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Tesi, Analisi qualitativa di modelli matematici

Tesi, Analisi qualitativa di modelli matematici per la cattedra di Sistemi dinamici della professoressa Visentin. Gli argomenti trattati sono i seguenti: introduzione alle equazioni differenziali, le equazioni differenziali ordinarie, il problema di Cauchy.

Materia di Sistemi dinamici relatore Prof. F. Visentin

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CAPITOLO 2. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Se si considera ad esempio un unico blocco di Jordan di ordine 4,

ovvero una matrice 4 x 4 del tipo:

 

λ 1 0 0

0 λ 1 0

 

J(λ) = , (2.29)

 

0 0 λ 1

 

0 0 0 λ

tenendo conto della 2.26,si può scrivere:

J(λ) = λI + N

4

N

con blocco nilpotente elementare.

4

Siamo ora in grado di calcolare l’esponenziale di un blocco di Jordan:

Jt (λI+N )t λIt N t

e = e = e e . (2.30)

4 4 λI

Osservazione 1. L’ultimo passaggio è corretto in quanto e N commu-

tano. 4

(N ) = 0

Inoltre essendo risulta:

4 3

2 (N t)

(N t)

N t +

e = I + (2.31)

2! 3!

e dunque  

2 3

1 t t /2 t /3!

2

0 1 t t /2

 

N t

e = . (2.32)

 

0 0 1 t

 

0 0 0 1

Alla luce di questi risultati si può esprimere l’esponenziale del blocco di

Jordan al seguente modo:

   

λt 2 3

e 0 0 0 1 t t /2 t /3!

λt 2

0 e 0 0 0 1 t t /2

   

Jt λIt N t

e = e e =

4    

λt

0 0 e 0 0 0 1 t

   

λt

0 0 0 e 0 0 0 1 (2.33)

3

2 t

t 

 λt λt

λt λt e e

e te 2! 3!

2

t

λt λt λt

0 e te e 

 .

= 2! 

 λt λt

0 0 e te 

 λt

0 0 0 e

24

Capitolo 3

Studio qualitativo delle soluzioni

3.1 Il problema della stabilità

Data la difficoltà computazionale di molte equazioni differenziali non è sem-

pre possibile un approccio calcolistico diretto e dunque diventa di grande

importanza ottenere informazioni qualitative, senza risolvere le equazioni in

esame. In particolare se si vuole studiare la stabilità di sistemi differen-

ziali non lineari, è bene sapere che l’approccio più diffuso e generale a tale

problema fu introdotto da Lyapunov alla fine del secolo diciannovesimo.

3.1.1 La teoria della stabilità di Lyapunov

Nel seguito descriviamo i principali risultati della teoria di Lyapunov per la

stabilità di un generico sistema non lineare autonomo. Dapprima forniamo

alcune definizioni. non lineare autonomo

Un sistema differenziale di ordine n è un siste-

ma costituito da n equazioni differenziali che non dipendono esplicitamente

dalla variabile t (tempo). Esso si rappresenta nella forma:

ẋ(t) = f (x(t)) (3.1)

[x (t), . . . , x (t)] [f , . . . , f ]

vettore di stato

dove x(t) = è detto e f = è

1 n 1 n

una generica funzione vettoriale regolare non lineare dello stato.

lineare autonomo

Un sistema differenziale di ordine n è invece costituito

da equazioni differenziali lineari e si scrive nella forma:

ẋ(t) = Ax + b (3.2)

25

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

con A matrice quadrata di ordine n, non singolare e indipendente da t e b

vettore costante di ordine n.

Assumeremo d’ora in avanti che le soluzioni del sistema differenziale autono-

+

mo siano definite in .

R

Definizione 3.1.1. Sia per sistemi autonomi lineari che non lineari, un

x punto di equilibrio

vettore di stato si dice per il sistema se, quando

e x x

la traiettoria x(t) è pari ad , essa non evolve e rimane in per tutti gli

e e

istanti di tempo successivi.

Dal punto di vista matematico, per il sistema non lineare 3.1, ciò equivale

alla relazione: f (x ) = 0,

e

mentre per il sistema lineare 3.2 si ha:

A(x ) + b = 0 (3.3)

e

e poichè A è non singolare si ottiene: −1

−A

x = b. (3.4)

e

N.B. Se la matrice di stato di un sistema lineare autonomo è non singolare,

allora il sistema lineare presenta un unico punto di equilibrio nell’origine del-

lo spazio di stato. Al contrario un sistema non lineare può presentare punti

di equilibrio multipli.

Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e sia noto un punto di

equilibrio di tale sistema. Per semplicità supponiamo che tale punto di equi-

x = 0

librio sia (infatti è sempre possibile effettuare un cambio di variabili

e

di stato, in modo da rendere tale punto di equilibrio l’origine dei nuovi assi).

x = 0

Definizione 3.1.2. stabile

Il punto di equilibrio si dice secondo

e

∀ ∃

ε > 0 , δ > 0

Lyapunov se e solo se tale che per tutti gli istanti iniziali

k − k=k k<

x x x δ,

che soddisfano la relazione risulta

e

k − k=k k<

x(t, x ) x x(t, x ) ε

0 e 0

t 0.

per ogni 26

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Definizione 3.1.3. insta-

Un punto di equilibrio che non sia stabile è detto

bile.

In altre parole un punto di equilibrio (nel nostro caso l’origine) è stabile

se, per ogni sfera di centro il punto dato, esiste una sfera più piccola, anch’es-

sa centrata nell’origine, tale che, data una qualsiasi traiettoria che evolve a

partire da un punto interno alla sfera interna, tale traiettoria evolve mante-

nendosi all’interno della sfera esterna.

x = 0

Viceversa un punto di equilibrio si dice instabile se esiste almeno un

e

ε > 0 δ > 0,

valore di tale che una qualsiasi traiettoria che evolve a partire

δ

da un punto interno alla sfera di raggio si sviluppa fuoriuscendo dalla sfera

ε.

di raggio x = 0

Definizione 3.1.4. attrattivo

Un punto di equilibrio si dice (uni-

e

forme) se e solo se:

∃ kx − k kx k ⇒

σ > 0 : x = < σ lim x(t, x ) = x .

0 e 0 0 e

t→∞

cioè: ∀ ∃ kx(t, ∀ ≥

ν > 0 T (ν) > 0 : x )k < ν, t T.

0

x = 0

Definizione 3.1.5. asintoticamente

Un punto di equilibrio si dice

e

x

stabile se e solo se è stabile e attrattivo.

e 27

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Figura 3.1: Le traiettorie 1, 2 e 3 rappresentate nella figura precedente so-

no esempi di traiettorie per un punto di equilibrio rispettivamente stabile,

asintoticamente stabile e instabile.

3.1.2 Metodo diretto di Lyapunov

Passeremo ora ad esporre alcuni classici teoremi di stabilità dovuti a Lyapu-

nov. n

⊆ →

V (x) : B B

Definizione 3.1.6. Una funzione continua con

R R,

r r

0 0

x, x

r definita positiva

si dice in se e

intorno sferico di raggio e centro

0

solo se:

V (x) = 0;

1. ∀x ∈ 6

V (x) > 0, B , x = x.

2. r 0 x

Definizione 3.1.7. semidefinita positiva

Analogamente V(x) si dirà in

se e solo se:

V (x) = 0;

1. ≥ ∀x ∈ 6

V (x) 0, B , x = x.

2. r 0

N.B. ogni funzione definita positiva risulta anche essere semidefinita

positiva.

Definizione 3.1.8. definita negativa

Una funzione V(x) è se -V(x) è

definita positiva. 28

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Definizione 3.1.9. semidefinita negativa

Una funzione V(x) è se -V(x)

è semidefinita positiva.

Definizione 3.1.10. funzione di Lyapunov

Si definisce ogni funzione

V(x) che abbia, insieme alla sua derivata, particolari proprietà lungo le so-

luzione del sistema. In particolare si ha :

dV (x) ·

= gradV (x) ẋ =

V̇ (x) = dt f (x)

1 (3.5)

∂V (x) ∂V (x) ∂V (x) f (x)

2

·

= , ,..., .

...

∂x ∂x ∂x

1 2 n f (x)

n

Definizione 3.1.11. Dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1,

integrale primo

la funzione W(x) si definisce per il sistema se W(x(t))

rimane costante lungo le soluzioni di 3.1. Pertanto si ha:

d W (x(t)) = 0

Ẇ = (3.6)

dt

Teorema 3.1.1. Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e

sia l’origine un punto di equilibrio per esso.

Se esiste una funzione di Lyapunov V per il punto origine che verifichi le

seguenti condizioni:

V (x) B ;

1. è definita positiva in r 0

V̇ (x) B ;

2. è definita negativa in r 0

allora tale punto è di equilibrio stabile.

Dimostrazione. Dimostriamo che l’origine è stabile ovvero:

∀ε ∃ kx k ⇒ kx(t, ∀ ≥

> 0, δ > 0 : < δ x )k < ε t 0.

0 0

S ε

Consideriamo una sfera chiusa di raggio e centro l’origine contenuta

ε

n

B S

nell’aperto di . Dobbiamo provare l’esistenza di una sfera chiusa di

R

r δ

0 ⊆

δ < ε S S

centro l’origine e raggio tale che : e ogni traiettoria con punto

δ ε

x S S

iniziale in rimanga interamente confinata in .

