Fisica II - Prove d'esame (con soluzioni) - 2014

RISPOSTE SENZA ALCUNA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE. *+, *1

! = 8.85 ∙ 10 . = 40 ∙ 10

F/m Tm/A

Costanti fisiche utili: " "

Esercizio 1 (14) Q

x 2d

= 3

Si consideri il sistema di conduttori a facce piane e parallele mostrato in Q

x 0

= 2

2

figura. Le tre lastre sono quadrate di lato molto grande rispetto alle Q

x = !d 1

3 = −5, 3 = 0

distanze tra le lastre. Le tre lastre, poste in coordinata e

+ ,

3 = +25 (asse x rivolto verso l’alto) sono caricate inizialmente con cariche

6 39 9

9 = − 9 = +29 9 = − > 0)

, (9

+," ,," 6,"

2 2

>(3)

1.1(2) Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio e farne il grafico della sua componente x.

@ *

3 = 0 3 = 0 .

1.2(2) Calcolare la carica presente sulle due facce della lastra 2, in e

, ,

Successivamente si collegano le lastre 1 e 3 con un filo conduttore di resistenza trascurabile e viene

raggiunto in un tempo trascurabile l’equilibrio elettrostatico. 9 9

1.3(4) Calcolare all’equilibrio elettrostatico la carica presente sulle lastre 1 e 3, e , ed il potenziale

+ 6

A A , (A = 0).

delle 2 lastre, e rispetto alla lastra 2, fissata come riferimento

+ 6 ,

1.4(6) Mantenendo il filo conduttore sempre collegato tra le lastre 1 e 3, un operatore inizia a spostare la

B = +B3

lastra 3, con velocita’ costante, allontanandola dalla lastra 2. Calcolare la carica che si trova sulla

9 3 3 C 3, B

lastra 3, , in funzione della sua posizione e la potenza esercitata dall’operatore , , in

6 DE

funzione della posizione e della velocita’ della lastra 3. Si commenti esplicitamente il segno di tale potenza

motivando opportunamente la risposta. Suggerimento:si puo’ assumere che durante il movimento della lastra 3,

le lastre 1 e 3 siano in equilibrio elettrostatico in ogni istante, poiche’ la resistenza del filo e’ trascurabile e

l’intervallo di tempo in cui viene raggiunto l’equilibrio e’ quindi trascurabile

Esercizio 2 (6) !

V = +V V 0

=

Per separare due isotopi (atomi dello stesso elemento chimico, con la E

stessa carica nel nucleo, ma con massa diversa) si utilizza l’apparato y 0

=

q, m

1

q, m ! !

2

mostrato schematicamente in figura. Il fascio di particelle cariche e’ x

B x 0

>

F

composto dagli ioni dei due isotopi con la stessa carica positiva e masse y d

= Fenditura*di*uscita*

1

G G

ed . Inizialmente gli ioni hanno velocita’ trascurabile, vengono

+ , y d L

= +

1

A,

accelerati facendoli passare attraverso una differenza di potenziale ed !

y

H,

entrano in una zona di campo magnetico uniforme uscente dal foglio,

3 > 0. 3, I = (0,0)

presente nel semispazio Sia il punto di entrata del fascio . 1

Per separare i due isotopi, nella lamina che delimita la regione con campo magnetico, viene praticata una

I = 5

fenditura, a distanza opportuna dal punto d’ingresso del fascio di ioni, in , in modo da far uscire

+

G .

dalla fenditura solo gli isotopi di massa Si trascuri l’effetto della gravita’.

+

Attenzione: la velocita’ dei due isotopi all’ingresso della regione con campo magnetico NON e’ la stessa!

5

2.1 (2) Calcolare quanto deve valere tale distanza .

+

2.2 (4) Calcolare quale deve essere la larghezza massima L di tale fenditura, al di sotto del punto

I = 5 G > G , G

in modo che il fascio di uscita non contenga gli isotopi di massa .

