Esercizi svolti degli esami di Meccanica razionale

STABILITÀ

Mgremo/R +

V As

+

= =(Mgremo

Huls , 1

g

#E - H

-1 essendo

Poniamo Notiamoclue

=>

+ A

lu

O

y e =

= entrambe diagonali

B

e

/ 3) ( , que

quindi le equazioni

+ e

= ,

disaccoppiate le o some

,

modi noumali

i

& (37R2 g)

+

19

/R + +

-

Me nl o

+ = ↓ Prendiamo angolo

un

⑦

I descrive notazione

Que la

mode quando

in 0

so .

0

=

,

l

Ro

>

Notolamente s

Mura- =

M uM #R2p

bisegeande

del U

MD

Densità P ==> =

massa

: = = =

2πR2

#R2 ()2

+

ave d avea

to

- /p

disco del =

disco Mo

piccolo =

massa

= di da

distanza

si =

centro e G

R

>

>

massa -

MOMENTI INERGIA

DI R

I Myl

Mar =

+

= M

e)

ma

a) 1

F +

+ +

= =

3 MR

F Id

Id - =

=

ENERGIA CINETICA

f lunglueza

L guida

esemo

Rsema

X Casa

5 +

+ =

= ↳ costante

/L-s/semd ininfluente

= Reosa e cost

+

+

G =

Foot-ssema-ecreme ecos0) !

* X

/Vol

scos Es

20 /-ssema-esemo

15

2050 +

+ + +

cosa

j = = = e sbemteseme

sosta 25

20028

+ +

+ cos0

cosa

= 2202 slsemosema

52 =

= +2

stef 2es/costcoso semasemo)

+ +

=

-

Rotocamento

PURO Cosi/20s/y) +

: /

=

0 - sem/sem(y)

= =

cos(x y)

-

+ cos

=

11 m

Mivo

=

im

> +

- M

= dis

cinetica

energia attaccata

1m

Tm cinetica alla canusola

energia massa

= Mom

+

=1

Tr

T Tm M

+

= POTENZIALE

ENERGIA lunglue-a June

costante

Em

altezza

Em della > S

m a ss a +

=

-

= costanti

A di

meno (08)

V Mg)

Mg= 2 +

mgzm sem

+ + mgs =

= -

=

MyFssema R cos

+ + mg

=

EQUILIBRI

-Mend-Mgremm

V =

= Msem

& m-Msema

=

/-sema)

sem =

Se--sena di

hanno posizioni equilibrio

le

di :

ausem/6/-send)

*

*, )

+

Rite

sare s = ,

Stabilità cos

-M

V = * 2

PER 0

5 = -9

V

>

- =

6/-sema) = 1-b-bsemc)

= 1-semte

seme cost = =

VI-1 -sem V" come = Instab

o

sempre x) 205/x)

20s1π =

- -

RIt-of

Com S = ↑

e

-M

V Se

seme

= ↑ e

dell'anello

di

angolo notazione

y =

notolamento Ry

s

>

lus- =

ENERGIA CINETICA

MMM

=

↑ ameler dell'asta

centua di

G massa

=

E o

se

X sem

+

X = = =>

- -

R

& = 50

G =

= cos Rosend

=(

/Vol 200 e cose sem

+

= 2

= Sorcost

11082

AmIva

↑ +

asta =

= /22 Sorso) mr482

+

= =

-

↓

/22 Ser

= Sr050)

+

/2

Mi 2

+

↑ + =

= (m)j2 1m2282 1m2852050

(M +

+ +

= POTENZIALE

ENERGIA mg/r-Ecoso

Vasta mgto

= =

Vdisco = Costante 22)

r2) (12R

tris-arehic-bi 5)

+

Volle sk

= (ar +

+ + =

-

= er

125

En +

= di

potenciale costanti

Energia meno

a :

er

125

An

mgir-cose)

