Tesi, Analisi qualitativa di modelli matematici

C.

∈

A M (C) blocco elementare di Jordan

matrice quadrata si dice di

n

λ A = J(λ) J(λ)

ordine n relativamente a se con definita dalla seguente

uguaglianza: 22

CAPITOLO 2. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

J(λ) = λI + N (2.26)

n n

N

con matrice nilpotente elementare.

n J(λ)

Un blocco elementare di Jordan ha le seguenti propretà:

1. J è triangolare superiore; λ

2. lungo la diagonale principale compare l’unico autovalore con molte-

plicità algebrica n;

a j = i + 1

3. gli elementi con sono pari a 0 oppure 1;

ij

a j = i + s (s > 1)

4. gli elementi con sono tutti nulli.

ij  

λ 1 0 ... 0

0 λ 1 . . . 0

 

J(λ) = (2.27)

 

.. .. .

. . ..

 

. 0

. .

 

0 0 0 ... λ

λ

N.B. l’unicità dell’autovalore segue dal polinomio caratteristico:

n

−

P (λ) = (λ t) .

La molteplicità geometrica dell’autovalore è 1 dal momento che risulta:

− − −

mg(λ) = n ran(J(λ) λI ) = n n + 1.

n

λ = 0 J(0) = N .

Si osservi inoltre che se allora n

Definizione 2.1.11. Una matrice quadrata diagonale a blocchi del tipo:

 

J (λ ) 0 ... 0 0

1 1

0 J (λ ) . . . 0 0

 

2 2

 

.. . . .

.

. . . .

J = (2.28)

 

.

. . . .

 

 

0 0 . . . J (λ ) 0

p−1 p−1

 

0 0 ... 0 J (λ )

p p

J (λ ) matrice di

dove gli elementi sono blocchi di Jordan, viene detta

i i

Jordan matrice in forma canonica di Jordan.

o 23

CAPITOLO 2. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Se si considera ad esempio un unico blocco di Jordan di ordine 4,

ovvero una matrice 4 x 4 del tipo:

 

λ 1 0 0

0 λ 1 0

 

J(λ) = , (2.29)

 

0 0 λ 1

 

0 0 0 λ

tenendo conto della 2.26,si può scrivere:

J(λ) = λI + N

4

N

con blocco nilpotente elementare.

4

Siamo ora in grado di calcolare l’esponenziale di un blocco di Jordan:

Jt (λI+N )t λIt N t

e = e = e e . (2.30)

4 4 λI

Osservazione 1. L’ultimo passaggio è corretto in quanto e N commu-

tano. 4

(N ) = 0

Inoltre essendo risulta:

4 3

2 (N t)

(N t)

N t +

e = I + (2.31)

2! 3!

e dunque  

2 3

1 t t /2 t /3!

2

0 1 t t /2

 

N t

e = . (2.32)

 

0 0 1 t

 

0 0 0 1

Alla luce di questi risultati si può esprimere l’esponenziale del blocco di

Jordan al seguente modo:

   

λt 2 3

e 0 0 0 1 t t /2 t /3!

λt 2

0 e 0 0 0 1 t t /2

   

Jt λIt N t

e = e e =

4    

λt

0 0 e 0 0 0 1 t

   

λt

0 0 0 e 0 0 0 1 (2.33)

3

2 t

t 

 λt λt

λt λt e e

e te 2! 3!

2

t

λt λt λt

0 e te e 

 .

= 2! 

 λt λt

0 0 e te 

 λt

0 0 0 e

24

Capitolo 3

Studio qualitativo delle soluzioni

3.1 Il problema della stabilità

Data la difficoltà computazionale di molte equazioni differenziali non è sem-

pre possibile un approccio calcolistico diretto e dunque diventa di grande

importanza ottenere informazioni qualitative, senza risolvere le equazioni in

esame. In particolare se si vuole studiare la stabilità di sistemi differen-

ziali non lineari, è bene sapere che l’approccio più diffuso e generale a tale

problema fu introdotto da Lyapunov alla fine del secolo diciannovesimo.

3.1.1 La teoria della stabilità di Lyapunov

Nel seguito descriviamo i principali risultati della teoria di Lyapunov per la

stabilità di un generico sistema non lineare autonomo. Dapprima forniamo

alcune definizioni. non lineare autonomo

Un sistema differenziale di ordine n è un siste-

ma costituito da n equazioni differenziali che non dipendono esplicitamente

dalla variabile t (tempo). Esso si rappresenta nella forma:

ẋ(t) = f (x(t)) (3.1)

[x (t), . . . , x (t)] [f , . . . , f ]

vettore di stato

dove x(t) = è detto e f = è

1 n 1 n

una generica funzione vettoriale regolare non lineare dello stato.

lineare autonomo

Un sistema differenziale di ordine n è invece costituito

da equazioni differenziali lineari e si scrive nella forma:

ẋ(t) = Ax + b (3.2)

25

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

con A matrice quadrata di ordine n, non singolare e indipendente da t e b

vettore costante di ordine n.

Assumeremo d’ora in avanti che le soluzioni del sistema differenziale autono-

+

mo siano definite in .

R

Definizione 3.1.1. Sia per sistemi autonomi lineari che non lineari, un

x punto di equilibrio

vettore di stato si dice per il sistema se, quando

e x x

la traiettoria x(t) è pari ad , essa non evolve e rimane in per tutti gli

e e

istanti di tempo successivi.

