Fisica II - Prove d'esame (con soluzioni) - 2012

GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN CONSIDERAZIONE.

Esercizio 3 (8) = 50

Una spira circolare A di raggio e’ caricata con una

= 3/

densita’ lineare uniforme e ruota con velocita’ angolare

(.

= 300 attorno al proprio asse z come indicato in figura. Ad

Q = 10

una distanza dalla spira e sull’asse della stessa si trova una

= 2 , = 3Ω

seconda spiretta C di raggio con resistenza

collegata ad un generatore di corrente costante che fornisce una

= 2, .

corrente concorde al verso di

l Q

3.1 Calcolare il flusso del campo magnetico B generato dalla spira A attraverso la spiretta C. Si

puo’ assumere che il campo B sia uniforme sulla superficie di C.

= 0

All’istante la spira A viene rallentata fino a fermarsi, con accelerazione angolare costante

(F

= 100 = − .

, secondo la legge oraria Q

3.2 Calcolare la fem del generatore di corrente della spiretta C mentre la spira A viene

rallentata. i

ẑ α

Esercizio 4 (8) β

Due lastre conduttrici piane, quadrate, di lato L, sono attraversate da ŷ

ẑ

una corrente costante diretta lungo l’asse . La lastra di spessore

α,

trascurabile, si trova nel piano x=0 ed e’ percorsa da una corrente

= 0.5/

uniforme di densita’ per unita’ di lunghezza che scorre nel L

= 2 ( ≪ ),

ẑ

verso positivo dell’asse . La lastra di spessore

β, 0 < < ,

e’ parallela alla prima lastra occupando una regione con ed x̂

d

e’ attraversata da una corrente uniforme con densita’ per unita’ di

ẑ

J

superficie che scorre nella direzione dell’asse ma con modulo e verso incogniti.

,

Tra le due lastre c’e’ una piccola intercapedine di spessore trascurabile che ne impedisce il

contatto. J

4.1-Calcolare la densita’ di corrente che deve scorrere nella lastra indicandone il modulo ed il

β,

ẑ

verso rispetto all’asse , in modo tale che il campo magnetico totale, dovuto alle due lastre, sia

x d

>

x 0

nullo nelle regioni e .

< !

B

4.2-Calcolare il campo magnetico totale (modulo direzione e verso) in funzione della coordinata

< < .

x , nella regione di spazio0 Calcolare il valore massimo del modulo del campo

magnetico.

Soluzioni COMPITO FISICA GENERALE II –

Ing. Elettrica ed Energetica - Civile ed Ambientale 21/02/2012

Esercizio 1

1.1- Data la simmetria sferica, il campo elettrico in ogni punto è radiale e il valore della

componente radiale si ottiene applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica di raggio r.

In particolare all’interno della sfera isolante (r<a) il campo elettrico non dipende dalla carica sul

r 2 2

∫

∫ r 4 r dr

dV α π

ρ 3

Q r

α

int 0

E = = = =

conduttore esterno ad essa: 2 2 2

4 r 4 r 4 r 5

πε πε πε ε

0 0 0 0

(1) 3

a

α -1

sostituendo r = a/2 si trova = 1.13 10 V/m (2)

E == 40

ε 0

1.2- In condizioni di equilibrio, il campo elettrico all'interno della sfera conduttrice è nullo.

Applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica contenuta interamente nel conduttore si

ha che la carica interna ad essa deve essere nulla: quindi la carica q presente sulla superficie di

a

raggio a è uguale ed opposta alla carica totale contenuta nella sfera isolante (r<a) cioè:

a 5

4 a

π α -12

2 2 = - 4.02 10 C= - 4.02 pC (3)

q dV r 4 r dr

ρ α π

= − = − = −

∫ ∫

a 5

0

Il campo all'esterno, per il teorema di Gauss è radiale ed ha componente radiale pari a

∫ dV q q

ρ + +

Q q

a b

int b

E = = = (4)

2 2 2

4 r 4 r 4 r

πε πε πε

0 0 0 ∞ q b

Il potenziale V del conduttore rispetto all’infinito è, perciò: V Edr

= =

∫

c c 4 b

πε 0

b

(5) -11

imponendo che il potenziale sia pari a V = 1V si deduce q = 3.34 10 C = 33.4 pC.

c b

Esercizio 2

2.1 In condizioni stazionarie i condensatori sono carichi e su essi non scorre corrente, quindi il

circuito e’ equivalente ad una batteria collegata alle due resistenze connesse in serie. Dalla legge

= = 0.1

di ohm si ricava la corrente erogata dalla batteria: +

1 2

2.2 Applicando la legge della maglia all’anello composto da batteria e si ha:

. .

1

− − = 0 = ( − ) = 20

da cui

. . . .

1 = ( − ) = 40

Analogamente per l’anello composto da batteria e si ricava:

F F F F F

2.3 In condizioni stazionarie, corrente costante, la caduta di potenziale su

W]

un’induttanza e’ nulla. In questo caso poiche’ e’ in parallelo

F

WZ

all’induttanza ed ai suoi capi non c’e’ caduta di potenziale, il circuito e’

equivalente a quello in figura. In condizioni stazionarie si ha quindi:

= = 0.3 = = 120

e F F

1

Esercizio 3

3.1 L’anello carico A in moto rotatorio intorno al proprio asse z corrisponde ad una spira circolare

2

=

= = =

attraversata da una corrente che circola in verso concorde ad :

Q o Q

2/ 0

450.

