Fisica II - Prove d'esame (con soluzioni) - 2013

ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE. RISPOSTE SENZA ALCUNA

GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN CONSIDERAZIONE.

12 7

− −

8

.

85 10 F / m 4 10 Tm / A

ε µ π

Costanti fisiche utili: = ⋅ = ⋅

0 0

Esercizio 1 (16)

Il sistema di cariche mostrato in figura e’ costituito da una carica conduttore!

= 2,

puntiforme centrale un guscio sferico conduttore con carica

N

= 0.5 < < 2

, posto nella regione con , un guscio sferico

Y conduttore!

a!

= 2,

scarico di materiale isolante con costante dielettrica relativa Q 2a

!

0

2 < < 3,

posto nella regione con ed un terzo guscio sferico, Q

ε" 1 V

3

= 50, 3a

!

conduttore, che si trova ad un potenziale posto nella

A

3 < < 4. = 20 .

regione con Sia 4a

!

1.1 (3) Calcolare la carica del terzo guscio conduttore.

A

1.2 (5) Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio, la carica libera che si distribuisce sulle superfici

, 2, 3, 4

conduttrici a raggi e le cariche di polarizzazione sulle superfici del dielettrico a raggi

2 3.

Ad un certo istante la connessione verso il potenziale del terzo guscio conduttore viene rimossa ed

A = 10Ω .

istantaneamente vengono collegati i due gusci conduttori attraverso un filo di resistenza

1.3 (4) Calcolare, una volta raggiunta la nuova condizione di equilibrio, le nuove cariche dei due

, 2, 3, 4.

conduttori e e come si distribuiscono le cariche sulle varie superfici a raggi

Y,• A,•

1.4 (4) Calcolare l’energia dissipata dal momento in cui si collega il filo tra i due conduttori a quando

viene raggiunta la nuova condizione di equilibrio.

%L! 2#$,7&&(")($,0($,+&,7*#$"(*$,+&,.+)7$+"$B."1+7"($-(**#$:(*7,+)M$#"/7*#&(N$

,L! 2#$B7&1#$'#/"()+,#$8.$-+$."$)&#))7$-O$-(**#$%#&&#N$

-L! =*$'7'(")7$&(8+8)(")($-7:.)7$#**#$B7&1#$'#/"()+,#$8.**#$%#&&#N$

(L! 2#$:(*7,+)M$*+'+)($&#//+.")#$-#**#$%#&&#$($*#$,7&&(")($'#88+'#$7))("+%+*(;$

BL! 2#$<7)("1#$"(,(88#&+#$<(&$'#")("(&($+"$'7)7$*#$%#&&#$+"$,7"-+1+7"+$8)#1+7"#&+(;$

$ !

!

P $A'QCR$

"#

$

Esercizio 2 (16) $

Il circuito mostrato in figura e’ costituito da una Vista dall’alto

!

= 20

sbarra conduttrice di lunghezza !

L,i B

incernierata con un suo estremo O, su un’asta * !"

verticale conduttrice. La sbarra conduttrice, di massa R

Y ()* +

>

= 0.05 =

e momento di inerzia , e’

A $

libera di ruotare senza attriti su un anello conduttore

$ = 5Ω

S7*.1+7"(K$

collegato tramite una resistenza all’asta

$ = 0.5

verticale. Il sistema e’ immerso in un campo magnetico uniforme diretto perpendicolarmente

2#$ -+BB(&("1#$ -+$ <7)("1+#*($ )&#$ /*+$ (8)&('+$ -(**#$ %#&&#$ 8+$ <.T$ ,#*,7*#&($ 8+#$

,7"8+-(&#"-7$ *#$ B7&1#$ -+$ 27&(")1$ ,0($ )&#'+)($ +*$ ,7",())7$ -+$ B*.887$ )#/*+#)7;$ C-$ ."#$

alla sbarra verso l’alto, come indicato in figura.

-+8)#"1#$O$-#*$<.")7$-+$:+",7*7$8.**9#8)#$:(&)+,#*($($<(&$."$)&#))7$-O$8+$)&7:#K$

,

Dall’istante t=0 alla sbarra viene applicato un momento torcente diretto parallelo al campo di modulo

$ - , $# ,' %+ ()* %& '%$ $#%$

= 0.04

costante, che mette in rotazione la sbarra in verso antiorario, verso concorde con secondo

"

#L $$

" %

"

& $#%$ #

la vista dall’alto mostrata in figura. La sbarra si trova inizialmente ferma nella posizione che forma un

%

#

= 0 %

' &

% # % " "

angolo rispetto alla resistenza. Si consideri trascurabile l’autoinduttanza del circuito.

%L $

' &

& # "% #

% %

%. %.

2.1 (3) Si calcoli la corrente indotta nella sbarra (definita positiva come in figura) in funzione della

velocita’ angolare della sbarra. Y >

=

Si noti che l’area di un settore circolare di raggio r e angolo vale >

2.2 (4) Si calcoli la forza magnetica su un tratto elementare della sbarra ed il momento totale della

forza magnetica , rispetto al polo O, indicando chiaramente direzione e verso di tali vettori.

|

2.3 (4) Si calcoli la velocita’ angolare limite raggiunta dalla sbarra e la corrente massima che

• €7s

scorre nel circuito.

2.4 (5) In queste condizioni di velocita’ angolare costante si calcoli la potenza erogata per mantenere

•

la sbarra in questa condizione di moto.