Dal punto di vista matematico, per il sistema non lineare 3.1, ciò equivale

alla relazione: f (x ) = 0,

e

mentre per il sistema lineare 3.2 si ha:

A(x ) + b = 0 (3.3)

e

e poichè A è non singolare si ottiene: −1

−A

x = b. (3.4)

e

N.B. Se la matrice di stato di un sistema lineare autonomo è non singolare,

allora il sistema lineare presenta un unico punto di equilibrio nell’origine del-

lo spazio di stato. Al contrario un sistema non lineare può presentare punti

di equilibrio multipli.

Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e sia noto un punto di

equilibrio di tale sistema. Per semplicità supponiamo che tale punto di equi-

x = 0

librio sia (infatti è sempre possibile effettuare un cambio di variabili

e

di stato, in modo da rendere tale punto di equilibrio l’origine dei nuovi assi).

x = 0

Definizione 3.1.2. stabile

Il punto di equilibrio si dice secondo

e

∀ ∃

ε > 0 , δ > 0

Lyapunov se e solo se tale che per tutti gli istanti iniziali

k − k=k k<

x x x δ,

che soddisfano la relazione risulta

e

k − k=k k<

x(t, x ) x x(t, x ) ε

0 e 0

≥

t 0.

per ogni 26

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Definizione 3.1.3. insta-

Un punto di equilibrio che non sia stabile è detto

bile.

In altre parole un punto di equilibrio (nel nostro caso l’origine) è stabile

se, per ogni sfera di centro il punto dato, esiste una sfera più piccola, anch’es-

sa centrata nell’origine, tale che, data una qualsiasi traiettoria che evolve a

partire da un punto interno alla sfera interna, tale traiettoria evolve mante-

nendosi all’interno della sfera esterna.

x = 0

Viceversa un punto di equilibrio si dice instabile se esiste almeno un

e

∀

ε > 0 δ > 0,

valore di tale che una qualsiasi traiettoria che evolve a partire

δ

da un punto interno alla sfera di raggio si sviluppa fuoriuscendo dalla sfera

ε.

di raggio x = 0

Definizione 3.1.4. attrattivo

Un punto di equilibrio si dice (uni-

e

forme) se e solo se:

∃ kx − k kx k ⇒

σ > 0 : x = < σ lim x(t, x ) = x .

0 e 0 0 e

t→∞

cioè: ∀ ∃ kx(t, ∀ ≥

ν > 0 T (ν) > 0 : x )k < ν, t T.

0

x = 0

Definizione 3.1.5. asintoticamente

Un punto di equilibrio si dice

e

x

stabile se e solo se è stabile e attrattivo.

e 27

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Figura 3.1: Le traiettorie 1, 2 e 3 rappresentate nella figura precedente so-

no esempi di traiettorie per un punto di equilibrio rispettivamente stabile,

asintoticamente stabile e instabile.

3.1.2 Metodo diretto di Lyapunov

Passeremo ora ad esporre alcuni classici teoremi di stabilità dovuti a Lyapu-

nov. n

⊆ →

V (x) : B B

Definizione 3.1.6. Una funzione continua con

R R,

r r

0 0

x, x

r definita positiva

si dice in se e

intorno sferico di raggio e centro

0

solo se:

V (x) = 0;

1. ∀x ∈ 6

V (x) > 0, B , x = x.

2. r 0 x

Definizione 3.1.7. semidefinita positiva

Analogamente V(x) si dirà in

se e solo se:

V (x) = 0;

1. ≥ ∀x ∈ 6

V (x) 0, B , x = x.

2. r 0

N.B. ogni funzione definita positiva risulta anche essere semidefinita

positiva.

Definizione 3.1.8. definita negativa

Una funzione V(x) è se -V(x) è

definita positiva. 28

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Definizione 3.1.9. semidefinita negativa

Una funzione V(x) è se -V(x)

è semidefinita positiva.

Definizione 3.1.10. funzione di Lyapunov

Si definisce ogni funzione

V(x) che abbia, insieme alla sua derivata, particolari proprietà lungo le so-

luzione del sistema. In particolare si ha :

dV (x) ·

= gradV (x) ẋ =

V̇ (x) = dt f (x)

1 (3.5)

∂V (x) ∂V (x) ∂V (x) f (x)

2

·

= , ,..., .

...

∂x ∂x ∂x

1 2 n f (x)

n

Definizione 3.1.11. Dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1,

integrale primo

la funzione W(x) si definisce per il sistema se W(x(t))

rimane costante lungo le soluzioni di 3.1. Pertanto si ha:

d W (x(t)) = 0

Ẇ = (3.6)

dt

Teorema 3.1.1. Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e

sia l’origine un punto di equilibrio per esso.

Se esiste una funzione di Lyapunov V per il punto origine che verifichi le

seguenti condizioni:

V (x) B ;

1. è definita positiva in r 0

V̇ (x) B ;

2. è definita negativa in r 0

allora tale punto è di equilibrio stabile.

Dimostrazione. Dimostriamo che l’origine è stabile ovvero:

∀ε ∃ kx k ⇒ kx(t, ∀ ≥

> 0, δ > 0 : < δ x )k < ε t 0.

0 0

S ε

Consideriamo una sfera chiusa di raggio e centro l’origine contenuta

ε

n

B S

nell’aperto di . Dobbiamo provare l’esistenza di una sfera chiusa di

R

r δ

0 ⊆

δ < ε S S

centro l’origine e ra