V +

+

=

EQUILIBRI

↑

= ed E

,

STABILITÀ

e

Hurr i =( =gea

d

Hur , ( -ge

tura sabe

=

=

P Oscillazioni

Cole ↑ Se

&

=

27 em

w Mr

M cose e

or Pereto

= mR2

af

202 E

1

B Huro or =

= , /)

A

escillacion

Piccole Bq

+ 0 4

> com

= =

Auth Emp

e equilibrio

di

punto

il

se c'è bisogno

lo

è 01 mon

,

di variabili

cambiare si

f 1mr

m)j

(2M 245

+ + ,

0

+ = Miscele

set

utilizzano le

.

mR2Ö Emgro

+

MR o

=

+ escillazioni essere

possono

descritte originali

le vau

con .

MA

PER

FREQUENZE NORMALI M

DEL MODI =

e m ↑

Se

I

A I

=

B ↑

EmRus

detlB-weal-det R -3 mw - -

/24-3mw2//gmR-Imin 2

=

EmRw2 mgR-ImR

- (EmRw?

2

↓ &mRw =

-

= mR-ChmRw-mmR-m mumRw

+

HmgR-EmmW-mwmw

= 2m2(Rn 2mg)wz

mR - wh

= Mmgr

+ + =

-

Divide

si mi

neu

EmRw-g

= =

1/2 ImgR

wimg

+

my

+ -

mR

MATRICE INERGIA

DI 1y diagonale lisenes

la del quaduato

1/2 il è

quindi lato

e e suo

21 L/2V2

· distanza ba

è la

andue

> (1 e

-

6 7 da G

&2

Xi

22 =

uM

· densità P

:

L'incuria

Momenti quatuato

↑ O

Ma

=

(a(6) O

Mq)/00 MOTO

=

=

(q2(x)

(21)

Un = -

5q1/6) Gan(en)

= 0

- ge O

I

00

P

demaità -

> = e

&Mar PTRY

=A

In = => 31Q

ID =

pe

Mal

=I =1

Fa Refere "

=

=

Quindi Mp

CINETICA

ENERGIA di dell'asta

centro

G massa

= f

J zy

x

X6 205q

senc 6 =

=I Noli20

= + semy =

26

12054 Eysemy

R

-6 +

= = - =

mivoI mmm

=

Tasta = R

notolamento >

Mura - notazione

di

gols

Id-Ia

F R

=

= > yo

Xc Lycosy

Loemy =

Xe = =

-

=

IvoElg2 cosly

110j2

Mive

=A

Tramina + = yo

most

= M Mo

Mosty

= + &... MMM

Mome

+

T m

=> =

ENERGIA POTENZIALE R)

mg/cosy

Vasta restanti

le

levande

>

mgzo + =

= =

mat sorc

= /semse

Volar 14

mg sent

V

=> corg +

=

EQUILIBRI (semp cosy-Img)

V 112 Semprosy-Emg(semy 0

=

= =

=> ,

semp y

> 0

o

= =

-

mg esiste i

cosp mg

se

=

ausco/me *

*

q

4 = =

Stabilità

VI hc'costy-Amgc

-Senzy + cosy =

= cosy-Aigl

/L

un'sendy Leosp

+

-

=

V'0) +22 1mg 24)

sabtse +

mg

>

= =

-

VI) 2 + >

mgl stabe

= =

* H22semy *

/

Vy = Instabile

= -

FREQUENZA OSCILLAZIONI

PICCOLE

DELLE Messa

22 m aV 3

-

=

T + 3x 1

- alpig

=E

esseuvamber T

due /

+

=

argi m V"/)

la

Si > w =

- alt) Amg)

Henty 4)

p(y

VIIH) 1mg

+ =

= - -

-

/

a) + +

Em

m =

(15 Img)