0 δ ε

29

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Figura 3.2: traiettoria per un punto di equilibrio stabile.

{x kxk

∂S = : = ε} S

La frontiera della Sfera chiusa è un compatto, in

ε ε

quanto chiuso e limitato.

Poiché per ipotesi V è una funzione di Lyapunov, in particolare V è continua

∂S

sul compatto e per il teorema di Weierstrass esisterà un punto sulla

ε

frontiera per il quale la funzione assume valore minimo:

µ = min V (x). (3.7)

∂S

ε

µ > 0

Pertanto sarà necessariamente dal momento che V è definita positiva

∈ ∈

0 / S B 0 B

e . Inoltre dato che V è continua in e quindi in avremo:

ε r r

0 0

lim V (x ) = V (0) = 0.

0

→0

x 0

Dalla definizione di limite segue che:

∀ε ∃δ kV − ∀x ∈ kx k

> 0, > 0 : (x ) V (0)k < ε, B : 0 < < δ. (3.8)

0 0 r 0

0

ε = µ,

A tal proposito se poniamo per la definizione 3.8 e dato che V è

definita positiva:

∃ kx k ⇒ ∈

δ > 0 : < δ 0 < V (x ) < µ, x B . (3.9)

0 0 0 r

0

x

Per l’arbitrarietà di abbiamo dimostrato l’esistenza di una sfera di raggio

0

δ S S

tale che .

δ ε kx(t, ∀ ≥

x )k < ε t 0.

Mostriamo adesso che Indichiamo con x la traiettoria

0

x S S

che ha inizio in . Se la traiettoria uscisse da allora essa dovrebbe

0 δ ε

30

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

∂S t.

intersecare la frontiera in un certo istante Analiticamente ciò comporta

ε

che: ≥

V (x(t, x ) µ (3.10)

0

µ

essendo il minimo valore che la funzione assume sulla frontiera.

V̇ 0,

Tuttavia poiché V è non crescente lungo la curva x e

per x < x(t) V (x ) > V (x(t)). (3.11)

0 0

Pertanto essendo contemporaneamente per la 3.9:

V (x ) < µ

0

e per la 3.10: ≥

V (x(t, x ) µ

0

giungiamo all’assurdo: ≤ x ) < V (x ) < µ.

µ V (x(t, 0 0 S

Da tale assurdo segue che la traiettoria x resta confinata in ovvero:

ε

kx(t, ∀ ≥

x )k < ε t 0.

0

Abbiamo dimostrato che l’origine è un punto di equilibrio stabile.

Figura 3.3: Traiettoria per un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

31

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Teorema 3.1.2. Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e sia

l’origine un punto di equilibrio per esso. Se V è una funzione di Lyapunov

in senso stretto ovvero: B

1. V(x) è definita positiva in ;

r

0

V̇ (x) B

2. è definita negativa in ,

r 0

allora il punto di equilibrio origine è asintoticamente stabile.

Dimostrazione. Dal teorema precedente il punto di equilibrio origine è sta-

bile e dunque resta da verificare che esso è attrattivo.

σ = δ(ε) > 0 x B

Siano e .

0 r 0

Dal momento che V è definita positiva, vale la seguente equivalenza:

lim x(t, x ) = 0 lim V [x(t, x )] = 0. (3.12)

0 0

t→∞ t→∞

Pertanto ci limiteremo a verificare il secondo limite in luogo del primo.

V̇ V

Sapendo che per ipotesi è definita negativa, se ne ricava che è monotona,

in particolare strettamente decrescente lungo le soluzioni del sistema. Inoltre

V B

essendo continua in tutto , per la definizione di limite di funzione

r

0

O B

continua nell’origine si ha:

r

0

∀ ∃ | − |< ∀ ∈ |<

ε > 0, δ(ε) > 0 : V (x) 0 ε, x B : 0 <| x δ

r

0

che mostra che la funzione di Lyapunov è altresì limitata. Sapendo che ogni

funzione monotona e limitata ammette limite finito poniamo:

lim V [x(t, x )] = α 0. (3.13)

0

t→∞

α > 0

Se per assurdo fosse , indicato con

| ≥

{x ∈ S V (x) α}

K = ε S x(t, x ),

un compatto interamente contenuto in e contenente la traiettoria

ε 0

essendo continua su K, per il teorema di Weierstrass esiste il massimo:

−m

V̇ = < 0.

max (3.14)

k

Di conseguenza avremmo: ≤ −m

V̇ [x(t, x )] (3.15)

0

32

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

[0, t]

e integrando entrambi i membri della 3.15 nell’intervallo risulterà:

t t

Z Z

· −ms ·

V̇ [x(s, x )] ds = ds (3.16)

0

0 0

da cui: ≤ −

V [x(t, x )] V (x ) mt. (3.17)

0 0

−→ ∞

t

Applicando il limite alla 3.17, per e per la 3.13 si ottiene:

− −→ −∞

α = V (x ) mt

0 α

impossibile poiché avevamo supposto che fosse positivo.