+ , + ,

Esercizio 3 (14)

Si consideri il sistema mostrato in figura, composto da una spiretta z

5,

circolare conduttrice di raggio resistenza R ed autoinduttanza L, R d

collegata ad generatore di corrente che ne fa variare la corrente con L ε

J = LM.

legge La spiretta si trova sull’asse z ad un’altezza h rispetto Ι

K h

N,

al centro di una spira isolante circolare, con raggio caricata

9

uniformemente con carica positiva, e mantenuta in moto da un c

O 5 ≪ N, ℎ

operatore a velocita’ angolare costante . Nell’ipotesi si

puo’ considerare che il campo magnetico prodotto dalla spira c sul suo Q

asse sia praticamente uniforme sulla superficie della spiretta d.

3.1 (4) Calcolare il campo elettrico indotto nei punti della spira isolante c, dovuto alla variazione di

corrente nella spiretta d. Suggerimento: si sfrutti l’uguaglianza tra i coefficienti di mutua induzione tra due

circuiti per esprimere il flusso del campo magnetico prodotto dalla spiretta d attraverso la superficie

delimitata dalla spira c.

3.2 (4) Calcolare la potenza erogata dall’operatore per mantenere in moto a velocita’ angolare costante la

spira isolante c.

3.3 (2) Calcolare la potenza erogata dalla fem del generatore di corrente della spiretta d.

3.4 (4) Ricavare l’equazione in potenza che esprime bilancio energetico globale del sistema, motivando

opportunamente la risposta. 2

Soluzioni COMPITO FISICA GENERALE II – Ing. dell’Energia – 24/2/2014

Soluzione Esercizio 1

1.1 (2) Il campo elettrico generato dalle lastre cariche affaciate, con simmetria piana, e’ ortogonale alle lastre, diretto

lungo l’asse x, ed e’ la somma dei campi generati dalle 3 lastre. Il campo elettrico generato da ogni singola lastra e’

uniforme nelle varie regioni di spazio e subisce una discontinuita’, cambiando verso, attraversando le superfici

cariche della lastra stessa. Dal principio di sovrapposizione componente sull’asse x del campo, unica non nulla, si

esprime in funzione delle cariche delle 3 lastre piane nelle varie regioni nel modo seguente:

R @R @R R @R @R

S T U S T U

> 3 = = 0 3 > 25, > 3 = − = 0 3 < −5

per e per (1)

,V X ,V X

W W

Si noti che il campo e’ nullo in queste regioni perche’ la carica totale delle 3 lastre ha somma nulla. Nelle due regioni

tra le lastre, indicate nel segiuto con zona 12 e zona 23, si ha:

R @R *R (R @R @R )*,R R R R

S T U S T U U U U

> 3 = = =− 0 < 3 < 25 > 3 = − =

à

per (2)

Z,6 Z,6

,V X ,V X V X V X ,V X

W W W W W

R *R *R ,R @(*R *R *R ) R R 6R

S T U S S T U S S

> 3 = = =+ −5 < 3 < 0 > 3 = + =−

à

per (3)

Z+, Z+,

,V X ,V X V X V X ,V X

W W W W W

Si noti che il campo nelle 2 regioni fra le lastre 3 e 2 e 2 ed 1 e’ stato riscritto nella forma (2) e (3) sfruttando il fatto

che la somma delle cariche delle 3 lastre e’ nulla.

1.2 (2) Noto il campo in tutto lo spazio, e sapendo che il campo all’interno del conduttore 2 e’ nullo come pure nelle

regioni per x>2d, si puo’ ricavare la carica sulla superficie superiore del conduttore 2 applicando il teorema di gauss

su un cilindro con asse ortogonale alle lastre e con superfici di base nel conduttore 2 e nella regione con campo nullo

3 > 25. In tal modo, poiche’ il flusso del campo elettrico attraverso tali basi e’ nullo, e la carica contenuta in tale

9 = 9 + 9

cilindro vale e deve essere uguale al flusso del campo elettrico sul cilindro, che e’

