Fondamenti di tecnologie alimentari - Esercitazioni su excel

P

y= mX + q = + ∙ (/

→ () () ), in cui:

il coefficiente angolare m sarà uguale a n = indice di non Newtonianità (Variabile x1);

- l’intercetta q sarà data dal K = indice di consistenza, che essendo espresso in base logaritmica

sarà uguale a: k = exp(lnK).

A livello applicativo andiamo a creare un'altra tabella con tutti i valori sperimentali espressi in base

logaritmica naturale, e come prima andiamo a creare un grafico, per studiare la linearità dei dati,

grafico sempre a dispersione con i nomi degli assi, la linea di tendenza, R e l’equazione.

2

20 Come possiamo vediamo dal grafico e dai valori di R la linearizzazione ha avuto successo,

2

possiamo perciò fare l’analisi dei dati per essere statisticamente più sicuri.

L’intercetta q, nei casi il fluido non sia Newtoniano rappresenta l’indice di consistenza K,

attenzione, però perché l'intercetta sarà espressa come lnK, perciò, per avere k = exp(lnK) =K

perciò: EXP (4,08921167884447) = 59,6928

La variabile X1 ovvero il coefficiente angolare rappresenta l’indice di non Newtonianità n, che

essendo minore di 1 ci può già far affermare che il fluido è un fluido pseudoplastico.

Successivamente per verificare effettivamente che il fluido abbia un comportamento

pseudoplastico facciamo passare questi punti sperimentali attraverso un modello di un fluido

pseudoplastico.

Per far ciò creiamo un’altra tabella, questa volta i dati sono costrutti da noi, li costruiamo in modo

da avere un gradiente di velocità crescete, con incrementi di 0,1 fino ad arrivare a 3.

Lo sforzo di taglio seguirà la legge dei fluidi non newtoniani che già conosciamo tao=k (dv/dz) con i

n

valori di K e n che abbiamo precedentemente trovato.

Correliamo su un grafico questi dati, per confermare la relazione che il nostro fluido sia

pseudoplastico.

Come possiamo vedere dal grafico i dati sono perfettamente correlati, il fluido è pseudoplastico.

21

Come sappiamo è impossibile esprimere i fluidi non newtoniani in funzione della viscosità, ma

possiamo calcolare invece la così detta viscosità apparente, quest’ultima varia in relazione

all’indice di non newtonianità e all’indice di consistenza K.

La viscosità dinamica può essere calcolata per ogni gradiente di velocità e può essere riportata in

= (/)

-1

un grafico. Per calcolarla: (è uguale a tao ma abbiamo un -1 all'esponente).

ap

Notiamo che la viscosità tende a diminuire, ma a gradienti di velocità elevati la viscosità cambia

poco; infatti, non possiamo certo esprimere questi fluidi in funzione della viscosità ma possiamo

dire che tra valori di taglio tra i 30 e 50 la viscosità è quasi costante, varia di poco.

22 2.3 Reologia fluido Dilatante

Con lo stesso procedimento

dell’esercizio precedente (3.1)

andiamo a studiare la reologia di un

fluido dilatante.

1) Studiamo la funzione lineare tra

gradiente di velocità e sforzo di

taglio: y= f(d/z).

2) Una volta che abbiamo appurato

che la relazione tra i dati

sperimentali non è lineare andiamo

a linearizzare l’equazione andando

a effettuare il logaritmo

naturale dei dati sperimentali:

= + ∙ (/)

() ()

(attenzione al calcolo di k).

3) Effettuiamo l’analisi dei dati

per trovare i valo di K = indice di

consistenza e n = indice di non

Newtonianità, visto che n è

maggiore di 1, il fluido sarà

dilatante.

4) Creiamo una tabella in cui

sono riportati gradienti di

velocità crescenti stabiliti da

noi, in relazione allo sforzo di

taglio che sarà dato dalla legge

dei fluidi non newtoniani =

(/) , con i valori di K e n

che abbiamo

precedentemente trovato e

successivamente creiamo un

grafico che metta in relazione i

dati sperimentali con quelli

arbitrari che abbiamo appena

calcolato.

5) Infine,

andiamo a

studiare e la

variazione della

viscosità

apparente, per

avere una

ulteriore

conferma che il

fluido è dilatante.

La viscosità apparente aumenta all’aumentare della velocità, inizialmente aumenta tanto, a valori

di velocità molto alti invece varia di molto poco.

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2.4 Equazione di Arrhenius: Variazione degli attriti interni al variare della temperatura

Per tracciare i reogrammi come sappiamo abbiamo bisogno del gradiente di velocità dv/dz, che in

questo caso va da 0 a 20 s , dobbiamo calcolarci la viscosità n, tenendo conto delle temperature

-1

che sono 20,30,40,50 °C e infine dobbiamo calcolarci lo sforzo di taglio (tao).

Possiamo notare come, all’aumentare della temperatura diminuiscono gli attriti interni e quindi la

viscosità e diminuisce anche lo sforzo di taglio.

24 3. Applicazione Bernoulli: Calcolo della Prevalenza

Per applicare la legge di Bernoulli è fondamentale seguire 4 passaggi ben delineati:

1) Definizione e Rappresentazione grafica della struttura del circuito;

2) Rappresentazione dell’equazione di Bernoulli in forma completa, individuando l’incognita;

3) Definire i punti iniziali e finali A e B;

4) Semplificazione dell’equazione di Bernoulli, 3 possibili casi:

mancanza di un termine nel circuito: viene escluso dall’equazione;

- uguaglianza tra termini nel punto iniziale A e in quello finale B;

- non significatività di un termine: individuiamo dei termini non significativi nel calcolo della

- nostra incognita.

