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2.3
Calcolare il baricentro di un arco omogeneo di raggio R e ampiezza α.
- Essendo l'arco omogeneo, l'asse y così centrato è asse di simmetria.
- Dato l'angolo α tra gli estremi e l'origine, il generico punto P che si sposta sull'arco può spaziare tra α/2 e -α/2.
- Essendo l'asse y di simmetria e il corpo omogeneo: Xc = 0.
- Calcolo Yc:
Yc = 1⁄M ∫AB y dω
Essendo: M = ρRα e potendo variare solo θ: dω/dθ = ρR ⇒ dω = ρR dθ
- A = R cosα
- B = R cosγ
- oppure
- A = R senγ
- B = R senα
Si ha: y = R cosθ
Yc = 1⁄M ∫AB y dω = 1⁄M ∫-α/2α/2 R cosθ · ρR dθ = 1⁄M ∫-α/2α/2 ρR2 cosθ dθ =
= 1⁄M ρR2 [senθ]-α/2α/2 = 1⁄M ρR2 (senα/2 - sen(-α/2)) = 2⁄M ρR2 senα/2 =
= 2⁄ρR2 α ρR2 senα/2 nel caso di una semicircconferenza α = π allora Yc = 2R⁄π.
2.5
Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e ampiezza α.
- A differenza del caso precedente, adesso possono variare θ e r, ossia il punto P non è più vincolato a spostarsi su un'arca ma può muoversi su un'area.
xG = 0
- Calcoliamo yG:
yG = (1/M) ∫ y dm
essendo M = ρ α R2/2 , A = αR2/2
dunque dm = ρ 2r/2 drdθ
y = r cosθ drdθ
yG = (1/M) ∫0R ∫-α/2α/2 r2 cosθ drdθ = (1/M) ρ [r3/3]0R [senθ]-α/2α/2
= (1/M) ρ R3/3 2 sen α/2 = 2/3 ρR3sen α/2 / M
= 2/3 ρ 2 sen α/2 / ρdR2 = 4/3 R sen α/2/2
Nel caso di un semicirconferenza: α = π
α/2 = π/2
yG = 4/3 R/π
2.12
Calcolare il momento d'inerzia dell'asta dell'es. 2.4 rispetto ad un asse normale e baricentrico e ad i due assi normali passanti per gli estremi.
M = 3/2 kl2 Principio di HuygensI = IC + Md2
ρ(x) = kl(1+x)
IA = ∫0l ρ(x)x2 dx = ∫0l kl(1+x)x2 dx = ∫0l klx2 + kx3 dx
= klx3/3 + kx4/4 |0l = kl4/3 + kl4/4 = 4/3 kl4 + 3/4 kl4 = 4+3/12 kl4 = 7/12 kl4
IC = IA - Md2
= 7/12 kl4 - 3/2 kl2 ( 5/9 l )2
= 7/12 kl4 - 3/2 kl2 ( 25/81 l2 )
= 7/12 kl4 - 25/54 kl4 = 63-50/108 kl4 = 13/108 kl4
IB = IC + Md2
= 13/108 kl4 + 3/2 kl2 ( 4/9 l )2 = 13/108 kl4 + 3/2 kl2 ⋅ 16/81 l2
= 13/108 kl4 + 48/162 kl4 = 39+96/234 kl4 = 5/12 kl4
In questo caso il testo diceva esplicitamente che il sistema era fissato in A (in quanto x distorta alla A).Se invece avessi l'origine in xC=0 le distanze da usare come estremi di integrazione sarebbero state:e si avrebbe : IA = IB.
-5/9l 0 +4/9l
- legge oraria
S(t) = ∫0t Ṡ(t) dt = ∫0t R(at + ω) dt = |0t R(a/2 t2 + ωt)
= S(t) - S(0) = R(a/2 t2 + ωt) + R ω/2 = R(a/2 t2 + ωt + ω/2)
- accelerazione (componenti cartesiane)
ẋ = -Ra sen(a/2 t2 + ωt) + [-R(at + ω) · (at + ω) · cos(a/2 t2 + ωt)]
= -Ra sen(a/2 t2 + ωt) - R(at + ω)2 cos(a/2 t2 + ωt)
ẏ = Ra cos(a/2 t2 + ωt) + [-R(at + ω) · (at + ω) sen(a/2 t2 + ωt)]
= Ra cos(a/2 t2 + ωt) - R(at + ω)2 sen(a/2 t2 + ωt)
- Accelerazione in forma vettoriale
ā(P) = (-Ra sen(a/2 t2 + ωt) - R(at + ω)2 cos(a/2 t2 + ωt)) î +
+ (Ra cos(a/2 t2 + ωt) - R(at + ω)2 sen(a/2 t2 + ωt)) ĵ
- Forma intrinseca dell'accelerazione
ā = at t̂ + au n̂
{
at = Ṡ̇ = Ra
au = Ṡ2ρc = R2(at + ω)2/R = R(at + ω)2
t̂ = Ṡ(P)/Ṡ̇ = (-R(at + ω) sen(a/2 t2 + ωt)) î + (R(at + ω) cos(a/2 t2 + ωt)) ĵ /
= (R(at + ω)
= (-sen(a/2 t2 + ωt)) î + (cos(a/2 t2 + ωt)) î̂
n̂ = -[(cos(a/2 t2 + ωt)) î + (-sen(a/2 t2 + ωt)) ĵ ]
= -cos(a/2 t2 + ωt)) î + sen(a/2 t2 + ωt)) f̂
A_n = \overline{a} \cdot \hat{n} = \frac{1}{1 + t^2 \omega^2} \cdot \left[ -2R\omega \sin \omega t - R\omega t \cos \omega t \right](-\sin \omega t - \omega t \cos \omega t)+
+(2\omega t \cos \omega t - R\omega^2 t \sin \omega t)(\cos \omega t - \omega t \sin \omega t) =
=2R\omega \sin \omega t + 2R\omega t \sin \omega t \cos \omega t + R\omega^2 t \cos \omega t \sin \omega t + R\omega^2 t \cos \omega t +
+ 2R\omega^3 t \cos^2 \omega t - 2R\omega^2 t \sin \omega t \cos \omega t - \omega^2 t \cos \omega t \sin \omega t + R\omega^3 t^2 \sin \omega t
= 2R\omega (\sin \omega t + \cos^2 \omega t) + R\omega^3 t \left( \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t \right) = \frac{2R\omega + R\omega^3 t^2}{\sqrt{1 + t^2 \omega^2}} =
= \frac{\sqrt{1 + t^2 \omega^2}}
calcolo \quad \rho_c
\rho_c = \frac{S_z^{-2}}{Au} = R \sqrt{\left( 1 + t^2 \omega^2 \right)} \cdot \frac{\sqrt{1 + t^2 \omega^2}}{2R\omega + R\omega^3 t^2} = \frac{R(1 + t^2 \omega^2)^{3/2}}{2\omega + \omega^3 t^2} =
= \frac{R}{W} \cdot \frac{\left(1 + t^2 \omega^2 \right)^{3/2}}{2 + \omega^2 t^2} = \frac{R}{W} \cdot \frac{1 + \omega^3 t^3}{2 + \omega^2 t^2} \sim const. \cdot \omega^3 t^3
per \quad t \rightarrow +\infty \quad \rho_c \rightarrow +\infty
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