OIS Case Study ed Esercitazioni

C

Allora l’output del duopolio di Cournot sarà Q =2(A–c)/3b, e, per i profitti dei giocatori, avremo:

C

2

3 9

Nel caso di N giocatori, indicando con –q tutti i giocatori tranne i, sarà:

i

, , 2

2

∀i.

Data la struttura simmetrica dei costi, sarà q =q Pertanto scriviamo:

C

i

2 ⟹ ;

1 1 1

I profitti di ogni giocatore saranno: 1

⟹

1 1

I risultati precedenti confermano come l’incremento del numero di imprese in un mercato di Cournot implica

che: l’output di equilibrio di ciascun giocatore decresce, l’output di mercato aumenta, il prezzo diminuisce

così come i profitti di ciascun player. pari a C =cq +f. In tal caso dobbiamo

Vediamo cosa succede se invece la struttura dei costi è simmetrica ma i i

determinare la condizione di free‐entry equilibrium. La condizione da imporre sarà:

1 1

1 5

Quest’ultimo è dunque il numero di giocatori in free‐entry equilibrium per un dato mercato di Cournot, che

risulta proporzionale alla massima “willingness to pay” del mercato A e inversamente proporzionale ai costi

→ ∞.

fissi f necessari per entrare nel mercato. La precedente mostra anche come se f = 0, allora N C

Supponiamo un duopolio di Bertrand con prodotti differenziati e simmetria nei costi:

; , , ,

Allora, le best response function dei duopolisti saranno: ,

0 , 0

0 ⟹ ,

2 2

Ponendo a sistema le due BRF e risolvendo rispetto a p e p troviamo:

1 2

2

Vediamo un esempio applicativo del modello di Stigler. Sia P=130‐Q la curva di domanda di un mercato con

due player i e j in cui entrambi hanno MC=c=10 e si gioca un supergame di Cournot. Vediamo cosa succede

giocando una trigger strategy con ritorno all’equilibrio di Cournot se la deviazione viene individuata dopo un

periodo. Innanzitutto l’output di Cournot sarà q =q =40 (uguagliando le due BRF q =(120‐q )/2). Gli output

C C

i j i j

monopolistici si trovano imponendo MR=MC; dato che MR=130 – 2Q, allora Q =60. Quindi gli output collusivi

m

70.

saranno q =q =30 e il prezzo sarà L’output della deviation strategy si calcola come l’output ottimo

im jm

quando il rivale gioca la strategia collusiva, e in questo caso sarebbe qi =45. I profitti delle tre strategie risultano

D

rispettivamente pari a 1600, 1800, 2025. Allora avremo δ’=0,53: ciò significa che in un siffatto mercato una

strategia di collusione è sostenibile se e solo se δ≥0,53.

Se, nella stessa situazione, le due imprese competessero sul prezzo, si cadrebbe nel paradosso di Bertand.

10, 120, 60, 0.

Dunque si avrà Le condizioni dell’accordo collusivo risultano

le stesse del caso precedente. La deviation strategy consiste in questo caso nell’abbassare il prezzo di una

70,

quantità infinitesima τ, passando ad un prezzo monopolizzando il mercato. Allora i profitti

130 130 3600. L’accordo collusivo sarà sostenibile

relativi alla defezione saranno:

per δ≥0,5. Si noti che come sia più facile sostenere l’accordo rispetto al caso di Cournot poiché la punizione di

0).

Bertrand è più pesante (

Vediamo ora il caso in cui i prodotti sono differenziati, supponendo un’industria composta da due aziende

24 5 2

con domanda residua pari a e con costi marginali nulli per entrambe. In questo caso

3, 15, 45

possiamo per prima cosa trovare i prezzi di Bertrand come di consueto, ottenendo:

(naturalmente i risultati sono unici per la simmetria delle domande residue e dei costi). Con un accordo

48;

collusivo che massimizza i profitti congiunti si otterrebbe infatti derivando il profitto del

monopolista ottenuto vendendo i due prodotti differenziati ( ) una volta in ed una volta in

4, 12.

e ponendo a sistema le derivate poste nulle, otteniamo Il profitto di una deviazione

51.2. Per tali valori la

ottima, ovvero giocando la best response mentre il rivale gioca M, è pari a

condizione sul fattore di sconto è δ≥0,516 (supponendo, come sempre, che l’avversario si accorga della

deviazione in un periodo).

Si abbia un mercato di Hotelling in cui le preferenze dei consumatori sono distribuite in modo uniforme in

una lunghezza unitaria. Le imprese entrano sequenzialmente sostenendo sunk cost. I prezzi sono endogeni e

tali che p – c = 1. L’obiettivo è determinare al variare dei valori di f ed M l’equilibrio free‐entry e la localizzazione

delle imprese. Una volta calcolato N , la localizzazione ottima delle imprese (tale che nessuna di queste avrà

min

interesse nel cambiare posizione) può calcolarsi come:

1 2

1 3 5 7

. ; ; ; ;…

2 2 2 2

6

ovvero posizionando fino all’N – esima impresa secondo la formula di cui sopra. Tale posizionamento è tale

min

che ogni impresa serva un mercato lungo l , e pertanto nessuna avrà interesse a spostarsi. Ad esempio, se

max

M=2 ed f = 1/8, si trova l =1/8, N =8 e le imprese si posizionano come nella figura precedente.

max min

Facciamo un altro tipo di ragionamento.

