Fisica II - Prove d'esame (con soluzioni) - 2015

ATTENZIONE: LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO CHIARAMENTE LO

SVOLGIMENTO ED I PASSAGGI LOGICI ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE.

RISPOSTE SENZA ALCUNA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE. *+, *1

! = 8.85 ∙ 10 . = 40 ∙ 10

F/m Tm/A

Costanti fisiche utili: " "

Esercizio 1

Si considerino due superfici conduttrici sferiche concentriche, di

2 e 4

spessore trascurabile, rispettivamente di raggi che siano state

5 = +5 5 = −5.

caricate con cariche opposte e

6 8

< ; < 4)

Il volume tra le due sfere (2 e’ riempito in parti uguali con 2

! !

mezzi dielettrici, con costanti dielettriche relative ed , con la

+ ,

superficie di interfaccia tra i due mezzi parallela ad un piano

equatoriale delle sfere (vedi figura).

= ?

1.1 Calcolare i campi elettrici , i campi ed i vettori

+,, +,,

@ 2 ≤ ; ≤ 4

polarizzazione nelle due regioni di spazio riempite con i due dielettrici, per , esprimendo

+,, 5, ;

il risultato in funzione della carica della distanza dal centro delle sfere, e delle costanti dielettriche

relative ed assoluta. B B

1.2 Calcolare le densita’ di carica libera e sulle due meta’ del guscio conduttore sferico di raggio

+,CD8 ,,CD8

2 B B ; = 2.

e le corrispondenti densita’ di cariche di polarizzazione e nei due dielettrici in

+,EFC ,,EFC

Supponiamo ora che il mezzo 2 , precendentemente supposto isolante, diventi improvvisamente, all’istante

G

t=0, debolmente conduttore (grazie ad un artificio) con resistivita’ e mantenendo la stessa costante

,

!

dielettrica .

, H

1.3 Calcolare la corrente totale che attraversa all’istante iniziale la regione riempita con il mezzo 2,

" 5, G , ! , ! !

debolmente conduttore, esprimendo il risultato in funzione dei parametri ; calcolarne il suo

, " +, ,

H I

andamento nel tempo negli istanti successivi. Suggerimento: per valutare l’evoluzione della

corrente nel tempo si consideri il circuito equivalente al sistema descritto.

1.4 Calcolare l’energia termica dissipata per effetto Joule da quando il mezzo 2 diventa conduttore a quando

viene raggiunta la nuova condizione di equilibrio. 1

ATTENZIONE: LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO CHIARAMENTE LO

SVOLGIMENTO ED I PASSAGGI LOGICI ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE.

RISPOSTE SENZA ALCUNA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE.

Esercizio 2

Si consideri il circuito mostrato in figura, composto dalle guide

conduttrici parallele all’asse x, una sbarretta mobile parallela

all’asse y, massa m e lunghezza h, una resistenza totale R ed un

condensatore di capacita’ C. Il circuito giace sul piano xy,

nella posizione mostrata in figura ed e’ immerso in un campo

magnetico uniforme diretto ortogonalmente al piano del foglio

in verso entrante (lungo –z), presente nel semipiano x>0, come

mostrato in figura.

Inizialmente il condensatore e’ scarico e la corrente I del circuito e’ nulla. La sbarretta mobile viene

J = JK

successivamente mossa da un operatore con velocita’ costante sui due binari privi di attrito. Si

trascuri l’autoinduttanza del circuito. 5 H

I I

3.1 Calcolare l’andamento nel tempo della carica del condensatore , della corrente che circola

nella sbarretta mobile, indicando chiaramente il suo verso di percorrenza ed il valore asintotico della

L

tensione ai capi del condensatore .

M2K

N I

3.2 La forza in funzione del tempo che l’operatore deve esercitare sulla sbarretta affinche’ il moto sia

OP

quello descritto, indicandone chiaramente direzione e verso.

