Meccanica Razionale - Esercizi Svolti

PIANO DELLE FASI - ESEMPIO

U(x) = ax³e^-bx

λ ∈ ℝ ; a,b > 0

U(0) = 0

x = 0

U(x) = 0 ↔ x = 0

U(x) passa per O(0,0)

U′(x) = 0

lim U(x) = 0

x→±∞

3ax²-abx² = 0

x²(3a-ab-λbx) = 0 ↔ x = 0 ∧ x = ^3/λb

U(x) ≥ 0

x∈ℝ

U(x) = e^bx(6ax-2abx²)

U′(x) = 0

bx² + 6bx + 6 = 0

x_1,2 = ^{-6±√(36+96)}/6

U′(x) > 0

|x| ≥ ³√³/b

x = 3 + √2

σ = ₃λ³U₀

x ∈ ¹Z(3/3b)

U(0) - 1 orbita degenere & irrelevant unstable

E = U(0){non periodic orbit

⋔ U(x) - 1 orbita degenere e punto di eq. instabile

p: ± √₂/_m(E + U(∞))

U(x) = ax³ e^-βx

→ E = U(3/2r) = 2q_H/β³ e^-β3/2r 2r+a → r=0 → orbita degenere

2β³

→ E < E U(x)

b = ± √₂/_m (E + U(x))

b(x) = ± √₂/_m (E + ax³ e^-βx)

studio della f.m. φ(x)

φ(x) ≤ 0 ↔ [-1/_r)

e^{ax ³ e-βx}

→ φ x³ e^-βx = E_a

x³ = E_a/a e^βx

la funzione passa per (0,0)

x = 0 ↔ φ(0) = ± √₂/_m la f.m. passa per (0,-1/_r) e (0, -1/_mE)

lim φ(x) = √_E/√_m

x→0

φ'(x) = 1/_√

φ'(x) = ±

e²_m[3ax² e^-bx

x'(x) = 0

φ'(x) = ∞ d(x)

x = 0 λ x = 3/β

φ'(x) = e^-bxe-bx =

φ'(x) = -6/2r -6(e ²)x³ + b(a)x² +(6x) x

\/ 3/β

n/m+ e^-bxe-bx (3ax + ax²)

φ³(x)m_3r

φ(x) = 0

r³/β

φ(X = x) m

traslasciato la studio di φ³(1/x)

Il grafico dell'orbita asssa

(tenendo conto anche delle funzioni con il meno che è simmetrico risp. all'asse x)

E = U(∞) ± ottengo U(∞) =∞ ± ± ±

φ = ± √_m/√E(x) ± m √

x³ e^-bx

Ottengo pertici 3 orbite + una degenere per r = 0 e altre due per x = ± √_r/√_m φ(x) φ m

studia lo stesso alte la f.m. identicamente

nulla tra e = U(∞) ottengo oltre due funzioni parabolica

U(x) tende asintoticamente a 0 φ(x) a → 0

ES 3

U(x) = K cos x   K < 0

E = K

p_- = ± √_2/m (E - U(x))

E > K   p_- = ± √_2/m [E + K cos x]

E = K   p_- = ± √_2/m (k + K cos x)

(0,0)   punto di stabilità → massimo instabile     ε = -k

x = 0   χ = k K cos x = 0   cos x = -1   x = π

(x=0, π) (π, 0)   punti di equilibrio instabile

DINAMICA NEGATIVA - 350

ES 1

χ(ℓ) ∉ ℓ_a

v_a = -αt ℓ_a   α > 0   a_- = d ℓ_a

p.m ∈ ℝ ℓ(t)   v_rs(0) = v_a ℓ_a   v_rs > 0

F̅ = -μχ̇   μ > 0

v_rs = cost

m a_s = F̅_t + F̅_e + F̅_rin

m a_s = -μχ̇_s + m α   m χ̈̇ = -μ χ̇ + m α   {χ = cost}   χ̇(0) = v₀

Calcolo Quantità Cinematiche

ES 1

(O, e₁, e₂, e₃) ≡ Ξ     r_R = k_R      k = λ₁    λ > 0

r_o = u_b e₁     v_o = c_e3     ω = ω e₂ - ωu m₂

u_a = λ cosu n e₁ + senu e₃

u₃ = - λ sen u n e₁ + cosu n e₃

v_r = v_o + v_r + ω × o

o_P = λ u₁ m + λ₂ λ₁ + λ₃ λ₃

v_P = K e₂ + c e₁ + ω x o_P = K e₂ + c e₁ +[ 0    0     k ]

