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Programma
- I numeri e le funzioni reali:
- Limiti e successioni
- Limiti di funzioni
- Derivate
- Teoremi del calcolo differenziale
Il sistema dei numeri reali
Assiomi Dei Numeri Reali
Le operazioni che si possono fare sono:
- +,-,÷ (divisore ≠ 0)
- a + b = b + a ∀a,b ∈ R (Commutativa)
- a + (b + c) = (a + b) + c ∀a,b,c ∈ R (Associativa)
- a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ R (Elem. neutro)
- a + (-a) = 0 ∀a ∈ R (Esistenza dell'opposto)
- a ⋅ b = b ⋅ a ∀a,b ∈ R (Commutativa)
- a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ∀a,b,c ∈ R (Associativa)
- a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a ∀a ∈ R, 1 elem. neutro of '⋅'
- a ⋅ (1/a) = 1 (Non dividere per 0!) ∀a ∈ R
- a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c ∀a,b,c ∈ R Proprietà distributiva che lega addizione e moltiplicazione (Distributiva)
Assiomi Relativi All'ordinamento
a ≤ b
- Dicotomia ∀a,b ∈ R a ≤ b oppure b ≤ a
- Asimmetrica a ≤ b e b ≤ a ⇒ a=b
- a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
- ∀a,b,c ∈ R se a ≤ b, a ≤ b + c e 0 ≤ c, a ≤ b
Proprieta transitiva: se a ƒ(x) ∈ B => ƒ⁻¹(ƒ(x)) = x
y ∈ B => ƒ⁻¹(y) ∈ A => ƒ(ƒ⁻¹(y)) = y
Identità di cancellazione
∀ x ∈ A ƒ⁻¹(ƒ(x)) = x
∀ y ∈ B ƒ(ƒ⁻¹(y)) = y
ƒ: A → B
g : C → D
ƒ o g; g o ƒ = ?
(ƒ o g) (x) = ƒ(g(x))
È possibile fare ƒ⁻¹ o g⁻¹ => D ⊆ A
1)R
f(x) = sqrt|x|
|x| ≥ 0 ∀x ε R
Esercizi pag 48 n.o 12
a)
f-1(x) = 4 - x
f : R → [0,+∞)R
∀ y ε [ 0,+∞[ R f-1 (x) = y?
y ≥ 0, 4 - x = y
-x = y - 4
x = 4 - y-1
x = 4 - y-1-1
b)
f-1 (x) = x2 - 3x + 4
f: R → [0,+∞)R
y ≥ 0 sqrtx2-3x + 4 = y
x2-3x + 4 - y2 = 0
Δ = 9 - 4(4 - y2) = 9 + 4 y2 - 16 + 4 y2 - 7
Δ ≥ 0 → 4 y2 - 7 ≥ 0 → y ≤ sqrt7/2 ѳ y ≤ sqrt7/2
Δ = 0 y = sqrt7/2 ѳ y ≤ sqrt7/2
Δ ≤ 0 non invertibile.
3)
f (x) = 1 - x - 1
f : Δ → R
∀ y ε R ∃ x ε Δ: f(x) = y?
1 ⁄ x-1 - 1 = y
x < 1 e x > 3 ]-∞,1[∪]3,+∞[
Per caso fare la b, d, e
c) (1/2)x2 ⇔ x2 < 1 (1/2)x è strettamente decrescente
x2 - 1 < 0
]-1,1[
d) (1/3)x2 >0 ∀x∈ℜ
ax2 >0 (ax è strettamente maggiore di 0 per ogni a ≠ 1, ∀x ∈ ℜ)
1.24 (fare per casa quelle non fatte a lezione)
log2 1 = 0 log27,3 = 3
log8 4 = log8 23/2 ➔ cambio di base (al denominatore la base originare diventa l'argomento)
log 1 = 0
1.29
- a) log ex00<x<1 x > 0
d) log x ∈ a lgax ∈ e
ee
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