Lfi-finale Modelli matematici per la meccanica

A. M L

15

11 2

B. M L

80

C. nessuna delle precedenti

Sol.: B. Dalla definizione di prodotto d’inerzia si ha

3L/2 L/2

L L/2 Z Z

Z Z 4M 11

4M 2

−

− x x dx dx x x = M L .

I = dx dx 1 2 1 2 1 2

O,12 1 2 2 2

5L 5L 80

−L

L

0 0 ~ ~

{ }

3. L’asse della sollecitazione f , f di punti di applicazione A e B è la retta di equazione

B

A

parametrica 1 ∈

A. x = a + L, x = a, x = a con a R

1 2 3

2

12

− ∈

B. x = a L, x = a, x = a con a R

1 2 3

C. nessuna delle precedenti 2

Sol. A. Il trinomio invariante è 3Lλ /2, quindi il campo momento non è né costante

né circolare. La somma della sollecitazione è λ~e + λ~e + λ~e . Per determinare l’asse si

1 2 3

deve determinare il punto X rispetto al quale il momento è parallelo alla somma della

~

sollecitazione. Pertanto si calcola M = Lλ/2~e + Lλ~e e si scrive

O 1 2

1 ×

µ(λ~e + λ~e + λ~e ) = Lλ~e + Lλ~e + (λ~e + λ~e + λ~e ) (x ~e + x ~e + x ~e ).

1 2 3 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2

Il sistema nelle incognite µ, x , x e x è compatibile se µ = L/2. In tal caso si trova

1 2 3

la soluzione A.

Quesito 21. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina rigida pesante

omogenea di massa M ottenuta saldando una lamina quadrata a una a forma di triangolo

rettangolo isoscele come illustrato in figura. 0

{O, }.

In figura è rappresentata la lamina assieme al riferimento solidale ~e Si nota che

i

−→ −

−→ −→

0 0 0 0

OA = L~e , OB = 2L~e e OC = L~e + L~e .

1 2 1 2 23

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0

~e

2

B C 0

~e

A

O 1

{O, }

Il corpo si muove rispetto al riferimento fisso ~e mantenendo l’asse 2 solidale costan-

i

temente coincidente con l’omologo asse fisso 2 mediante un vincolo di cerniera ideale.

Come coordinata lagrangiana si usi l’anomalia ϕ individuata dagli assi 3 fisso e solidale

orientata in verso antiorario rispetto all’asse 2.

Si risponda alle seguenti domande:

1. Quanto vale il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse coordinato 2 del riferimento

solidale?

5 2

A. M L

6

19 2

B. M L

9

C. nessuna delle precedenti

Sol.: C. Il momento d’inerzia può essere calcolato sommando il contributo della lamina

quadrata e di quella triangolare. Oppure, si procede ad integrazione diretta: osservato

2 2 2

che la densità superficiale di massa vale M/(L + L /2) = 2M/(3L ), si ha

0

L 2L−x

Z Z 2M 5

1 0

0 0 0 2 2

dx

I = dx (x ) = M L .

2

O,22 1 1

2

3L 18

0 0

2. Quanto vale il momento angolare del corpo calcolato usando come polo O?

0

5 2

A. M L ϕ̇~e 2

18 0 0

11 5

2 2

−

B. M L ϕ̇~e + M L ϕ̇~e

1 2

36 18

C. nessuna delle precedenti

Sol.: B. Il moto è rotatorio e la velocità angolare ha componenti (0, ϕ̇, 0) relative al

riferimento solidale. Allora le componenti del momento angolare relative al riferimento

solidale sono    

0

0 I ϕ̇

O,12

0 0    

0

L = I = .

ϕ̇ I ϕ̇

   

O O O,22

   

0

0 I ϕ̇

O,32

24

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0

0

~ 0

0 0 . Resta

+ I ϕ̇~e

Essendo l’asse solidale 3 principale I = 0, quindi L = I ϕ̇~e

O 2

1 O,22

O,32 O,12

dal cacolare il prodotto d’inerzia 0

2L−x

L Z

Z 2M 11

1

0 0

0 0

0 2

− −

dx dx

=

I =

x M L .

x

1 2

O,12 2

1

2

3L 36

0 0

3. Quanto vale l’energia cinetica del moto del corpo rispetto al riferimento fisso?

41 2 2

M L ϕ̇

A. 24

5 2 2

B. M L ϕ̇

36

C. nessuna delle precedenti 0 2

Sol.: B. Essendo il moto rotatorio T = I ϕ̇ /2.

O,22 −→ −L~e

Quesito 22. Una lamina rigida omogenea di massa M ha la forma in figura, ove OA = ,

1

−−→ −→ −−→ −2L~e

OB = L~e , OC = L~e , OD = , con L > 0.

2 1 2 ~e

2

B

A C ~e

1

O

D

{O, } −λ~e

Il riferimento ~e in figura è solidale alla lamina. In B e in D agisce a forza ,

i 1

con λ > 0. La lamina è vincolata in modo da mantenersi in quiete rispetto a un riferimento

fisso.

Si risponda alle seguenti domande:

1. Quanto vale il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse coordinato 1 del riferimento

solidale?

1 2

A. M L

2

1 2

B. M L

6

C. nessuna delle precedenti 2

Sol.: A. La densità superficiale di massa vale M/(3L ), si ha

L L−x

Z Z M 1

1 2 2

I = 2 dx dx (x ) = M L .