Essa produce sul suo asse un campo magnetico che ha componente solo diretta lungo l’asse z (per

considerazioni di simmetria). Dalla legge di Biot – Savart si ricava:

y

× q Wuv q v q v

0 r r r

= = ( )= =

o p o o o

w w

2

4 ux]cvo ux]cvo

w

st c st F

y y y y

W zv W zv

y y

3

0

0

= = −7

5.33 ∙ 10

p 3/2

2 2 2

( + )

Il flusso di tale campo magnetico attraverso la spiretta C si calcola assumendo che il campo B sia

F (.F F

= ∙ = = 6.69 ∙ 10

uniforme sulla spira e vale : S p

Il suo valore e’ positivo avendo assunto come positiva la normale alla spira lungo l’asse z in

accordo con il verso di percorrenza della corrente l

3.2 Mentre la spira A viene frenata la sua corrente varia nel tempo seguendo l’andamento della

= ( − )

velocita’ angolare e di conseguenza anche il flusso del campo magnetico

o Q

attraverso C varia nel tempo quindi si crea una fem indotta sul circuito della spiretta C dovuta alla

legge di Faraday-Lenz: w w

WX WS q v W• q v

Y ~ r r

2 2 2 −12

= − = − = − = 2.23 ∙ 10

= V

]}W y y w/y y y w/y

WZ WZ F W zv WZ F W zv

Si noti che la fem indotta e’ postiva poiche’ il flusso del campo B tende a diminuire mentre A

rallenta e la fem indotta tende a produrre una corrente che crea un campo B parallelo a quello

prodotto da A. ℇ

Per calcolare la fem del generatore di corrente della spiretta si considera la legge della maglia

"

associata al circuito della spiretta:

(.F

+ − = 0 = − = 3.77 ∙ 10

da cui V

" ]}W " ]}W

Esercizio 4

4.1 Da considerazioni sulla simmetria il campo magnetico prodotto da lastre piane infinite

attraversate da corrente ha direzione parallela alle lastre ed ortogonale alla direzione della

corrente. In questo caso il campo B ha quindi solo componente y ed il suo modulo dipende dalla

= ().

distanza dalle lastre: Per calcolarne il modulo si puo’ applicare il teorema di Ampere

su rettangoli che circondano le lastre, giacenti nel piano xy, con due lati paralleli alle lastre e due

lati ortogonali ad esse. Posizionando tale rettangolo con i due lati paralleli alle lastre nelle regioni

in cui il campo B e’ nullo (x1<0 e x2>d), la circuitazione risulta nulla. Si ottiene quindi:

] F

∙ = = 0 = + = 0 = − = −250/

ed da cui

Q ‚ƒ}‚ ‚ƒ}‚ p p W

4.2 Per calcolare il modulo del campo B nella regione interna alla lastra spessa si applica il

teorema di Ampere su un rettangolo analogo al precedente con un lato in x1<0, campo nullo, e

l’altro in coordinata x interna alla lastra:

∙ = 0 + = = + = 1 − / = 1 − /

à

Q ‚ƒ}‚ Q p Q Q

(…

= = 6.28 ∙ 10

Il campo e’ massimo in x=0 e vale Q

COMPITO FISICA GENERALE II – Ing. Elettrica ed Energetica 07/02/2012

ATTENZIONE: LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICATE INDICANDO I PASSAGGI

LOGICI ESSENZIALI UTILIZZATI PER ARRIVARE AL RISULTATO FINALE. RISPOSTE

SENZA ALCUNA GIUSTIFICAZIONE, ANCHE SE CORRETTE, NON SARANNO PRESE IN

CONSIDERAZIONE. 12 7

− −

8

.

85 10 F / m 4 10 Tm / A

ε µ π

Costanti fisiche utili: = ⋅ = ⋅

0 0

Esercizio 1 (8)

Una carica elettrica puntiforme positiva con carica q = 3 e massa m = 2 mg viene sparata da

µC

grande distanza lungo l'asse x verso una spira circolare di raggio a = 5 cm, centro nell'origine O e

normale alla spira parallela all'asse x (la spira e’ nel piano x=0). La spira è caricata con una carica

positiva Q = 5 nC distribuita uniformemente.

v O x

1.1- Si calcoli il valor massimo del modulo della forza agente sulla spira.

1.2 - Si dica quale e' la minima velocità iniziale che deve avere la carica puntiforme per

attraversare la spira.

Esercizio 2 (4)

Due cilindretti dello stesso materiale conduttore hanno ciascuno lunghezza L = 20 cm e raggi r =

1

1 mm e r = 2 mm. I due cilindretti sono a contatto come mostrato in figura. Fra le estremità A e B

2

viene applicata una d.d.p. V = 4.5 V. In queste condizioni, la potenza dissipata complessivamente

0

è P = 3 W. Si calcoli la conducibilità elettrica del materiale conduttore.

B

A

Esercizio 3 (8)

Un cilindro conduttore cavo di lunghezza L = 3 m è elettricamente scarico ed ha raggio interno

a =3 cm e esterno b = 5 cm. Sull'asse del cilindro si