Esercizi guidati di Statistica Inferenziale

Capitolo 2

Calcolo combinatorio per esperimenti casuali

Disposizioni semplici

Sono stati venduti 100 biglietti di una lotteria, i premi vengono assegnati ai possessori del primo, secondo e terzo biglietto. Calcoliamo il numero delle disposizioni di estensione:

D_m,k = m(m-1)(m-2)...(m-k+1)

dove (m-k+1) = (100-3+1) = 98

D_100,3 = 100·99·98 = 970200

Disposizioni con ripetizione

Avendo numeri mutui da 0 a 9 su una tastiera, quanti ne posso generare in un telegramma con 5 elementi?

D_m,k = m^k

D_10,5 = 10⁵ = 100000

Combinazioni semplici

Un’azienda produce 5 varianti del prodotto A e 8 varianti del prodotto B. Determinare il numero di congiunzioni che si possono generare sapendo che i pacchetti di tipo A sono in congiunzione da 2 e di tipo B in congiunzione da 3.

1. Calcolano le disposizioni semplici del prodotto A [m = 5, k = 2]

   C_m,k = ₅C₂ = ^mC_k = ^m! / k!(m-k)! = ^5! / 2!(5-2)! = 10

2. Calcolano le combinazioni semplici del prodotto B [m = 8, k = 3]

   C_m,k = ₈C₃ = ^mC_k = ^m! / k!(m-k)! = ^8! / 3!(8-3)! = 56

3. Se le congiunzioni vengono gruppate allora:

Esercizi sul libro

Es. 2.9 pag. 54

Una gelateria produce 30 gusti di gelati (m=30) e si determina il numero di coppe abbinando 3 gusti (K=3).

D_m,k (^m/_k) = ^30!/_3!(30-3)! = ^30!/_{31 · 27!} = ^{30 · 29 · 28 · 27!}/_{3! · 1 · 27!} = 4060

Es. 2.10 pag. 54

Si dispone di 10 liquori e 9 succhi di frutta, si determina il numero di cocktail che si possono preparare miscelando 4 liquori e 2 succhi.

D_m,k (¹⁰/₄) = ^10!/_4!6! = ^{10 · 9 · 8 · 7 · 6!}/_{4 · 3 · 2 · 1 · 6!} = 210

D_m,R (⁹/₂) = ^9!/_2!7! = ^{9 · 8 · 7!}/_{2 · 1 · 7!} = 36

D = D₁ · D₂ = 210 · 36 = 7560

Es. 2.11 pag. 54

Un comitato tecnico è composto da 8 ingegneri, 20 geometri e 5 architetti.Si determini il numero di combinazioni se ci sono esattamente 2 ingegneri, 3 geometri e 1 architetto nel comitato finale.

D_m,k (⁸/₂) = ^8!/_2!6! = ^{8 · 7 · 6!}/_{2 · 1 · 6!} = 28

D_m,k (²⁰/₃) = ^20!/_3!17! = ^{10 · 9 · 8 · 7!}/_{3 · 2 · 1 · 7!} = 120

D^"_m,k (⁵/₁) = 5

D^' · D^'' · D^''' = 28 · 120 · 5 = 16800

D^' · D^" = 120 · 5 = 600

Capitolo 6

Variabili Aleatorie

Funzione di Ripartizione

F_X : ℝ → [0,1], F_X(x) = P(X ≤ x) x ∈ ℝ

F_X(x) = P(X ≤ x) = ∑ p_X(x_i) x ∈ ℝ

Distribuzione di Probabilità

f_ax(x)

f_x(x)

f_ax(x-1)

Valore Atteso

E(X) = ∑ x_i * P_X(x_i)

1. E(α) = α, αⁿ = cost.
2. E(α⋅X) = α⋅E(X)
3. E(α+X) = α+E(X)
4. E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Varianza

V_ar(X) = ∑ P_X(x_i) - [E(X)]²

V_ar(X) = ∑ (x_i - E(X))² ⋅ P_X(x_i)

1. V_ar(α) = 0
2. V_ar(α⋅X) = α² ⋅ V_ar(X)

Distribuzione Binomiale

[Si ripete m volte una prova Bernoulliana verificando quante volte l'evento E_i ("successo") si verifica nelle m prove ripetute.]

X ∼ Ber (m, Π)

P_X(x, m, Π) = ^m⁄_xΠ^x(1 - Π)^m-x

Valore Atteso e Varianza

E(x) = m Π

Var_x = m Π(1 - Π)

Esercizio 5.2 pag. 249 (b)A di una gara percorriamo 25 tiri. Supponendo che si centri il bersaglio con probabilità 0,70, si calcoli probabilità che in 18 siamo centro.

Dati

m = 25   Π = 0,70   X ∼ Ber (25, 0,70)

x: "18 tiri fanno centro"   P_X ~ (18, 25, 0,70)

P_X(18, 25, 0,70) = ^m⁄_xΠ^x(1 - Π)^m-x =

(²⁵⁄₁₈) 0,70¹⁸(1 - 0,70)^25-18 = 0,171

b) Calcolare il valore atteso e la varianza

1b) E(x) = mΠ = 25 . 0,70 = 17,5

2b) Var (x) = mΠ(1 - Π) = 25 . 0,70 . (1-0,70) = 5,25

Esercizio 3

In un comune diverse famiglie hanno ricevuto un sostegno economico con media (μ) pari a 174 e scarto quadratico medio pari a 4. Calcolare la % di famiglie che hanno un sostegno compreso tra 172 e 175.

X~N(μ, σ²)

μ = 174 e σ = 4

P(172 < x < 175)

Z₁ = (m - μ) / σ = -0,5

Z₂ = (m₁ - μ) / σ = 0,25

P(172 < x < 175) = P(-0,5 < z < 0,25)

F(0,25) - F(0,5) = 0,59871 - [1 - 0,69146] =

0,59871 - 0,30854 = 0,290 = 29%

Intervallo di confidenza per una proporzione

Esempio 8.8 pag 402.

Un direttore vuole valutare un nuovo prodotto tramite un intervallo di confidenza al 95%. In un’indagine dove vengono intervistati alcuni, hanno riscontrato favorevoli. Sapendo che X∼Ber(π) stimare il parametro.

Fase 1 ⟶ Riordino dati

M = 400P = 329/400 = 0,81100(1−α) = 95%

Fase 2 ⟶ Indiviazione del cut-off

100(1−α) = 95% ⟹ (1−α) = 0,95 ⟹α = 1−0,95 = 0,05 ⟹ z_α/2 = 0,025 ⟹ 1,960

Fase 3 ⟶ Calcolo intervallo di confidenza

[ ̂ − Z_α/2√((̂(1−̂))/) ; ̂ + Z_α/2√((1−̂)/) ]

[ 0,81 − 1,960 √((0,81(1−0,81))/400) ; 0,81 + 1,960 √((0,81(1−0,81))/400) ]

[ 0,772 ; 0,848 ]