x ⇐⇒ x = tanh y (3.67)

si dice funzione settore tangente iperbolica. Per una sua espressione analitica,

poniamo 2y

e − 1 2y

x = =⇒ (x − 1)e + (x + 1) = 0.

2y

e +1

y 2

Posto t = e , abbiamo l’equazione (x − 1)t + (x + 1) = 0 le cui soluzioni sono

r x +1

t = ± .

1 − x

y

Ricordando che t = e > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,

per cui la funzione settore tangente iperbolica si esprime come

1 x +1 (3.68)

y = sett tanh x = · log .

2 1 − x

I grafici delle funzioni iperboliche inverse sono riportati di seguito.

67

3.2 Proprietà delle funzioni elementari

Ricordiamo che R = {x ∈ R : x > 0} e R = {x ∈ R : x < 0}.

+ − α

1) Funzioni elevamento a potenza f (x) = x .

• Consideriamo inanzitutto α ∈ N. In tal caso Dom(f ) = R e:

se α = 2k, Im(f ) = R ∪ {0}, la funzione è pari e positiva e si annulla in

+

x = 0;

se α = 2k + 1, Im(f ) = R, la funzione è dispari, positiva per x > 0,

negativa per x < 0 e si annulla in x = 0.

2 4 6 3 5

Di seguito i grafici per le funzioni x , x , x e x, x , x .

√

• Sia ora α = 1/n, con n ∈ N. Allora f (x) = x è la funzione inversa di

n

n

x . Abbiamo in tal caso:

se n = 2k, Dom(f ) = R ∪ {0}, Im(f ) = R ∪ {0}, la funzione è positiva

+ +

per x > 0 e si annulla in x = 0;

se n = 2k + 1, Dom(f ) = R, Im(f ) = R, la funzione è dispari, positiva

per x > 0, negativa per x < 0 e si annulla in x = 0.

√ √ √ √ √

√

Di seguito i grafici per le funzioni x, x, x e x, x, x.

4 6 3 5 7

68 −n n

• Infine consideriamo il caso α = −n, con n ∈ N. Allora f (x) = x = 1/x

e quindi:

se n = 2k, Dom(f ) = R \ {0}, Im(f ) = R , la funzione è pari;

+

n = 2k + 1, Dom(f ) = R \ {0}, Im(f ) = R \ {0}, la funzione è dispari.

se 2 4 6 3 5

Di seguito i grafici per le funzioni 1/x , 1/x , 1/x e 1/x, 1/x , 1/x .

2) Funzioni polinomiali e razionali

Una funzione polinomiale è della forma

n

X k n

f (x) = a x = a + a x + . . . + a x , a ∈ R.

k 0 1 n k

k=0

Il suo dominio è tutto R.

Una funzione razionale fratta è della forma

P (x)

f (x) = ,

Q(x)

69

con P, Q funzioni polinomiali. Il suo dominio è

Dom(f ) = R \ {x ∈ R : Q(x) = 0}.

3) Funzione valore assoluto

La funzione valore assoluto è definita nel modo seguente:

 x x ≥ 0



f (x) = |x| =  −x x< 0

e si ha per essa: Dom(f ) = R, Im(f ) = R ∪{0}, la funzione è pari, decrescente

+

per x < 0, crescente per x ≥ 0.

Di seguito il grafico per la funzione |x|.

4) Funzione segno

La funzione segno di x si definisce come

 −1 x< 0









 0 x =0

f (x) = sign(x) = 







 1 x> 0

e si ha per essa: Dom(f ) = R, Im(f ) = {−1, 0, 1}, la funzione è dispari e

costante su R e R .

− +

Di seguito il grafico per la funzione sign(x).

70

5) Funzioni trigonometriche

• La funzione seno, f (x) = sin x ha Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1], è dispa-

ri, ha periodo T = 2π, è positiva per x ∈ (0, π), negativa per x ∈ (π, 2π)

e si annulla nei punti x = 0, x = π, x = 2π.

• La funzione coseno, f (x) = cos x ha Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1], è

pari, ha periodo T = 2π, è positiva per x ∈ [0, π/2) ∪ (2π/2, 2π], negativa

per x ∈ (π/2, 3π/2) e si annulla nei punti x = π/2, x = 3π/2.

• La funzione tangente, f (x) = tan x ha Dom(f ) = R \ {π/2 + kπ, k ∈ Z},

Im(f ) = R, è dispari, ha periodo T = π, è positiva per x ∈ (0, π/2),

negativa per x ∈ (π/2, π) e si annulla nei punti x = 0, x = π.

Di seguito i grafici delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente.

71

6) Funzoni trigonometriche inverse

• La funzione f (x) = arcsin x, arcoseno, ha Dom(f ) = [−1, 1] e Imf =

[−π/2, π/2], è dispari, positiva per x ∈ (0, 1), negativa per x ∈ (−1, 0) e

si annulla in x = 0.

• La funzione f (x) = arccos x, arcocoseno, ha Dom(f ) = [−1, 1] e Imf =

[0, π], positiva per x ∈ [−1, 1) e si annulla in x = 1.

• La funzione f (x) = arctan x, arcotangente, ha Dom(f ) = R e Imf =

[−π/2, π/2], è dispari, positiva per x ∈ (0, +∞), negativa per x ∈ (−∞, 0)

e si annulla in x = 0.

Di seguito i grafici delle funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arco-

coseno e arc