[\],^[_ `abcc 6 ,,"@

9 = −9 9 = −9

(4) (5)

nullo, si ricava: ed analogamente sulla superficie inferior della lastra 2 si ha

,,"@ 6 ,,"* +

Le relazioni (4, 5) valgono anche nel resto del problema, perche’ le condizioni in cui sono state ricavata continuano a

9 = −9 = +9/2 9 = +39/2

e (6)

valere anche successivamente. Inizialmente quindi si ha ,,"@ 6 ,,"*

1.3 (4) All’equilibrio elettrostatico il potenziale delle due lastre conduttrici collegate, 1 e 3, e’ lo stesso , inoltre la

A = A 9 + 9 = −29

(6) e (7)

somma della loro carica e’ costante, per la conservazione della carica: 6 + 6 +

Il potenziale delle due lastre 1 e 3 rispetto al riferimento fissato sulla lastra 2 (x=0), vale:

e[fg" e[fg" R R ! k

S S

A = A 3 = −5 = >(3) 53 = 53 = −(−5) 5= 0

> 3 > 3 = j =

(8) con

+ +

h12 h12

*K *K 5

V X i

W S

e[fg" e[fg" R R V X

U U W

A = A 3 = 25 = >(3) 53 = 53 = −(25 = 25 = j =

> 3 )> 3 (9) con

6 6

h23 h23

,K ,K V X i ,K

W U

j j .

Il potenziale sulle due lastre e’ stato riscritto usando le capacita’ di condensatori piani e Si nota infatti che il

+ 6

sistema delle 3 lastre cosi’ collegate e’ equivalente a 2 condensatori piani: il condensatore piano formato dalla lastra

3 e dalla superficie superiore della lastra 2 (hanno cariche uguali ed opposte come mostrato dall’eq. 4) ed il

condensatore piano formato dalla lastra 1 e dalla superficie inferiore della lastra 2 (hanno cariche uguali ed opposte

come mostrato dall’eq. 5). La differenza di potenziale ai capi del condensatore si puo’ quindi esprimere nella forma

finale data dalle eq. 8 e 9. A = A

Raggiunto l’equilibrio elettrostatico con i due condensatori risultano in parallelo poiche’ la lastra 1 e 3

6 +

sono collegate dal filo conduttore, all’equilibrio sono allo stesso potenziale, ed ovviamente le due superfici della

lastra 2 sono allo stesso potenziale.

R R R i

S U S S

= = = 2 9 + 9 = −29

à

Risolvendo il sistema delle eq. (10) e (11) si ottengono le soluzioni:

6 +

i i R i

S U U U

49 29 49

=

9 = − 9 =− A = A − 5

e (12)

+ 6 6 +

3 3 3! k

0

1.4 (6) Mentre l’operatore sposta la lastra 3, i due condensatori sono sempre in parallelo (si mantiene l’equilibrio

elettrostatico istantaneamente se la resistenza del filo e’ trascurabile) e si conserva inoltre la carica totale

immagazzinata sulle lastre 1 e 3. La capacita’ del condensatore 3 cambia in funzione della coordinata x della lastra 3

V X

W

j (3) = (13). La carica sui due condensatori si ottiene quindi dalle due eq. 10 e 11 riscritte come

6 l 3

R i

S S

= = 9 + 9 = −29

(14) e (11) ottenendo per la cariche:

6 +

5

R i (l)

U U 5 5 3

9 (3) = −29 9 3 = −29 + 29 = −29

e (15).

6 +

3+5 3+5 3+5 3

L’operatore per spostare la lastra 3 a velocita’ costante esercita una forza uguale e opposta a quella del campo

2

+ + −9 9

1

m = −m = − 9 > 3 = 3 = − 9 3 3

3= 3

elettrico sulla lastra 3. (16) ottenuta sostituendo il

no p,R6 6 6 6

, , ! k 2 ! k

0 0

campo sulla lastra 3, dato dall’equazione (2) in funzione della carica sulla lastra. Tale forza e’ diretta verso l’alto

poiche’ la forza del campo elettrico attira la lastra carica verso l’interno del condensatore (verso il basso).

2 2

9

1 1 B 5