Fisica II - Prove d'esame (con soluzioni) - 2016

ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE.

RISPOSTE SENZA ADEGUATA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 1 (12)

Si considerino i due conduttori mostrati in figura: una sfera R

! 2

conduttrice piena, di raggio , concentrica ad un guscio R

" 1

R

3

! < % < !

conduttore esterno che riempie lo spazio .

# & V V 0

= >

1.1 Calcolare la capacita’ del condensatore formato dai due 3

conduttori. !

La sfera conduttrice di raggio viene collegata a massa

" V 0

=

V 0

=

= 0) 1

(' attraverso un filo conduttore che attraversa il guscio

"

esterno con un canalino sottilissimo che non modifica il campo e le distribuzioni di carica in nessun modo.

' = ' > 0

Il guscio conduttore esterno viene collegato ad un potenziale tramite una batteria riferita a

&

massa. Si consideri il riferimento del potenziale all’infinito.

- , - / - '

1.2 Calcolare le cariche sulle 3 superfici sferiche conduttrici, in funzione del potenziale dato

" # &

e degli altri parametri geometrici, e calcolare sia il campo elettrico in tutto lo spazio facendo un grafico di

0 % .

1

1.3 Successivamente la sfera interna 1 viene staccata dal collegamento a massa e connessa con la superficie

! ' = ' > 0,

interna del guscio conduttore, mantendo sempre il collegamento e si osserva che raggiunto

# &

- = 0

il nuovo equilibrio elettrostatico la carica "2

Calcolare la variazione di energia elettrostatica del sistema passando dalla configurazione nel punto 1.2 a

quella nel punto 1.3.

Esercizio 2 (8) 3 4

Un anello circolare di raggio interno e raggio esterno

5 = 0

giace nel piano con centro nell’origine.

Sull’anello isolante e’ distribuita una carica con densita’

#

6 % = 7/% %

superficiale non uniforme , dove e’ la

7

distanza dall’asse dell’anello e con costante nota

7 > 0.

positiva L’anello ruota con velocita’ angolare

9 = 95 5 > 0).

nota attorno all’asse (9

2.1 Calcolare la carica totale dell’anello ℎ

2.1 Calcolare il campo magnetico in un punto P sull’asse z a distanza dal piano in cui si trova l’anello. 1

ATTENZIONE : LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO TUTTI I PASSAGGI LOGICI

ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE.

RISPOSTE SENZA ADEGUATA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 3 (12) ; ℓ

Una sbarretta metallica di massa e lunghezza puo’

scivolare senza attrito su due rotaie conduttrici, fissate in

un piano verticale e collegate ad una batteria di fem

=

costante come mostrato in figura. Il circuito cosi’

> !

composto, di resistenza totale ed autoinduttanza

trascurabile, e’ immerso in un campo magnetico uniforme

? = ?5

e costante ortogonale al piano del circuito ed !

uscente dal foglio, ed e’ presente la forza peso (vedi "

figura). @ = 0 A = 0

All’istante la sbarretta e’ ferma in una certa

>

B

posizione iniziale (indicata con rispetto al sistema di assi indicati in figura) ed in quell’istante viene

>

chiuso il circuito sulla batteria. C(A)

3.1 Esprimere la corrente nel circuito in funzione della velocita’ della sbarretta e calcolare la corrente

C

all’istante iniziale, , indicando come positiva la corrente che gira in verso antiorario come mostrato in

>

figura.

3.2 Scrivere l’equazione di moto della sbarretta e determinare il valore minimo del campo magnetico

? necessario affinche’ la sbarretta inizi a salire.

EFG ? > ?

Supponiamo che il campo magnetico sia e che la sbarretta inizi a salire.

EFG

3.3 Utilizzando le equazioni trovate al punto 1 e 2 verificare che la sbarretta raggiunge asintoticamente una

N

A A @ = A [1 − exp − ]

velocita’ di regime con legge oraria del tipo: calcolando la velocita’ di regime

2 2 O

A Q

e la costante tempo .

2 2

FISICA GENERALE II – Ingegneria Meccanica – 8/6/2016

ATTENZIONE : LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO TUTTI I PASSAGGI LOGICI

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RISPOSTE SENZA ADEGUATA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 1 (12) ! ℎ ≫ !)

Si consideri un cilindro, di raggio ed altezza (ℎ di materiale

%,

dielettrico, con costante dielettrica relativa caricato con una

,

& * ,

=

densita’ di carica per unita’ volume non uniforme per

'() *

* < ! , con A costante positiva.

1.1 Utilizzando le coordinate cilindriche si calcolino i campi

/ *, 1, 2 3 *, 1, 2 4 *, 1, 2

, e in tutto lo spazio, facendo un

grafico delle componenti non nulle di tali campi. 5 (!)

1.2 Calcolare la densita’ di carica di polarizzazione sulla

67'

superficie del cilindro dielettrico. & *

1.3 Calcolare la densita’ di carica di polarizzazione di volume del cilindro dielettrico. Per questa

67'

9

risposta puo’ essere utile ricordare che la divergenza di un vettore in coordinate cilindriche si scrive

>(9 )

1 >(*9 ) 1 >(9 )

1

* 2

:;< 9 = + +

* >* * >1 >2

Esercizio 2 (8) ,

Un oggetto conduttore di forma arbitraria e non nota

@

viene caricato con una carica .