3.3 Calcolare il lavoro fatto dall’operatore e l’energia dissipata per effetto Joule nell’intervallo di tempo

∆I → ∞ 2

Soluzioni COMPITO FISICA GENERALE II – Ing. dell’Energia e Biomedica – 4/02/2015

Soluzione Esercizio 1

1.1 (5) Dalla simmetria sferica del problema si puo’ dedurre che il campo elettrico e’ radiale e dipende solo dalla

= = = ; ;.

distanza r dal centro Poiche’ la componente del campo E parallela alla superficie di interfaccia tra 2

=

dielettrici e’ continua (campo E conservativo), ed e’ parallelo alla superficie di interfaccia tra I due dielettrici si

= (;) = = (;) = =(;).

deduce che il campo nei due mezzi dielettrici e’ lo stesso: (1)

+ ,

Poiche’ I due mezzi dielettrici si polarizzano sulle superfici r=a e r=b, con cariche di polarizzazione diverse nei due

5 5

mezzi, questo indica che la carica libera sulle due meta’ delle sfere conduttrici corrispondenti ai due mezzi, e

+ ,

5 + 5 = 5

non e’ la stessa, ma (2).

+ ,

=, ?, @

Data la relazione tra i campi in mezzi dielettrici omogeni ed isotropi possiamo scrivere per le componenti

radiali di tali campi le relazioni:

? = ! ! = ? = ! ! = @ = ! (! − 1)= @ = ! (! − 1)= 2 ≤ ; ≤ 4

e (2) e (3) , valide per ogni r ed

+ " + , " , + " + , " +

osservando che D e P non sono gli stessi nei due mezzi dielettrici, ma sono uniformi sulle due meta’ delle superfici

sferiche concentriche al sistema e di raggio r. 2 ≤ ; ≤ 4

Dal teorema di Gauss applicato al vettore D su una sfera di raggio r generico con , si ottiene:

5

, , ,

? ∙ UV = 5 ? 20; + ? 20; = ! =(! + ! )20; = 5 = ; =

à à (4)

CD8,DWX + , " + , 2

20! (! +! );

0 2

1

Usando le relazioni (2) e (3) si ottengono i campi D e P nei 2 mezzi dielettrici:

! 5 ! 5

1 2

? ; = ! ! = ; = ? ; = ! ! = ; = , (5)

+ " + , " ,

2 2

20(! +! ); 20(! +! );

2 2

1 1

5(! −1) 5(! −1)

1 2

@ ; = ! (! − 1)= ; = @ ; = ! (! − 1)= ; = (6)

+ " + , " ,

2 2

20(! +! ); 20(! +! );

2 2

1 1

1.2 (4) Conoscendo i campi D e P dalle eq. (5) e (6) si possono calcolare le cariche libere e di polarizzazione sulla

superficie di raggio r=a, in corrispondenza dei due dielettrici, applicando il teorema di Gauss per I campi D e P su un

UV

cilindretto posizionato con asse in direzione radiale, con basi di area infinitesima poste nelle immediate vicinanze

Z

; < 2 ; = 2

della superficie di raggio a: una base posta in dove i campi sono nulli, ed una in , appena oltre tale

superficie. Su tale cilindretto posto in zona 1 (o analogamente in zona 2) si ha:

5 ! 5 !

1 2

? ∙ UV = 5 ? 2 UV = B UV B = B =

à à e (7)

CD8,DWX + +,CD8 +,CD8 ,,CD8

2 2

202 (! +! ) 202 (! +! )

2 2

1 1

@ ∙ UV = −5 @ 2 UV = −B UV

à

EFC,DWX + +,EFC

5 ! −1 ! −1 5 ! −1 ! −1

=− =−

1 1 2 2

B = − B B = − B

à e (8)

+,EFC +,CD8 ,,EFC ,,CD8

2 2

202 (! +! ) ! 202 (! +! ) !