Da tale assurdo segue che : ≥

lim V [x(t, x )] = α 0

0

t→∞

e per la 3.12: lim x(t, x ) = 0.

0

t→∞

Resta provato che l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

Teorema 3.1.3. Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e

sia l’origine un punto di equilibrio per esso.

Se esiste una funzione di Lyapunov tale che:

∃ kx k ⇒

η > 0 x : < η V (x ) > 0

1. per ogni ,

0 0 0

V̇ B

2. è definita positiva in ,

r 0

allora il punto di equilibrio è instabile.

Teorema 3.1.4. Sia dato un sistema non lineare autonomo del tipo 3.1 e

sia l’origine un punto di equilibrio per esso.

0

λ > 0 V C

Se esistono e una funzione tali che:

\ {0},

V (x) B

1. è definita positiva in r 0

V̇ (x) λV (x)

2.

allora il punto di equilibrio è instabile.

Proposizione 3.1.5. Sia W(x) un integrale primo per il sistema 3.1 e sia

x x

un suo punto di equilibrio. Se è un punto di minimo proprio per W(x)

e e

allora è un punto di equilibrio stabile. −

V (x) = W (x) W (x )

In particolare la funzione è di Lyapunov.

e

33

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

3.1.3 Analisi lineare sulla stabilità dei sistemi autonomi

Dato un sistema lineare autonomo di ordine n

ẋ = Ax (3.18)

ed un’ equazione alle derivate parziali:

∂V

< , Ax >= λV (x) (3.19)

∂x λ

ci proponiamo di determinare dei valori di per i quali si possa soddisfare

la 3.19 assumendo che V sia un polinomio omogeneo di un grado assegnato

m 1, a coefficienti complessi non tutti nulli.

Denotiamo con N il numero dei coefficienti di V : uguagliando i monomi simili

presenti ai due membri della 3.19, si ottengono N equazioni che costituiscono

S

un sistema lineare e omogeneo.

Detta D la matrice dei coefficienti di S, il suo determinante è un polinomio

λ

in di grado N ed è indicato con:

D (λ) = detD.

m

λ

Ricercare valori di per i quali la 3.19 sia soddisfatta equivale a risolvere

l’equazione algebrica: D (λ) = 0. (3.20)

m

m = 1,

Nel caso in cui sia è facile convincersi che:

D (λ) = det(A λI).

1

Mostriamo il seguente esempio.

V (x) m = 1

Sia un polinomio i grado del tipo:

V (x) = b x + b x + . . . + b x .

1 1 2 2 n n

Tenendo conto della 3.19 otteniamo:

b b . . . b

< , Ax >= λ (b x + b x . . . + b x ) (3.21)

1 2 n 1 1 2 2 n n

dove è:    

a a . . . a x

11 12 1n 1

a a . . . a x

  

 21 22 2n 2

·

Ax = . (3.22)

   

.. .. .. .. ..

   

. . . . .

   

a a . . . a x

n1 n2 nn n

34

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Risolvendo l’equazione 3.21 si ottiene il sistema in N equazioni ed N incognite:

 −

(a λ )x + a x + . . . + a x = 0

11 1 1 12 2 1n n

 −

a x + (a λ )x + . . . + a x = 0

 21 1 22 2 2 2n n (3.23)

. . .

 −

 a x + a x + . . . + (a λ )x = 0

n1 1 n2 2 nn n n

a cui si associa la matrice il cui determinante è:

a λ a ... a

11 1 12 1n

a a λ . . . a

21 22 2 2n

D (λ) = det(A λI) = . (3.24)

.. .. ..

..

1 .

. . .

a a . . . a λ

n1 n2 nn n

L’equazione: D (λ) = 0 (3.25)

1

si chiama equazione determinante, le cui radici sono ovviamente gli autovalori

di A. Una volta noti, gli autovalori di A occorrono nella ricerca di tutte le

soluzioni dell’equazione 3.20.

Sussiste precisamente la seguente proposizione:

λ , λ , . . . , λ

Proposizione 3.1.6. Siano le soluzioni di 3.25. Allora le N

1 2 n

soluzioni di 3.20 si ottengono mediante la seguente combinazione lineare:

λ = m λ + m λ + . . . + m λ (3.26)

1 1 2 2 1 n

m , m , . . . , m

assegnando ad tutti i valori interi, non negativi, soddisfacenti

1 2 n

la condizione: m + m + . . . + m = m. (3.27)

1 2 n

n

Consideriamo in l’equazione differenziale lineare autonoma:

R ẋ = Ax (3.28)

e distinguiamo i due seguenti casi per A:

1) gli autovalori di A hanno tutti parte reale negativa;

2) tra gli autovalori di A ve n’è almeno uno a parte reale positiva.