Notiamo anzitutto che le imprese sono disposte

simmetricamente, ovvero il segmento catturato

da ciascuna è pari ad 1/N e queste si

min

posizionano al centro dell’intervallo. Se si hanno

costi di mismatch T(D)=k D, allora il consumatore

posto a distanza t dall’impresa più vicina avrà

costi pari a k t; pertanto quello più distante

sosterrà T(D)= k / 2N. Supponendo tali costi come

sostenuti dall’impresa quali costi di trasporto, il costo totale dell’impresa i (considerando i sunk cost di

immissione, i costi di produzione ed i costi di trasporto di entrambi i lati dell’intervallo) è dato da:

1 1

2 2 2 2

Sommando tutti i costi e ponendo a zero la derivata rispetto ad N del costo totale di tutte le imprese otteniamo

un valore minimo di N per servire efficacemente il mercato, detto di ottimo sociale:

1

→ 0 ⇔

4 2

il mercato è efficiente, se sarà non efficiente.

Diremo allora che se

Siete un manager di una discoteca che serve due tipologia di clienti, le cui domande sono rappresentate da:

25 18 5 ; 25 10 2

I costi marginali di un drink sono pari a c = 2€. Supponendo che il mercato non possa essere segmentato

(ovvero non è possibile praticare prezzi differenti in base all’età), per fissare il prezzo unico da monopolista

1

bisogna avere un’idea del peso relativo di ciascuna domanda, al fine di calcolare ,

p m

scrivere la funzione di profitto , derivarla e porla uguale a 0 ed infine risolvere in p. Supponendo

che mediamente le due tipologia visitino la discoteca in egual numero, risulta p = 3.

m

Supponiamo invece che sia possibile segmentare la domanda (differenziazione di terzo tipo) e poter dunque

2.8

praticare prezzi differenti. In questo caso possiamo massimizzare separatamente e ottenendo

3.5.

e

Tornando al primo caso, si potrebbe vagliare l’ipotesi di applicare un prezzo d’ingresso. Se si fissasse p = c,

quale sarebbe la tariffa fissa di una siffatta two part strategy? Al fine di attrarre ancora tutte e due le tipologie

di consumatori questa deve fissarsi pari al consumer surplus A della categoria under 25 (la più elastica) relativo

0 /2 6.4 (area del triangolo), dove per p(0)

al prezzo fissato. Svolgendo i calcoli risulta

s’intende il punto con q = 0 sulla curva di domanda di u. Conseguentemente T(q)=6.4 + 2q. Si ragioni sul fatto

che questo è un punto di partenza, poiché fissando p=c si sta rinunciando ad estrarre surplus dalla categoria s.

Quindi un buon manager dovrebbe valutare gli effetti in termini di profitto di un aumento graduale di p (con

conseguente riduzione di A).

Supponiamo di avere un game leader 1 ed un follower 2 che giocano uno Stackelberg game sulle quantità in un

mercato con domanda P(Q) = A – b Q, con Q = q + q ; per ambedue C = c q . Il gioco è dinamico, pertanto

1 2 i i

l’equilibrio sarà un SPNE e si trova partendo da q considerando q come una costante (perché 1 gioca prima)

2 1

e finendo con q sostituendo al posto di q la sua BRF (q ) (perché 1 prevede che 2 giocherà la sua best response):

1 2 2 1

→ 0 ⇔ 2 0 ⇔ BRF : 2

→ 0 ⇔ 0 →

2 2 2 2

2 ;

2 4 7

Come sappiamo 1 ha la possibilità di giocare una entry deterrance strategy; per scoraggiare l’entrata di 2 deve

0⇔ 0,

giocare una quantità tale da annullare i profitti del rivale. In assenza di costi fissi, ovvero:

BRF : 0 ⇔

2 sarà:

Nel caso in cui si abbiano costi fissi sommersi (già sostenuti da 1), l’output limite

⇔

, 2 2 2 4

⇔

4

Ricordiamo che solo nel caso in cui f >0 ha senso valutare la entry deterrance strategy in alternativa alla

0.

accomodation poiché quando f = 0 si trova

Passiamo al modello di Dixit. Siamo di fronte ad un gioco dinamico, dunque si procederà per backward

induction. Ciò implica risolvere in primis il gioco di Cournot dell’ultimo stage per qualsiasi valore k. Il

procedimento allora è il seguente. Per prima cosa si trova la BRF del player 2 ponendo a zero la derivata del

profitto e considerando q e k quali dati esogeni e adottando una funzione di costo pari a C (q )= (w+r) q .

1 2 2 2

Bisogna poi trovare le BRF di 1 corrispondenti ai costi marginali w e w+r (ricordiamo che w è il costo unitario

di produzione ed r il costo unitario del capitale). Si otterranno naturalmente due funzioni diverse. Troviamo

BRF

a questo punto i due equilibri di Cournot T e V mettendo a sistema BRF una volta con (trovata

2

BRF

considerando c = w + r) ed una con (trovata con c = w). A questo punto l’equilibrio di Nash del sottogioco

di Cournot si ha in T se (espansione di 1), in V se (eccesso di produzione), altrimenti (ovvero se vale

) si ha un equilibrio di Dixit (piena utilizzazione), con e dato da BRF . Bisogna ora valutare

2

, 0,

i profitti e (naturalmente sarà sempre > ). Se allora il player

2 non entrerà mai nel mercato e pertanto 1 fisserà una capacità pari alla quantità che massimizza il

0

profitto di un monopolista. Se (cioè nel caso peggiore di 2), il player 1 non può in alcun modo

scoraggiare l’entrata del giocatore 2. Allora bisogna calcolare la quantità risolvendo il gioco di Stackelberg

con costi pari a w per il player 1 e w+r per 2. Se l’output di Stackelberg è credibile e 1 fisserà

0 0

altrimenti sarà . Se invece ma il player 1 si trova nella situazione vista prima, ovvero

o ;

quella di dover scegliere tra entry deterrance e accomodation, a seconda che sia maggiore

inf