= K e₂ - c e_p + (λ 3 ω, 0, - λ ω)

ES 2

r_r = l (cosφ i + senφ  j ) 0 < φ ≤ 2π

v_o = v + ω × o

v_r = ω × o

o_F = ( cosφ , senφ , 0 ) - v_r + Rφ 0 ( -senφ , cosφ ,0 )

ω × o

= [ 0    1    0 ]

ω = (- ω e₂ sin φ , ω R e₂ cosφ , 0 ) = ωR ((- R&phi cosφ , 0 )

v = (R ω + c ) ( - senφ cosφ , 0 )

r_R = Rφ = c      c = c/R

ES 8

P_mm Y = {Rcosφ, Rsenφ, 0} | −π < φ < π

f_vin = f²_vin + f^"_vin

f_vin = −f_in + TI

f_vin = μ + f_vin

F_x = −t AP A = (0, k, 0)

F = −mg e_x

OP = (Rcosφ, Rsenφ, 0) = (Rcos ^s⁄_R, Rsen ^s⁄_R, 0)

AP = OP + OA = (Rcosφ, Rsenφ, R, 0) = (Rcos ^s⁄_R, Rsen ^s⁄_R, 0)

ma_x = F + F_t + F_c + f_vin ⇒ ma_x = F + f_vin

I = (−R ^{sen s}⁄_R, R ^{1 cos s}⁄_R, 0) = (−sen ^s⁄_R, cos ^s⁄_R, 0)

N = (−^{cos s}⁄_R, ^{1 sen s}⁄_R, 0) = (−cos ^s⁄_R, sen ^s⁄_R, 0)

ms²⁄_R = mg ^{sen s}⁄_R k(−R^{cos s}⁄_Rsen s⁄_R + l^{sen s}⁄_Rcos s⁄_R l²(cos E) + f_vin T

ms²⁄_R = −mg ^{cos s}⁄_R I(−R ^{cos s}⁄_R + l^{2 sen s}⁄_R − R^{sen s}⁄_R e) + f_vin N

ms = mg ^{sen s}⁄_R + Kl ^{cos s}⁄_R + f_vin I

ms²⁄_R = −mg ^{cos s}⁄_R I k(l ^{sen s}⁄_R) − f_vin N

ms = mg ^{sen s}⁄_R + Kl ^{cos s}⁄_R = μ cm² R − mg ^{cos s}⁄_R + k(l ^{sen s}⁄_R − e)

ES 3

P,m ∈ x_a

S = (A,e₁)

OÂ = cte₂

S₀ = (O,e_i)

F_p = -mg e₃

f_vin'' = μ f_vin'

x₁(0) = x₂(0) = x₃(0) = 0

ẋ₁(0) = V₀ > 0

ẋ₂(0) = ẋ₃(0) = 0

V₀ = c t₂ ⇒ a₀ = 0

V_S = (c t, x_A, 0, 0) ⇒ a_S = (x_A, 0, 0)

O⃗Â + Â⃗P = (ct + x_A, 0, 0)

m ẍ₁ = f_vin ·T

0 = -f_vin ·N

0 = -mg + f_vin ·B

f_vin = f_vin ·e₂

f_vin = f_vin ·e₁ + f_vin ·e₃

m ẍ = -μ mg ⇒ ẋ = -μ mg t/m + c ⇒ ẋ_A = -μ g t + c ⇒ ẋ = -μ gt + V₀

x = -μ g t²/2 + V₀t

ẋ = -μ gt + V₀ ⇒ ẋ = 0 ⇒ -μ g t + V₀ = 0 ⇒ t = V₀/μ g

x(t) = 1/2 V²₀/μ g - 1/8 g t + V₀t/μ g = 1/2 V²₀/μ g

O⃗(ṭ) = (V₀/μ g, 1/2 V²₀/μ g, 0, 0)