35

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Si tenga presente che rimane escluso il caso in cui vi siano autovalori a

Reλ 0

parte reale e tra essi uno a parte reale nulla.

La semplice ispezione della soluzione: At

·

x(t) = x e

0 x = 0

della 3.28 conduce al risultato che la soluzione è:

a) nel caso i), asintoticamente stabile;

b) nel caso ii), instabile. 2

Per convincersi di ciò consideriamo un sistema in del tipo:

R

ẋ x

·

= A (3.29)

ẏ y

×

2 2

con A matrice della forma:

λ 0

1

A = (3.30)

0 λ

2

i cui autovalori sono: λ < λ < 0.

1 2

Siano

1 0

v = v =

1 2

0 1

λ λ .

rispettivamente gli autovettori relativi a e Una soluzione del sistema

1 2

di partenza è del tipo: λ t λ t

· ·

x(t) = c e v + c e v (3.31)

1 2

1 1 2 2

c c

con e costanti. Facendo tendere t ad infinito, si ricava che la soluzione

1 2

tende a zero e ciò coincide con la definizione di stabilità asintotica.

Mostreremo ora l’esistenza di funzioni di Lyapunov indipendenti da t aventi

la forma di polinomi omogenei soddisfacenti nel caso i) il teorema di stabilità

3.1.2 e nel caso ii) i teoremi di instabilità.

36

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

Proposizione 3.1.7. Supponiamo che tutti gli autovalori di A abbiano parte

m 2

reale negativa. Sia U(x) una forma (polinomio omogeneo) di grado

(pari). Allora esiste una sola forma V(x) di grado m che soddisfi l’equazione:

∂V

< , Ax >= U (x). (3.32)

∂x

Inoltre tale forma è definita positiva.

Dimostrazione. La 3.32 equivale a:

V̇ (x) = U (x) (3.33)

V̇ (x)

dove rappresenta la derivata di V lungo le soluzioni di 3.28. Per sod-

disfare la 3.32 supponiamo che V sia una forma di grado m. Tenendo conto

della 3.19, la 3.33 diventa: V̇ (x) = λV (x) + U (x) (3.34)

λ = 0.

con Si perviene per la determinazione dei coefficienti di V ad un

sistema algebrico lineare di N equazioni in N incognite, il cui determinante

D (0)

è e poiché gli autovalori di A hanno parte reale del medesimo segno,

m

per le 3.26 e 3.27 si ha: 6

D (0) = 0.

m

Ciò assicura che esiste una sola forma V(x) di grado m soddisfacente la 3.32.

Dimostriamo che V(x) è definita positiva. A tal proposito supponiamo per

x tale che :

assurdo che esista ≤

V (x) 0

e poiché U(x) è decrescente lungo le soluzioni, per la 3.32, si ha:

≤ ∀

V (x(t, x)) < V (x) 0, t > 0. (3.35)

∗ ∗

x), V (x ) < 0

x = x(t, la proprietà implica che

Per l’omogeneità di V, posto ∗

x = 0 z = αx (α > 0) V (z) < 0.

in ogni intorno di esistono punti per cui

−V

Pertanto essendo definita positiva e la sua derivata lungo le soluzioni

x = 0

altresì definita positiva, per il teorema 3.1.3, il punto di equilibrio è

instabile, in contrasto col fatto che esso è asintoticamente stabile.

Proposizione 3.1.8. Supponiamo che:

• tra gli autovalori di A ve ne sia almeno uno a parte reale positiva;

37

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

• 6

D (0) = 0.

m ≥

m 2

Sia U(x) una forma di grado pari definita positiva. Allora esistono

una ed una sola forma V(x) di grado m soddisfacente la 3.32 e punti x tali

V (x) > 0.

che

3.1.4 Riconoscimento delle proprietà di stabilità di un

sistema non lineare per mezzo della sua parte li-

neare.

Consideriamo l’equazione differenziale autonoma non lineare:

ẋ = f (x) (3.36)

1 n n

f C (D, ), f (0) = 0.

con D aperto di contenente l’origine e tale che

R R

Grazie allo sviluppo in serie di Taylor si può scrivere:

2

∂f ∂ f

f (x) = f (0) + x + + ... (3.37)

∂x ∂x

0 ξ

e in maniera equivalente: f (x) = Ax + ϕ(x) (3.38)

×

ϕ(x) n n

con infinitesimo di ordine superiore ad x e A la matrice costante

∂f x = 0.

calcolate per

i cui elementi sono le derivate i 0

∂x

j n

· ρ

Sia una qualunque norma in e il simbolo della corrispondente

q q R

n χ = ρ(0, ∂D).

distanza in . Sia infine

R ≥

F (x) m 2

Proposizione 3.1.9. Sia una forma di grado pari e definita in

m

→ k

σ : D σ(x) = o(k x )

segno. Allora se è una funzione continua con

R

→ ∃ ∈

x 0, δ (0, χ) G = F + δ

per tale che la funzione sia definita in segno

δ

in un intorno di con il segno di F.

