Rielaborazione esercizi di statistica descrittiva e inferenziale

Un laboratorio rileva la stessa misurazione di un tratto genetico su due campioni di cavie: n=10 per il primo campione (variabile X) e n=15 (variabile Y) per il secondo campione:

X: 8.9, 9.5, 13.1, 10.1, 10.3, 13.4, 10.9, 7.5, 8.6, 9.1 Y: 13.4, 11.7, 11.8, 11.2, 9.9, 14.6, 12.7, 12.4, 10.1, 8.9, 10.6, 8.9, 9.8, 9.8

Calcolare media, mediana e quartili di X e Y. Disegnare i Box-Plot di X e di Y e commentare i risultati.

1) X̄ = (1/m) ∑X_i = (1/10) ∑(8.9 + 9.5 + 13.1 + 10.1 + 10.3 + 13.4 + 10.9 + 7.5 + 8.6 + 9.1) = 103.6/10 = 10.36 Ȳ = (1/m) ∑Y_i = (1/15) ∑(13.4 + 11.7 + 11.8 + 11.2 + 9.9 + 14.6 + 12.7 + 12.4 + 10.1 + 8.9 + 10.6 + 8.9 + 9.8 + 9.8) = 161.90/15 = 10.79

2) Per calcolare mediana e quartili, è necessario riordinare i dati:

X: 7.5, 8.6, 8.9, 9.1, 9.5, 10.1, 10.3, 10.9, 13.1, 13.4 m = 10 => pari Range (Me(X)) = (m_x + 1) 0.5 = 5.5 => la mediana è la semi-somma dei valori al quinto e al sesto posto Me = (X_(m/2) + X_{(m/2 + 1)}) / 2 = (X₅ + X₆) / 2 = (9.5 + 10.1) / 2 = 9.8

Range (Q₁(X)) = (m_x + 1) 0.25 = 11 x 0.25 = 2.75 Q₁^X = (X₂ + 0.75 (X₃ - X₂)) = 8.6 + 0.75 (8.9 - 8.6) = 8.83 Range (Q₃(X)) = (m_x + 1) 0.75 = 11 x 0.75 = 8.25 Q₃^X = (X₈) + 0.25 (X₉ - X₈) = 10.9 + 0.25 (13.1 - 10.9) = 11.45

Y:

7,18,39,59,59,59,89,910,110,611,211,711,812,413,414,6

M = 15

Rango (Me(Y)) = (m_y + 1) · 0,5 = 16 · 0,5 = 8 => Me(y) = 10.6

Rango (Q₁(y)) = (m_y + 1) · 0,25 = 16 · 0,25 = 4

Q₁(y) = 9,5

Rango (Q₃(y)) = (m_y + 1) · 0,75 = 16 · 0,75 = 12

Q₃(y) = 12

BOX PLOT X

insieme

Q₁MeQ₃

H₁ = Q₁ - 1,5(Q₃ - Q₁)= 8,83 - 1,5(11,45 - 8,83) = 4,9

H₂ = Q₃ + 1,5(Q₃ + Q₁)= 11,45 + 1,5(11,45 - 8,83) = 15.38

C₂₂ = M₂ x M₂ = 2 x 2 = 4 = 0,4

------------------------------------

C₂₂ = M₂ x M₂ = 2 x 2 = 4 = 0,4

------------------------------------

C₂₃ = M₂ x M₃ = 2 x 1 = 2 = 0,2

------------------------------------

C₂₄ = M₂ x M₄ = 2 x 3 = 6 = 0,6

------------------------------------

C₂₅ = M₂ x M₅ = 2 x 2 = 4 = 0,4

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C₃₁ = M₃ x M₁ = 5 x 2 = 10 = 2

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C₃₂ = M₃ x M₂ = 5 x 2 = 10

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C₃₃ = M₃ x M₃ = 5 x 1= 0,5

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C₃₄ = M₃ x M₄ = 5 x 3 = 1,5

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C₃₅ = M₃ x M₅ = 5 x 2 = 1

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C₄₁ = M₄ x M₁ = 2 x 2 = 0,4

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C₄₂ = M₄ x M₂ = 2 x 2 = 0,4

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C₄₃ = M₄ x M₃ = 2 x 1= 0,2

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C₄₄ = M₄ x M₄ = 2 x 3= 0,5

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C₄₅ = M₄ x M₅ = 2 x 2= 0,4

Dai campioni si segue che:

Tm = ^{18 - 25} / _{2 / ⁵√} = -3,08

25^0.65

Fissato α = 0,01 I - 0,01 = 0,99 zα = -2,33

Poiché Tm = -3,08 < -2,33 (Tm Cade nella regione critica),

il rifiuto H0 è la dove collo rejected

Hi. Tale decisione può essere errata con probabile degli %.