ATTENZIONE: LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO I PASSAGGI LOGICI

ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE. RISPOSTE SENZA ALCUNA

GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN CONSIDERAZIONE.

Soluzioni COMPITO FISICA GENERALE II – Ing. Elettrica ed Energetica - 4/02/2013

Soluzione Esercizio 1

1.1 La distribuzione ha simmetria sferica ed il campo elettrico e’ radiale ed uniforme su sfere

concentriche alla distribuzione carica.

Applicando il teorema di Gauss su una sfera di raggio r, e considerando la carica totale contenuta in

hjk

– —˜™

=

tale sfera, si ottiene (1)

„

n=ℇ `

ˆ

Indicando con la carica incognita del conduttore collegato al potenziale noto , si calcola il campo

A A

> 4,

elettrico nella regione esterna alle sfere, usando l’eq. (1) e considerando la carica totale

= + +

contenuta in tale sfera .

hjk N Y A > 4)

Il potenziale rispetto all’infinito di un punto a distanza r dal centro (con si ricava dall’eq. (1) e

– ›– ›–

ˆ œ •

=

vale quindi n=ℇ `

ˆ + +

0 1 3

= 4) = = 16ℇ − − = 1.95

à

Il potenziale della sfera 3 ( e’ fissato: A A N A N Y

4ℇ 4

0

1.2 Applicando il teorema di Gauss a sfere di raggio r nelle varie regioni si ottiene:

0

< =

per : 2

4ℇ

0

< < 2

per siamo nel conduttore ed il campo e’ nullo. Poiche’ la carica in un conduttore

all’equilibrio puo’ trovarsi solo sulle sue superfici, dall’eq 1 applicata su una sfera in questa regione si

+

0

= = 0 =

ricava da cui si estrae il valore della carica sulla superficie del conduttore:

2

4ℇ

0

= − = 2.

7 N = + = + = 2.5

Poiche’ la carica totale del conduttore 1 vale si ricava

Y 7 >7 >7 Y N

2 < < 3 ℇ

per siamo in un dielettrico ed il campo in questa regione e’ ridotto di un fattore rispetto

a quello che si avrebbe nel vuoto a parita’ di cariche libere. Considerando una sfera di Gauss di raggio r in

= +

questa regione, essendo se fossimo nel vuoto, si avrebbe un campo nel vuoto

hjk N Y

+ +

1

0 1 0 1

= =

ed il campo nel dielettrico vale quindi (2)

žŒckc 2 2

4ℇ 4ℇ

0 0

Si puo’ arrivare a tale conclusione anche applicando il teorema di Gauss per il campo D su sfere di raggio

+

– 0 1

—˜™, —¡

∙ = = =

r da cui (3). Poiche’ per un dielettrico omogeneo ed

hjk,ahi „ „

n=` n=`

¢(`)

=

isotropo vale si ottiene la relazione (2).

£ℇ ˆ

Le cariche di polarizzazione si trovano solo sulle superfici del dielettrico a raggio r=2a ed r=3a ed

_ca

hanno somma nulla, perche’ il dielettrico e’ globalmente neutro e nel suo volume non c’e’ carica.

Per calcolare la sulla superficie del dielettrico a r=2a si puo’ applicare

_ca ,>7 ! ! !

! ! ! ! ! ! ! !!

!"#!!!! ! ! !"#!!!!

l’equazione (1) che da’ il valore del campo in r=2a+ (appena all’interno del !

Q conduttori

lib

dielettrico) considerando che contribuiscono al campo E le !Q

– ›– ›– 0

ˆ œ ¤¥ ,„¦

= + + 2 =

:

hjk N Y _ca ,>7 „

n=ℇ n7

ˆ Q Q

+

Questa relazione va poi confronta con il risultato dell’equazione (2) per lo stesso 1 0

– ›– ›– Y – ›–

ˆ œ ¤¥ ,„¦ ˆ œ

2 = =

raggio : da cui si ricava

„ „

n=ℇ n7 £ n=ℇ n7

ˆ ˆ

−1 −1

= − + = − = −1.25 Q

!Q ! Q Q Q

+ +

_ca ,>7 N Y >7,ahi 1 0

3 1 0

= − = 1.25

à

Come gia’ detto il dielettrico e’ neutro _ca ,A7 _ca ,>7

3 < < 4

Per siamo nel conduttore ed il campo e’ nullo.

– › – ›–

ˆ œ •¦

= = 0

Si noti che dall’eq 1 in questa regione si ricava da cui il valore della carica sulla

„

n=ℇ `

ˆ

= − − = −2.5.

superficie r=3a del conduttore e’ Poiche’ la carica totale di questo

A7 N Y

= + = + + = 4.45

conduttore vale si ricava

A A7 n7 n7 A N Y

La distribuzione di cariche sulle superfici e’ riassunta in figura.

1.3 Quando collego il filo conduttore tra il guscio 3 ed il guscio 1 comincia a scorrere corrente se essi si

trovano ad una certa differenza di potenziale. Poiche’ il campo nei conduttori e’ nullo posso scrivere la

2 < < 3

ddp tra i due conduttori come dovuta solo al campo presente nella regione :

+ +

1 1 1 1 1

A7 − =

0 1 0 1

− = = −

ddp = (4)

Y A 4ℇ 3 2 4ℇ