Teorema 3.1.10. Supponiamo che gli autovalori di A abbiano tutti parte

x = 0

reale negativa. Allora la soluzione di 3.36 è asintoticamente stabile.

m 2

Dimostrazione. Sia V(x) una forma di grado definita positiva e sia

x(t, x ) una soluzione del sistema completo 3.36. Si ha;

0 ∂V ∂V ∂V

∂V

V̇ (x(t, x )) = ẋ = f (x) = [Ax + ϕ(x)] = U (x) + ϕ(x) (3.39)

0 ∂x ∂x ∂x ∂x

38

CAPITOLO 3. STUDIO QUALITATIVO DELLE SOLUZIONI

con U(x) una forma definita negativa dello stesso grado di V(x). x = 0,

Per la proposizione 3.1.9 in un intorno opportunamente piccolo di

V̇ è definita negativa, essendo:

∂V m

k →

< , ϕ(x) >= o(k x ) x 0.

U(x) definita negativa e per

∂x

Teorema 3.1.11. Supponiamo che tra gli autovalori di A ve ne sia almeno

x = 0

uno a parte reale positiva. Allora la soluzione di 3.36 è instabile.

Per i cosiddetti casi critici, quando cioè gli autovalori di A sono tutti a

parte reale non positiva e tra essi ve ne sia almeno uni a parte reale nulla, la

presenza o meno della stabilità dipende dalla parte non lineare di f. In questi

casi il problema della stabilità presenta in genere grandi difficoltà.

39

Capitolo 4

Applicazioni

4.1 Modello Preda - Predatore

I primi modelli che descrissero l’interazione fra specie differenti risalgono al

periodo che segue la Prima Guerra Mondiale. Gli scienziati, considerati i

padri fondatori dell’ecologia teorica, sono due: il chimico e demografo, di

origine ucraina, Alfred Lotka (1880 - 1949) e l’italiano Vito Volterra (1860 -

1940).

Essi idearono i modelli in maniera indipendente. L’interesse di Volterra per

questo tipo di problema venne suscitato a seguito di conversazioni con suo

genero, il biologo Ugo D’Ancona, il quale aveva osservato una tendenza bio-

logica che non riusciva a spiegarsi: durante la Prima Guerra Mondiale le

operazioni militari nel Mar Adriatico avevano limitato le spedizioni di pesca.

Diversamente da quanto previsto, si era ridotto notevolmente il numero di

pesci soggetti alla pesca, mentre erano in aumento alcune specie di piccoli

squali.

Volterra suggerì un modello di interazione tra due popolazioni di pesci pre-

da e predatore che riuscì a spiegare in modo soddisfacente le osservazioni di

D’Ancona.

Costruzione del Modello x y.

Consideriamo un sistema biologico costituito da due popolazioni e Sup-

poniamo che la popolazione y sia costituita da predatori che si nutrono della

popolazione x, prede.

Ad esempio y può essere costituita da una popolazione di carnivori e x da

una popolazione di erbivori di cui y si nutre.

Illustriamo di seguito le ipotesi semplificative di tipo generale per poter pas-

sare all’esame del modello: 40

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

,→ età delle popolazioni trascurabile;

,→ assenza di fenomeni di migrazione;

,→ assenza di fenomeni aleatori;

,→ staticità dell’habitat in cui le popolazioni convivono.

Si osservi che: (y = 0),

1. in assenza di predatori il numero di prede cresce proporzional-

a > 0

mente alla popolazione stessa con tasso di crescita costante:

ẋ(t) = ax(t). (4.1)

(x = 0),

2. in assenza di prede il numero di predatori si estinguerebbe

con una velocità proporzionale alla popolazione stessa, con un tasso

c > 0:

costante −cy(t).

ẏ(t) = (4.2)

Stiamo quindi supponendo che la dieta della popolazione y sia costituita

dalla sola popolazione x, senza la quale y si estinguerebbe per fame.

3. la presenza della popolazione di predatori y provoca una diminuzione

della velocità di crescita della popolazione di prede x, di una quantità

proporzionale a y, per cui si ha: −

ẋ = ax bxy (4.3)

con b costante positiva rappresentante una misura della frequenza degli

incontri fra x e y che si risolvono in favore di y.