-

w = =

+

#m frequenza

> v

= =

n

1 mg

-

V = 25 + /L

m

ENERGIA CINETICA 3

(

12 L

lu

>

Asta - =

= - 2 T =

=

↑ cosy

Nhig sem

l semp rosy

X seng

+ = . => =>

=+ =

-Los Lyseng

ter cosy

. = * 2

TastaMi EM2

I =

MM

=

Ar = + scory-Rreng

Semy

-

- cospts sempre

e

=

=

* prosp Ry2019

Sysemy

scop

+

c -

-

prop/BL-R/ 4

syremy

scosy -

+

= - 00-9

· Lyseng Ssempt gosp-Rysemp

= 5

+ = T 19

gremy-R/ speasy

sseng +

+

=

/Ecorty

Xe 5 cosly

saje senty +

+

= -

2//grospsqueny sigemgrosp

2//grosp scesy-2

+ +

- = S N

R2-31)

/ /

Si senay scema

Grey 52 2004 - ~a

+ &

+

+

= & scosq

cosyseng cosy-2//grosysqueny 2// prosp scesy

+ +

/

=3 = 25 grespssenc

2//ysemgegesy 2//ysengsemy

emy 52 senzy +

+

+ +

+ R/y

2(

3(24) 52 2

Nel (2) +

+

22 + -

= + - I

8

Se date motolamente

disco

o di notacione mus

angolo =

,

, R

Per composizione belse verosità

di

la legge =

: y -q

wos =

= -

TacoMowr

M/p2( R)2 Ryj)

2/45

2( 1222

5y2 132

2 +

+ +

+

+ =

- -

= -

Eyfy2(-212 32))

13

2

5 382

+ + + -

= Eufy2( 3216)

2) 13

5 2

=> Er 382

+ + +

+ - =

= -

Erf( 32/p)

-2) 38 (3)

i 12 - +

+ +

+ -

=

POTENZIALE

ENERGIA 42

52

G +

=

V 1 Mgz Mgzx

+ + =

= 05

Mg/ +

an/sr/ corpts semythosy

+

= Mg(- semp

R2)

1/32 2)

(3-

+

+ cosy +

= di sostanti

memo

a :

V 11s sceny

Mg/-/31-R)

+ +

cosy

=

EQUILIBRI T Mg

au Mgremy

Ist o S

> seng

= = !

= -

-

as sostituisce

si nella

Mg/l-RIsemy

av Mgscosy seconda

+ =o

= /-

M/31-R/Semy Mg seny

Agrosy

+ =

rosq19) -g

*,

Semp//El-R) = q

0 y 0

=

=

- ,

,

aucos/l-RIn R/K

(V3L

17-21-cosyg -

* = eside e

G 11

=

0

= Mg

Men Sen

( y

0)

01

10 *,

Iy

=> Equilibri -

, ,

,

,

, ,

Stabilità scena

(Mg(/V37-4) Mg

cosq cosy

-

Hurg e =

, A

Mg sosy

(Mg/-R) Mg

Kuro or

, (g)

R)

ygu(BL >se

-

= -

Mg H 2)

/B Mg

-

FREQUENZA OSCILLAZIONI

PICCOLE

Erf(( 32/p)

2) 38 (3)

i 22 -

+ +

+ +

+

- -

= 2 R)

M( 12

-

x

an +

+ +

-

=

= 32)

1M(3 M

anc a21 922

- =

= =

bu Mg(BL-34) bazza

biz MG

ba

1 = =

=

Mg

Mg(V32-R)

Huro

B a

= , = Mg

Mg =

da

date /B-w2A)

det

blue twova

grequente

le wei

v

sono o

come =

e se

be

Wall

by /buz-waanz)

o /bez-whazz) /ban-wa12)

(b11-weam)

bet

=> =

= -

b22-w2a22 azzb11-za12bre) bib22-bi

wa/ana22-am2)-w2/ambaz + +

= detibe

tu/alfu/Bl-trABI

/A)

det ↑

a bebabab

= azpe

a alber

a

AB -

tr/AB) ambutanbea+ bez

anzb12 a22

+

= =

amb11 az2 bez 2an2b12