Matematica

FUNZIONI

Dominio: insieme di tutti i valori che può assumere x

Immagine: valori di A proiettati in B (sottoinsieme del codominio)

Codominio: valori raggiunti delle x

A = Dominio

B = Codominio (insieme di arrivo)

Es:

ƒ(x) = ¹/_x-1

D: ∀x∈ℝ - {1}

x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

Es:

^3x2-1/_2x-4

D: ∀x∈ℝ - {2}

2x-4 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ 4 ⇒ x ≠ 2

Es:

ƒ: ℝ→ℝ con ƒ(x) = {x se x ≤ 12 se x > 1}

Solo in quelle condizioni è definita a tratti

Iniettività

La funzione è iniettiva perché se traccio una retta t all'asse x, tocca la funzione solo in un punto.

La funzione non è iniettiva, perché se traccio una retta parallela all'asse delle x, questa taglia la funzione in 3 punti distinti.

f(x₁) ≠ f(x₂)

• descrivere la funzione lag

f = xⁿ

y = x²

h EN (esponenti interi positivi)

non è invertibile

D: R

C: R⁺

y = ¹/_xⁿ potenza diminuisce

-1 < x < 1

(quando -1 < x < 1)

+ è alto il esponente

+ veloce è la crescita

funzione pari simmetrica rispetto y

Con n dispari si comporta a seconda se x positiva o negativa

y = x³

→ funzione dispari simmetrica rispetto 0

Invertibile

esponente + alto, sale + velocemente

Rapporto incrementale:

Δ = _{f(x0+h) - f(x0)} /_x0+h->x0

a parità di x₀, cambia f(x₀+h)

+ cresce Δ + è veloce la crescita della funzione

f(x₀+h) più vanno sempre più poi a f(x₀)

Tangente = andamento del dato che sto ampliando (in un preciso istante)

lim_{h&rarrow;0 f(x0+h) - f(x0)} /_h = derivata prima

"tu cerco la distanza tra 2 punti, a cosa tende

PROBABILITÀ

ESPERIMENTO: porta come risultato di un evento incerto, ad essi può associarsi caratteristiche

es: treno 15:09

• o viene annullato
• lo perdo
• lo prendo

OGNI RISULTATO ESITO DELL'ESPERIMENTO

EVENTO: sottoinsieme dell'insieme degli esiti

Es: { Prendo, perdo, annullato }

Ev = { Perdo, non perdo }

→ qualcosa di più astratto

dipende dagli esiti

Es: MONETA → Es = { T, C }

sappiamo che l'evento sia n anteriore degli esiti

es: lancio 3 volte la moneta.

Ev = { contare n. volte T }

→ Ev = { 0, 1, 2, 3 }

Ω_Es = { T, C } Ω_Ev = { 0, 1, 2, 3 }

n mutatori che ottengo da n lanci

P(A) = { >40} = 1 - P(A) = { ≤ 40}

= 1 - 25/200 = 175/200

Probabilità che lanciando 2 volte il dado ≥ 9

Ev = {somma ≥ 10}

Ω = {11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 66}

Classica:

• n casi totali = 36
• n casi favorevoli = {(6;6), (6;5), (6;4), (4;6), (5;5), (5;6)}

P(A) = 6/36

Teorema di Bayes

Ripartisco l'universo dei casi possibili in estrazioni da urne diverse... possono anche fare una divisione in 2.

P(A|B) = P(A∩B)_P(B)

Inverso di P(A_j|E) = P(E|A_j)^P(A_j)=P(E|A_j)·P(A_j)────────────Σ P(E|A_i)·P(A_i)_i=1

A_j = {E}= {scelgo a}; {scelgo B} = {scelgo a2}

P(A|E) = P(A∩E)_P(E)

Formula delle probabilità totali:

P(E) = P(E|A)·P(A) + P(E|B)·P(B)↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑⅓ ⅔ ⅕ ──↑↑─ ⅖^{Ci sono solo due urne → scelgo urne o l'altra}

P(E) = ⅗ · ⅖ + ⅗ · ⅗ = 15 + 9 = 24 / 25 = 49 / 80

All'esame!!

Anziché avere due urne con la stessa probabilità, può essere che la urna abbia una prob. diversa (:_⅗o ⅔)

P(A∩E) = P(E|A) · P(A)_{↓ ≡} ↓

P(A∩E) = P(E|A·~P(A) =⇒ ↓↓ 10P(A∩E)

3 · ⅗ = ⅗ · P(A∩E)

P(A|E) = 3^{10 = 3}10 49 240 / 49

Schemi di estrazione e numero totale

Sia 'U' un urna con N palline numerate. Si vogliono estrarre n palline.

1. 1. Senza reimmissione: ad ogni estrazione la pallina non viene rimessa nell'urna.
2. >(esempio delle estrazioni giuste e ridisegna le urnette)
3. 2. Con reimmissione: la pallina estratta viene rimessa dunque vera immutata ogni estrazione.

2.1 - uso schema con reimmissione

p_k = |p₀ = 3N | 2x0, 3x5, 4x2

variabile aleatoria -> GENERATA

Generalizzando:

uno studente ha 15,62% di

poter essere promosso

es: supponiamo di avere

tabella piani dati

es: Qual è la prob. di avere come valore della x almeno 3?

-> P(x≥3) = P(x=3) + P(x=4)

oppure 1- P(x≤2) = 1 - 0,7 = 0,3

oppure:

P(1 ≤ x < 3) = P(x=1) + P(x=2)

0,2 + 0,5 = 0,7

oppure

P(x≤3) = 0,85 (con la cumulativa)

Variabile discreta

Caratteristiche fondamentali: NUMERABILITA’

la v.c. X è detta DISCRETA ed assume un numero finito o un’infinità

numerabilità di valori.

Verso a strisciare i numeri nel mezzo

Valore atteso: media della variabile casuale

qui ci sono n ripetizioni = _E(x) = 20⋅0,02 =

varianza = n⋅p⋅q

pg. 14 (esempio 2.5)

2% prob. che non funzionino

• successo = pezzo guasto
• insuccesso = pezzo giusto

p(x<2) = p(x=0) + p(x=1) =

valore atteso:

E(x) = n⋅p = 10⋅0,02 = 0,2

d) prob di avere 2≤x<4 = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)

Calcolare la media: media = 4

Varianza: p . q

σ²= 3,92

Punto per la standardizzazione

1. σ = 2,092

P(X < 8) = P (^{X - μ}/_σ< ^{8 - 4}/_1,98) = P(Z < 2,02) = 0,9783

μ = 4

σ² = 3,92

media 0

varianza 1

es:

moneta truccata

0,75 e

0,25 T

su 200

T n.b (200, 0,25)

P(T < 80)

E(T _nb) = media = 200 . 0,25 = 50

Varianza = 200 . 0,25 . 0,25 = q . s

σ = 6,12

P ( ^{T - 50}/_6,12 < ^{80 - 50}/_6,12 )

1 troppa a sx

nella tabella gaussiana

1. stesso prodotto su 2 catene di montaggio diverse
2. A (catena A): 0,01 rilevato pezzo rotto
3. B (catena B): 0,03%

P(A) = 0,5

P(B) = 0,5

scegli la produzione tra le 2 catene

1. Probabilità di avere pezzo rotto in generale
2. R = pezzo rotto
3. P(R) = P(R | A) P(A) + P(R | B) P(B)
4. 0,01 . 0,5 + 0,03 . 0,5 = 0,005 + 0,015 = (0,02)

→ punto medio perfetto tra A e B

varianza di D,5

Cotazione se voglia prodotto non perfetto