4. la presenza della popolazione di prede x provoca un aumento della

velocità di crescita della popolazione dei predatori y, di una quantità

proporzionale a x, per cui si ha: −cy

ẏ = + dxy (4.4)

con d costante positiva misurante la frequenza degli incontri fra x e y

che si risolvono in favore di y.

Si ottiene in definitiva il sistema preda-predatore di equazioni differenziali,

detto di Volterra - Lotka: ( −

ẋ = (a by)x . (4.5)

ẏ = (−c + dx)y

41

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

Studiamo quindi il sistema di evoluzione a partire da un qualunque stato

(x , y )

iniziale biologicamente significativo, cioè:

0 0 ≥

x , y 0.

0 0

Risolvendo il sistema omogeneo:

( −

(a by)x = 0 (4.6)

(−c + dx)y = 0

ricaviamo i punti di equilibrio:

E : x = 0, y =0 (4.7)

1 c a

E : x = , y = . (4.8)

2 d b

Inoltre osserviamo che: at

y = 0, x(t) = x e

a) per 0 −ct

x = 0, y(t) = y e

b) per .

0

Questo ci permette di concludere che i semiassi positivi x e y sono soluzioni

del sistema L - V.

Il sistema lineare associato a 4.9 diventa:

(

ẋ = ax (4.9)

−cy

ẏ =

e in forma matriciale:

x a 0 x

= (4.10)

−c

y 0 y

che ammette come autovalori: −c

λ = a > 0, λ = < 0.

1 2

E

Per cui è un punto di equilibrio instabile.

1 E .

Studiamo ora le proprietà di stabilità di 2

Consideriamo la trasformazione invertibile di coordinate:

c a

− −

P = x eQ = y (4.11)

d b

42

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

E (x, y)

che porta il punto di equilibrio del sistema di coordinate nell’origine

2

(0, 0) del sistema di coordinate (P,Q).

Pertanto tenendo conto di 4.11 si ottiene il nuovo sistema:

( c

−bQ

Ṗ = P + d . (4.12)

ab

Q̇ = dP Q +

Poiché gli autovalori della matrice dei coefficienti del sistema linearizzato:

( bcd

− ·

Ṗ = Q (4.13)

ad · P

Q̇ = b

sono a parte reale nulla: √ √

−i

λ = ac, λ = i ac,

1 2

per studiare la stabilità del punto di equilibrio occorre cercare una funzione

di Lyapunov attraverso l’integrale primo del tipo:

L (x, y) = F (x) + G (y) . (4.14)

Calcolando la derivata lungo le soluzioni si ha: ∂F ∂G

d L (x(t), y(t)) = ẋ + ẏ

0 = L̇ (x, y) = (4.15)

dt ∂x ∂y

e tenendo conto delle equazioni del sistema L - V otteniamo:

∂G

∂F −

(a by) + y (−c + dx)

0 = L̇ (x, y) = x (4.16)

∂x ∂y

da cui si ricava: ∂F ∂G

− −y

x (a by) = (−c + dx) (4.17)

∂x ∂y

e spostando al primo membro tutti i termini in x e al secondo tutti i termini

in y:

x ∂G y

∂F −

= . (4.18)

− −

∂x dx c ∂y a by

Inoltre dal momento che è: L̇ (x, y) = 0

deve essere:

∂F x ∂G y

= = ρ = cte. (4.19)

− −

∂x dx c ∂y a by

43

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

ρ = 1,

Se ad esempio è segue che:

∂F c ∂G a

− − −

= d e = b (4.20)

∂x x ∂y y

e integrando il primo membro rispetto alla variabile x e il secondo membro

rispetto ad y: − · − ·

F (x) = dx c logx e G(y) = by a logy.

Infine per la 4.14 l’integrale primo del sistema di L-V è della forma:

− · − ·

L(x, y) = dx c logx + by a logy. (4.21)

Per la ricerca di eventuali punti di minimo o di massimo relativo per L(x,y),

andiamo a considerare la matrice Hessiana: 2

d

L (E ) L (E ) 0

xx 2 xy 2 c

H(E ) = = . (4.22)

2 2

b

L (E ) L (E ) 0

yx 2 yy 2 a

Dal momento che è:

• detH(E ) > 0,

2

• L (E ) > 0

xx 2 E L(x, y)

se ne ricava che è di minimo relativo per e dunque è di equilibrio

2

stabile per la proposizione 3.1.5.

4.2 Modelli di diffusione di epidemie

In questo paragrafo introduciamo un modello biologico di trasmissione della

malattia infettiva dovuto a Kermack e MacKendrick.

Durante un’epidemia la popolazione può essere suddivisa in tre gruppi:

S;

a) individui sani ma suscettibili di essere contagiati: I;

b) individui infetti e a loro volta veicolo di infezioni:

R.

c) individui guariti o deceduti, per questo rimossi:

44

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

N.B. il modello è basato sulla condizione che i rimossi non possono più

contrarre la malattia e che la popolazione rimanga costante:

S(t) + I(t) + R(t) = N

per cui si assume che S, I e R siano in funzione del tempo.