O,11 1 2 2

2

3L 2

−2L+2x

0 1

25

esercitazione.tex – 1 Novembre 2021 17:12

2. Quanto vale la coordinata 2 del centro di massa rispetto al riferimento in figura?

12

− L

A. 1

−

B. L

6

C. nessuna delle precedenti

Sol.: C. Per motivi di simmetria la coordinata cercata è uguale a quella del centro di

massa della porzione di corpo a destra dell’asse verticale. Allora

L−x

L Z

Z

1 M/2 1

1 −

G = dx

dx x = L.

2 2

1 2

2

M/2 3L /2 3

−2L+2x

0 1

3. Per quanto riguarda la sollecitazione considerata si può affermare che

A. l’asse della sollecitazione è la retta parallela all’asse 1 passante per il punto medio

−2λ~e

BD e la sollecitazione è equivalente alla forza applicata in

del segmento 1

tale punto medio.

B. l’asse della sollecitazione è la retta parallela all’asse 2 passante per il punto medio

del segmento BD e la sollecitazione è equivalente alla forza 2λ~e applicata in tale

2

punto medio.

C. nessuna delle precedenti −2λ~e −Lλ~e

Sol.: A. La somma della sollecitazione è il momento totale rispetto a O è .

1 3

Il trinomio invariante è quindi nullo e l’asse della sollecitazione è la retta passante

per un punto X rispetto al quale il momento totale è nullo e parallela al vettore

somma della sollecitazione. Resta da determinare il punto X risolvendo l’equazione

−

−→

~ ×

0= M + (−2λ~e ) OX. L’affermazione sull’equivalenza è immediata dal momento

O 1

che la nuova sollecitazione ha stessa somma e stesso momento rispetto a X.

Quesito 23. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da un cilindro circolare retto

pesante e omogeneo di massa M , altezza h e raggio di base R. Il cilindro è vincolato a

ruotare attorno a un asse fisso verticale ortogonale al suo asse di simmetria e passante per

un punto di tale asse a distanza h/4 dal suo centro.

{O, }

Il riferimento fisso ~e ha asse 3 verticale ascendente e coincidente con l’asse di ro-

i

tazione del cilindro e origine nel punto di intersezione tra l’asse di rotazione e quello di

0

{O, }

simmetria del cilindro. Il riferimento solidale ~e ha asse 3 coincidente con l’asse di

i

rotazione e asse 1 coincidente con l’asse di simmetria del cilindro orientato in modo che la

coordinata solidale 1 del centro di massa sia positiva.

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esercitazione.tex – 1 Novembre 2021 17:12

Sul cilindro agisce una coppia di momento α~e e la forza elastica di centro C, tale che

3

−→ −−→ 0

OC = h~e , applicata all’elemento B del cilindro tale che OB = (3h/4)~e .

1 1

Il sistema è a un grado di libertà. Usando come coordinata lagrangiana l’anomalia ϕ

individuta dagli assi 1 dei due riferimenti e orientata in verso antiorario rispetto all’asse 3 si

risponda alle seguenti domande.

1. quanto vale la coordinata 1 del centro di massa del corpo rispetto al riferimento solidale

0

{O, }?

~e i

1

A. h

4

3 h

B. 2

C. nessuna delle precedenti

2. Quanto vale il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse coordinato 2 del riferimento

solidale?

1 5

2 2

A. M R + M h

4 48

1 1

2 2

B. M R + M h

4 12

C. nessuna delle precedenti

3. Quanto vale l’energia cinetica del moto del corpo rispetto al riferimento del centro di

massa?

1 7

2 2 2 2

A. M R ϕ̇ + M h ϕ̇

8 96

1 1

2 2 2 2

B. M R ϕ̇ + M h ϕ̇

8 24

C. nessuna delle precedenti

4. Quanto vale l’energia cinetica del moto del corpo rispetto al riferimento fisso?

1 7

2 2 2 2

A. M R ϕ̇ + M h ϕ̇

8 96

1 1

2 2 2 2

B. M R ϕ̇ + M h ϕ̇

8 24

C. nessuna delle precedenti

5. Quanto vale l’energia potenziale di tutta la sollecitazione conservativa agente sul sis-

tema? 3 2

− −

A. kh cos ϕ αϕ

4

34 h

2

− −

B. kh cos ϕ αϕ + M g sin ϕ

4 27

esercitazione.tex – 1 Novembre 2021 17:12

C. nessuna delle precedenti

Stringa soluzione: ACBAA

Quesito 24. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina rigida pesante

omogenea di massa M . 0 }.

{O, Si nota che i

In figura è rappresentata la lamina assieme al riferimento solidale ~e i

−→ −→ −−→

0 0 0 0 0

3 12 −

punti A, C e D sono tali che OA = L~e + L~e , OC = L~e e OD = L~e L~e , con L una

1 2 1 1 2

2

costante positiva. 0

~e

2 A

C 0

~e

O 1

D

{O, }

Il riferimento fisso ~e ha asse 3 verticale ascendente. Il corpo si muove rispetto al

i

{O, }

riferimento fisso ~e mantenendo l’asse 3 solidale costantemente coincidente con l’omologo

i

asse fisso 3 mediante un vincolo di cerniera ideale.

La sollecitazione attiva agente sul sistema è costituita dal solo peso.

Come coordinata lagrangiana si usi l’anomalia ϕ individuata dagli assi 1 fisso e solidale

orientata in verso antiorario rispetto all’asse 3.

Si risponda alle seguenti domande:

1. quanto vale la coordinata 1 del centro di massa del corpo rispetto al riferimento solidale

0 }?

{O, ~e i

3

A. L

4

1

B. L

20

C. nessuna delle precedenti

2. Quanto vale il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse coordinato 2 del riferimento

solidale?

13 2

A. M L

12

4 2

M L

B. 3 28

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