2 1 2 2

1 1

Alternativamente si poteva arrivare alle stesse relazioni sulle densita’ di cariche libere (7) considerando il sistema

[ = ! [ /2 [ = ! [ /2

come composto da due condensatori in parallelo e con la capacita’ del condensatore

+ + " , , "

68 ] ] _ a

^ ` ^ ^

[ = ! 40 = = 5 = 5

à5

sferico nel vuoto . Poiche’ sono in parallelo si ha: (9) e conoscendo la

" " + , ,

8*6 _ _ _ a

^ ` ` ` a ^

5 = 5 + 5 5 = 5 5 =

carica totale sui due condensatori (10), si puo’ risolvere il sistema ottenendo e

+ , + ,

(a Za )

^ `

a `

5 che divise per l’area delle due semisfere danno le relazioni (7).

(a Za )

^ `

1.3 (5) In un generico istante la corrente che attraversa la regione riempita con il mezzo 2 debolmente conduttore e’

quella che esce dalla superficie di meta’ sfera di raggio r affacciata al mezzo 2:

+

, ,

H(I) = b ∙ UV = b ; 20; = = ; 20; (9) ed utilizzando l’espressione

^ cdef6 g

` 5 1 5(I)

+ ,

H(I) = 20; =

del campo E trovata in eq (4) si ha: (10)

2 G ! (! +! )

20! (! +! );

g 0 2

0 2 1

1 ; = 2

che da’ la corrente in funzione della carica totale Q(t) sul guscio in un generico

5

istante. Inizialmente la carica e’ quella indicata dal testo; poiche’ nel mezzo 2

H,

debolmente conduttore scorre corrente dal guscio a al guscio b, la carica sul guscio

h]

H = −

a si riduce nel tempo e vale la relazione (11). Il circuito equivalente a

hX i

quello del problema e’ mostrato in figura con la resistenza equivalente alla

,

semisfera riempita dal mezzo 2 , in parallelo alle due capacita’ delle due semisfere, ulteriormente riducibile ad una

! [ ! [ 68

+

1 0 2 0

[ = [ + [ = = 20 ! (! + ! )

singola capacita’, parallelo delle due: (12)

+ , " + ,

2 2 8*6

1 5 L 1 [L

= = à

H = i [ =

La resistenza della semisfera 2 e’ calcolabile dalla eq. (10): ,

G ! (! +! ) i G ! (! +! )

0 2 2 0 2

1 1

G 4−2

G! (! + ! ) i =

à (14)

(13)

" + , , 20 24 3

] h] h] +

−Hi + = 0 H = − =− 5

à

L’equazione del circuito e’ con che ha come soluzione

, _ hX hX j _

`

X X

5 I = 5 exp − = 5exp (− ) n = i [ = G! (! + ! )

con (15)

DWD , " + ,

m m

h] + X

H I = − = 5 exp (− )

La corrente (16)

hX ga (a Za ) m

o ^ `

1.4 (4) Dal bilancio energetico del circuito l’energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza e’ uguale alla

2

` 5

+ ]

∆= = ∆r = =

variazione di energia immagazzinata nel condensatore: (17)

pFqCe 24

, _ 40 ! (! +! )

0 2

1

4−2

Soluzione esercizio 2

2.1 (4) Mentre la sbarretta si muove cambia il flusso del campo B attraverso la superficie del circuito e si genera una

hu v

stM = −

fem indotta: (1). Definito positivo il verso di percorrenza della corrente in verso antiorario (come ci

DWh hX

si aspetta che circoli la corrente, vista la direzione della velocita’ della sbarretta mobile e del campo B) si calcola il

hu v

Φ = y ∙ V = −yℎK(I) stM = − = yℎJ

flusso: (2) e (3) . La fem indotta e’ costante, v costante, e positiva

x DWh hX ] h]

stM − − iH = 0 H =

come ci si aspettava. L’equazione del circuito e’ (4) con , dove Q indica la carica

DWh _ hX

sull’armatura a sinistra nel disegno che si carica, quando la corrente e’ positiva.

] h]

stM − −i = 0

La soluzione dell’eq. differenziale (5) e’ quella di carica di un condensatore con una fem

DWh _ hX X

5 I = [yℎJ 1 − exp − n = i[

costante, in un circuito RC. La soluzione e’ con (6) . La carica m