Inoltre si tenga presente che:

1. il numero dei contagi è proporzionale agli incontri fra i suscettibili e gli

b > 0,

infetti tramite una costante

2. il numero dei guariti è proporzionale al numero degli infetti.

Il meccanismo del modello è pertanto basato sulla seguente assunzione:

 dS −bSI

Ṡ = =

dt

 ˙ dI − . (4.23)

I = = bSI vI

dt

 dR

Ṙ = = vI

 dt

cui vanno associate le condizioni iniziali:

 S(0) = S > 0

0

 . (4.24)

I(0) = I > 0

0

 R(0) = 0

 SIR.

Tale modello viene denominato

Trattiamo invece il problema dal punto di vista qualitativo, in un caso più

generale, in cui si assume che l’immunità sia temporanea, cioè individui che

superano la malattia diventano di nuovo suscettibili.

Ciò avviene proporzionalmente alla popolazione dei rimossi R, con una co-

γ.

stante di proporzionalità

SIRS

Il modello denominato viene descritto dalle seguenti equazioni:

 dS −bSI

Ṡ = = + γR

dt

 ˙ dI − (4.25)

I = = bSI vI

dt

 dR −

Ṙ = = vI γR

 dt

con relative condizioni iniziali del tipo 4.24. γ = 0.

Il modello SIR è ovviamente un caso particolare di quest’ultimo con

− −

R(t) = (N (t) S(t) I(t))

Trascurando R, e ricordando che si ottiene:

( dS −bSI − −

Ṡ = = + γ (N S I)

dt (4.26)

˙ dI −

I = = bSI vI

dt 45

CAPITOLO 4. APPLICAZIONI

i cui punti di equilibrio sono calcolati mediante il sistema:

(

Ṡ = 0 . (4.27)

˙

I = 0

Pertanto si ottengono i due punti: !

vb

γ N

v

≡ ≡

E (N, 0) e E , .

1 2 b v + γ

E

Il punto di equilibrio corrisponde al caso in cui la popolazione è costituita

1

tutta da individui sani ma suscettibili e l’epidemia è superata. Da notare

E

invece che il punto esiste se e solo se:

2 v

− > 0

N b

v

con denominato livello di soglia.

b

Riprendendo il sistema 4.26:

( dS −bSI − −

= + γN γS γI

Ṡ = dt (4.28)

˙ dI −

I = = bSI vI

dt

gli autovalori della matrice

−γ −bN − γ

J(E ) =

1 −

0 bN v E

dei coefficienti del sistema precedente calcolato in sono:

1

−γ

λ = < 0

1. 1 −

λ = bN v:

2. 2 • −

bN v < 0 E

quando non esiste,

2

• −

bN v > 0 E

quando esiste.

2

E

Pertanto il punto di equilibrio è instabile.

1 J(E )

Calcolando infine gli autovalori della matrice ci si accorge che essi sono

2

entrambi a parte reale negativa e per tale motivo l’equilibrio è asintoticamen-

te stabile. Ciò significa che la malattia si consolida nella popolazione solo

quando la popolazione totale N supera il livello di soglia.

46

Capitolo 5

Teoria Matematica della guerra

5.1 Il modello matematico di Richardson

Nel 1939, poco prima dello scoppio della Seconda Guerra Mondiale, giun-

se alla redazione una rivista scientifica del metereologo pacifista Lewis Fry

Richardson. Laureato in fisica e psicologia, Richardson riteneva che la sua

opera potesse scongiurare il pericolo di una guerra imminente, nonostante

ignorasse la quasi inesistente attitudine da parte dei leader a leggere lavori

prettamente scientifici.

5.1.1 Costruzione del modello

Richardson si propone di costruire un modello matematico che descriva l’evol-

versi delle relazioni tra due o più nazioni, ciascuna delle quali è determinata

a difendersi da possibili attacchi dell’altra. In questo paragrafo esamineremo

il caso di due nazioni o comunque di due alleanze. 1

A ciascuna delle due nazioni, che chiameremo "Redland" e "Blueland", è

x = x(t) y = y(t),

assegnata una variabile, rispettivamente e rappresen-

tante il potenziale bellico o gli armamenti della nazione considerata.

Bisogna poi individuare i motivi che possono spingere una nazione ad accre-

scere i propri armamenti. In altre parole ciò significa studiare la velocità con

cui accrescono le difese di una nazione all’ammontare delle minacce di quella

avversaria.

In termini matematici, per la nazione Redland, ciò si traduce con l’equazione:

dx = ky (5.1)

dt

1 nella versione originale "Jedesland" e "Andersland".

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