A

L’oggetto A viene poi immerso istantaneamente in un

&,

liquido debolmente conduttore con resistivita’ nota e

costante dielettrica relativa uguale a quella del vuoto, ed

esso si scarica completamente attraverso il liquido, verso le

pareti del recipiente in cui e’ immerso che sono collegate a

massa (riferimento del potenziale). @ B

2.1 Calcolare come evolve nel tempo la carica sul conduttore A, e dimostrare che la risposta e’

compatibile con l’equazione di continuita’.

2.2 Supponendo di conoscere l’energia dissipata per effetto Joule nel liquido conduttore durante la scarica

∆/

del corpo A, detta , si calcoli la capacita’ del conduttore A.

D7E'F 1

ATTENZIONE : LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO TUTTI I PASSAGGI LOGICI

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CONSIDERAZIONE.

Esercizio 3 (12) G

Un solenoide ideale, molto lungo, di raggio e densita’ di spire

H,

per unita’ di lunghezza e’ attraversato da una corrente variabile

I B = I sin (NB).

J

Il solenoide si trova all’interno di un cilindro di un materiale

5, !,

conduttore, di conducibilita’ nota con raggio interno spessore

O, ℎ

ed altezza pari a quella del solenoide.

Si trascurino gli effetti al bordo considerando solenoide e cilindro

ℎ ≫ !, G

conduttore esterno con

3.1 Calcolare la densita’ di corrente per unita’ di superficie nel

P = P * Q

cilindro conduttore , dovuta alla variazione del solo campo generato dal solenoide, e

R

trascurando quindi gli effetti di autoinduzione del cilindro conduttore su se stesso, specificando

P

chiaramente la direzione del vettore in coordinate cilindriche.

I

3.2 Calcolare la corrente che scorre nel cilindro conduttore.

S T

3.3 Si calcoli il coefficiente di autoinduzione del cilindro conduttore, assumendo per il calcolo che lo

O T

spessore del cilindro sia trascurabile. Suggerimento: si sfrutti la relazione tra e l’energia magnetica

immagazzinata nel campo magnetico generato dalla corrente del conduttore. 2

b + b b

b b

b

FISICA GENERALE II – Ingegneria Meccanica, Ing. dell’Energia e Civile– 29/6/2016

ATTENZIONE : LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO TUTTI I PASSAGGI LOGICI

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RISPOSTE SENZA ADEGUATA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 1 (10) !

Una lastra piana isolante, di spessore e molto estesa,

"

e’ posta come in figura nel piano ortogonale all’asse .

L’isolante occupa lo spazion tra i piani di coordinate

&

" = 0 " = ! = 1,

ed , ha costante dielettrica relativa

ed e’ caricato in modo uniforme con densità di carica

( > 0

per unità di volume nota. *,

Due lastre piane conduttrici sottili, con spessore

sono poste vicino alla lastra isolante e parallele ad essa,

" = 0

ed occupano rispettivamente i piani , lastra 1, ed

" = 2!, lastra 2. Le due lastre conduttrici sono

collegate a massa (potenziale nullo). Nel seguito si possono considerare le tre lastre come piani infiniti.

,

Con la configurazione data si puo’ affermare che il campo elettrico risulta nullo nelle regioni di spazio

- < / - > 01

ed . 2 2

1.1 (2) Indicando con ed le densità di carica per unità di superficie delle due lastre conduttrici, non

3 4 5 0 < " < 2!.

note, calcolare il campo elettrico totale presente nella regione compresa tra

2 2

1.2 (6) Calcolare le densità di carica per unita’ di superficie ed sulle due lastre conduttrici e

3 4 2 2 2 2

specificare come la carica si suddivide sulle due facce di ogni lastra: ,

3,89:; 3,<=>?; 4,89:; 4,<=>?;

5 (")

1.3 (2) Utilizzando i risultati ottenuti nei punti 1.1 ed 1.2 fare un grafico della componente del

@

campo elettrico in funzione della coordinata x. Esistono punti in cui il campo elettrico e’ nullo nella

0 < " < 2!?

regione 1

ATTENZIONE : LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO TUTTI I PASSAGGI LOGICI

ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE.

RISPOSTE SENZA ADEGUATA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 2 (12)

Un fascio di particelle cariche, viaggia con velocità

C = CD , lungo l’asse mostrato in figura, all'interno di

E = F

una regione di forma cilindrica con raggio . Le

G

particelle hanno carica nota. Il fascio e’ omogeno,

( H

quindi con densità di carica per unità di volume uniforme (( e’ incognita) ed ha corrente totale nota.

(

2.1 (2) Calcolare la densità di carica per unità di volume del fascio.

5 I

2.2 (6) Calcolare il campo elettrico ed il campo magnetico , prodotti dalle particelle del fascio in ogni

punto dello spazio, indicando chiaramente le loro componenti in coordinate cilidriche.

J E

2.3 (4) Calcolare la forza che si esercita su ogni particella del fascio posta ad una distanza dall'asse z,

specificandone in modo chiaro direzione e verso.

Eser