Il test è significant level

Equivalentemente:

RC (2):

^Xm _{µ0 - Zα^√ / m √}

RC (0,01):

^x_m -2,33 (Tm Cade nella regione di accettazione),

non rifiuto H0 . Il test non è significativo all 1%

Classe d'Età

• 10, 10
• 10, 20
• 20, 30
• 30, 40
• 40, 50
• 50, 60
• 60, 70
• 70, 80

Ossati (mi)

• 50
• 80
• 118
• 125
• 98
• 60
• 45
• 10

Σ_i=1⁸ (ci - 34,40)² · mi

x²_x = ^178.890,96/₅₈₆ = 305,28

Mediana

Calcoliamo le frequenze relative e le frequenze cumulate.

Classe d'Età

• 10, 10
• 10, 20
• 20, 30
• 30, 40
• 40, 50
• 50, 60
• 60, 70
• 70, 80

Ossati

• 50
• 80
• 118
• 125
• 98
• 60
• 45
• 10

Fr. Relativa

• 0,085
• 0,137
• 0,201
• 0,213
• 0,167
• 0,102
• 0,074
• 0,014

F. Cumulata

• 0,085
• 0,222
• 0,423
• 0,636
• 0,803
• 0,905
• 0,981
• 1

Detem miamo la classe mediana. Tale che:

F(x_i-1) < 0,5 e F(x_i) > 0,5

Classe mediana [30, 40)

In generale se (a, b) è la classe mediana

Me = a + (^{(b - a) m}/_{2 - F (xi) (a)}) oppure a + (^{(b - a)}/_{F (xi)(b) - F(a)})

3) CALCOLARE LA COVARIANZA

Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

E(X): 1(0,50) + 2(0,50) = 0,50 + 1 = 1,50

E(Y): 0(0,45) + 1(0,55) = 0,55

- XY Definiamo il Range di XY = {0,1,2}

XY = 0 ≤≤ (Y = 0 ∩ X = 1) ∪ (Y = 0 ∩ X = 2) Pr(XY = 0) = Pr(Y = 0, X = 1) + Pr(Y = 0, X = 2) = 0,20 + 0,25 = 0,45

XY = 1 ≤≤ (Y = 1 ∩ X = 1) → Pr(XY = 1) = Pr(Y = 1, X = 1) = 0,30

XY = 2 ≤≤ (Y = 1 ∩ X = 2) → Pr(XY = 2) = Pr(Y = 1, X = 2) = 0,25

E(XY): 0(0,45) + 1(0,30) + 2(0,25) = 0,30 + 0,50 = 0,80

- Uno stimatore lineare non distorto per il valore medio E(X)=θ della popolazione è la media campionaria X̄_m.

X̄_3m= 1/3 (X₁+2tX₃)

S₁: altri stimatori non distorti sono:

E(T₁)= 1/θ => T_1m* = 6/T₁₁ => è non distorto per θ.

E(T_2m)=θ => T_2m* = 6/5 T_2m => è non distorto per θ.

E(T̄₂) = 6/5 E(T_(m)) = θ => θ(S)θ

2) Per determinare tra τ, più efficiente (in termini rebahm) bisogna calcolare il MSE.

MSE: Var(I_m)+[b(T_m)]²

-Calcoliamo le Varianze:

Var(T_lm) = Var(X₁) + (1/2)² Var(X₂)+(1/3)² Var(X₃).

=θ(1-θ)+1/4 θ(1-θ)+1/9 θ(1-θ).

=36θ(1-θ)+9θ(1-θ)+4θ(1-θ)/ 36=49/36 θ(1-θ)

Var(T_2m=(1)² Var(X₁)+(1/2)² (Var(X₂)/(1/3)Var(X₃).

=1θ(1-θ)+1/4θ(1-θ)+1/9(1-θ).

=49/36 θ(1-θ)