Analisi matematica 1 - Programma
I numeri e le funzioni reali
P. Marcellini - C. Sbordone; Analisi matematica 1 - Programma
- Limiti e successioni
- Limiti di funzioni
- Derivate
- Teoremi del calcolo differenziale
Il sistema dei numeri reali
Assiomi dei numeri reali
- ℝ (retta reale)
Le operazioni che si possono fare sono: +, -, •, ÷ (Divisore ≠ 0)
∀ a, b ∈ ℝ: a + b = b + a (Commutativa)
∀ a, b, c ∈ ℝ: (a + b) + c = a + (b + c) (Associativa)
Elemento neutro
∀ a ∈ ℝ: a + 0 = 0 + a = a
∀ a ∈ ℝ ∃ -a tale che a + (-a) = 0 (Esistenza dell'opposto)
∀ a, b ∈ ℝ: a • b = b • a
∀ a, b, c ∈ ℝ: a • (b • c) = (a • b) • c
∀ a ∈ ℝ: a • 1 = 1 • a = a (Elemento neutro e 1)
∀ a ∈ ℝ, a ≠ 0 ∃ 1/a tale che a • 1/a = 1 (Non dividere per 0!)
Proprietà distributiva che lega addizione e moltiplicazione (Distributiva)
∀ a, b, c ∈ ℝ: a • (b + c) = a • b + a • c
Assiomi relativi all'ordinamento
a ≦ b
- Dicotomia ∀ a, b ∈ ℝ: a ≦ b oppure b ≦ a
- Asimmetrica: a ≦ b e b ≦ a ⇒ a = b
a ≦ b e b ≦ c ⇒ a ≦ c
a ≦ b o ≦ c ⇔ o ≦ a + b, o ≦ a • b
Commutativa e associativa
a + b = b + a a, b ∈ ℝ (Commutativa)
(a + b) + c = a + (b + c) a, b, c ∈ ℝ (Associativa)
Elementi neutri e inversi
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a a ∈ ℝ
Esistenza dell'opposto: a + (-a) = (-a) + a = 0 a ∈ ℝ
a ⋅ b = b ⋅ a a, b ∈ ℝ
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c a, b, c ∈ ℝ
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a a ∈ ℝ (Elemento neutro)
a ⋅ a-1 = a
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