Problema

Si consideri il circuito schematizzato nella figura sotto riportata.

Esso trasferisce una bevanda gasata da un serbatoio ad un altro in modo che possa essa essere

filtrata. All'inizio dell'operazione il serbatoio A è pieno (livello liquido = 3 m) e quello B è vuoto; al

termine la situazione è invertita. Nei due serbatoi A e B deve essere mantenuta una pressione

assoluta di 2 atm. La portata è di 2710 L/h e il fluido newtoniano ha una densità di 1009 kg/m3 ed

una viscosità di 1.2 cP. La condotta ha un diametro di 40 mm, una lunghezza di 15 m ed una

scabrezza relativa di 0.001.

Nella condotta sono presenti: una valvola con Le/D = 105, due curve a 90° con Le/D = 35 ciascuna,

un manometro a T con Le/D = 20 e un manometro a gomito con Le/D = 70.

È inoltre inserito un filtro per il quale deve essere garantita una perdita di carico di 2 atm (differenza

di pressione fra l'entrata e l'uscit del filtro).

Calcolare l'energia che deve essere fornita dalla pompa in J/kg e la conseguente prevalenza in metri

d'acqua. Effettuare il calcolo per la condizione più sfavorevole che si verifica nel corso

dell'operazione. Le condizioni più sfavorevoli in questo caso sono che nel punto iniziale il fluido nel

serbatoio A si trovi a quota quasi a 0, così il moto è più sfavorito, viceversa invece il punto finale si

troverà nella parte più alta del serbatoio in b, altra situazione per cui il moto è sfavorito.

Analizzando questo circuito nessuno dei termini della Bernoulli è trascurabile, non abbiamo

mancanze di un termine, ma possiamo uguagliare alcuni termini di a e b, la pressione è costante a

2atm, inoltre la densità essendo a t costante non varia; perciò, possiamo semplificare il termine

della pressione/densità nel punto iniziale e in quello finale.

Le velocità nel caso in cui una condotta collega 2 serbatoio uguali, la possiamo approssimare a 0.

Il termine gxz invece potrebbe essere semplificato, ma per questa volta non lo facciamo perché

vogliamo creare in Excel in una formula che tenga conto di questo termine.

→

Visto cha la nostra incognita X è l’energia reale fornita

dalla pompa possiamo riscrivere così l’equazione.

25

Su Excel come prima cosa

andiamo a riportare i dati in una

tabella, ed effettuiamo dove è

necessario delle conversioni per

esprimere tutti i dati nella unità di

misura del SI:

La conversione della viscosità:

da centipoise a Pa/s: dividiamo i

centipoise per 1000 e otteniamo

Pa/s.

La conversione della portata: da

L/h a m /s: moltiplichiamo i L/h

3

per 1/3600 * 1/1000 per avere i

m /s (togliamo prima il termine h e

3

poi il termine L);

La conversione del diametro da

mm a m: moltiplichiamo i mm per

0,001;

La conversione della perdita di carico associata al filtro: moltiplichiamo le atm x 101325 per

avere i Pa.

Guardando questa tabella bisogna considerare che la quota nel punto iniziale visto le condizioni

sfavorevoli che ci siamo imposti è uguale a 0, inoltre la portata è espressa in volume e non in

massa. εW

Considerando la nostra incognita il calcolo della differenza di energia potenziale g (z -z ) data

p b a

dalla quota è molto semplice;

infatti, conosciamo sia la quota nel

punto finale sia la quota nel punto

iniziale.

Il calcolo delle perdite di carico totali hf invece è molto complesso, perciò adiamo a scomporlo.

1) Perdite di carico continue

Calcoliamo la sezione che ci serve per calcolarci la velocità media, la sezione

è uguale a pi-greco per il raggio al quadrato, con il raggio che è uguale alla metà

del diametro.

Avendo calcolato la sezione e avendo la portata in volume possiamo calcolarci la

velocità media.

Per calcolare il fattore di attrito abbiamo bisogno del numero di Reynolds, tutti i

fattori del numero di Reynolds sono noti, perciò, il calcolo è molto semplice.

Il numero di Reynolds evidenzia il moto turbolento del fluido.

Per calcolare il fattore di attrito avendo Re utilizziamo i grafici di Fanning, considerando una

scabrezza di 0,001 (4 curva) intersecando il valore del logRe abbiamo il valore del fattore di attrito.

Avendo calcolato tutti i

fattori necessari,

possiamo calcolarci le

perdite di carico

continue.

26 2) Perdite di carico localizzate

Le perdite di carico localizzate date dall’equipaggiamento sono espresse in lunghezza equivalente

su diametro; perciò, devono essere moltiplicate per il nostro diametro.

Perdite di carico localizzato è dato dalla somma di tutte le perdite di carico localizzate.

Perdite di carico continue + localizzate = hf (vedi formula).

3) Perdite di carico causate da bruschi ristringimenti e allargamenti

Nel nostro circuito le uniche brusche variazioni di diametro sono date dal

collegamento tra la condotta e i due serbatoio; perciò