Esercizi Fisica B

LAVORO DELLA FORZA ELETTRICA. TENSIONE, POTENZIALE

(Pagina 27)

Quando su una carica agisce una forza F di qualsiasi natura, non necessariamente

0

elettrostatica, ma ad esempio dovuta a processi chimici o ad azioni meccaniche, possiamo

definire sempre un campo elettrico E, che si indica anche col nome di campo elettromotore,

come rapporto tra la forza F che sulla carica e il valore della carica stessa:

= ⟹ =

0

0

A questa si dà carattere generale, per cui:

Def: la forza che agisce su una carica elettrica, che, come tale, prende il nome di forza elettrica,

si esprime sempre come il prodotto della carica per un certo campo elettrico. Il rapporto tra

1

0

il lavoro compiuto dalla forza F nello spostamento della carica da A a B lungo il percorso

0 1

e il valore della carica, definisce la tensione elettrica tra i due punti A e B relativa al percorso

:

( ⟶ ) ≠ � ∙

1 1

1

Se si considera un altro percorso si trova in generale un lavoro diverso e quindi un diverso

2

valore della tensione elettrica, pur essendo i punti A e B gli stessi. Quando invece,

consideriamo un qualsiasi percorso chiuso vediamo che in generale il lavoro per un percorso

chiuso è diverso da zero. Il lavoro per spostare una carica lungo il percorso chiuso C è dato dal

prodotto della carica per la circuitazione del campo elettrico lungo C. L’integrale che esprime

il rapporto tra il lavoro compiuto sulla carica e la carica stessa per lo spostamento C si definisce

forza elettromotrice del campo elettrico relativo al percorso chiuso C. Si è potuto osservare,

inoltre, che in meccanica esiste una categoria di forze, dette conservative, per le quali il lavoro

compiuto nello spostamento di un punto da A a B è funzione soltanto della posizione di

partenza e di quella di arrivo. Ne deriva che il lavoro lungo un qualsiasi percorso chiuso è

nullo, ovvero che la circuitazione di una forza conservativa è nulla. Non si verifica in natura

che qualsiasi forza elettrica sia conservativa. Questo però è il caso delle forze elettrostatiche,

il cui risultato si esprime anche dicendo che il campo elettrostatico è conservativo. Ricordiamo

però, che ad ogni forza conservativa è associata una determinata energia potenziale e che il

lavoro della forza conservativa è pari all’opposto della variazione della corrispondente energia

potenziale. Nel caso elettrostatico abbiamo pertanto dove la prende il nome di

Δ = Δ

0

energia potenziale elettrostatica. Segue inoltre, che per un qualsiasi percorso chiuso nella

regione in cui è definito il campo elettrostatico E, essendo la differenza di potenziale nulla in

quanto valgono le relazioni:

≡ , = � ∙ = 0 , = = 0

0

Def: In un campo elettrostatico la forza elettromotrice è uguale a zero, ovvero è nullo il lavoro

compiuto dalla forza elettrostatica per qualsiasi percorso ciclico.

CALCOLO DEL POTENZIALE ELETTROSTATICO (Pagina 30)

Iniziamo dal caso più semplice, che è quello del campo generato da una carica puntiforme, in

questo caso positiva. Il lavoro della forza F per uno spostamento elementare della carica

0

nel campo della carica puntiforme fissa in è dato da:

,

per cui

0

= ∙ = ∙ =

0 2 2

4 4

0 0

dove proiezione di lungo la direzione del campo. La funzione

= ∙ = cos ,

integranda risulta così dipendere soltanto dalla variabile r per cui si ottiene subito, per uno

spostamento dal punto A al punto B, caratterizzati rispettivamente dalle distanze e dal

punto O. Abbiamo così verificato che il lavoro non dipende dal percorso seguito. Il risultato

era scontato perché la forza in questione è centrale e il suo modulo dipende solo dalla distanza

r. Ricordando che il potenziale e l’energia potenziale sono definiti a meno di una costante

additiva abbiamo:

ed 0

() =

+

() =

4 4

0 0

Che danno rispettivamente il potenziale elettrostatico in un punto a distanza r dalla carica q

distante r da q. Si può determinare

e l’energia potenziale elettrostatica della carica

0

completamente e imponendo la condizione ulteriore come suggerito dal

() () ⟶ ∞

fatto che per cariche molto lontane l’interazione è trascurabile. Poiché per risulta

⟶ ∞ =

e in conclusione abbiamo per il potenziale elettrostatico generato da una carica

= 0

puntiforme q in un punto a distanza r:

() = − � ∙ = 4

0

∞

e per l’energia potenziale di una carica di prova nel campo di q, a distanza r:

0

0

() =

() =

0 4

0

Ragionando come nel caso di una singola carica puntiforme, il potenziale generato dal sistema

dalla carica , è

cariche nel punto distante

di

(, , ),

() = (, , ) = � 4

0

Def: questo risultato indica che il potenziale elettrostatico prodotto da un sistema discreto di

cariche è uguale alla somma dei potenziali elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche.

Si verifica immediatamente che se eseguiamo un percorso chiuso qualunque, partendo dal

anche il campo elettrostatico

punto A e ritornando nello stesso punto, per cui =

risultante dalla somma vettoriale di campi elettrostatici ha circuitazione nulla, ovvero ha forza

elettromotrice nulla. Inoltre, come nel caso del campo E si parla di campo vettoriale, così come

per il potenziale elettrostatico si può parlare di campo scalare. A differenza però del campo

elettrico non è il valore del potenziale ad essere fisicamente significativo, bensì le sue

variazioni. ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA (Pagina 33)

Se analizziamo il significato della formula per due cariche e fisse, poste a

1 2

() =

1 2

4

0

distanza r, essa può essere eguagliata al lavoro W della forza elettrica per portare le cariche

così definita prende il nome di energia

dalla distanza r alla distanza infinita. La ()

potenziale elettrostatica del sistema di due cariche fisse. Se le cariche sono dello stesso

segno, e quindi si respingono, l’energia potenziale elettrostatica del sistema è positiva ed è

positivo il lavoro elettrico. Nel processo di allontanamento l’energia potenziale del sistema

diminuisce e viene fornito lavoro all’esterno. In conclusione, l’energia potenziale elettrostatica

del sistema di due cariche rappresenta il lavoro di una forza esterna per portare le due cariche

dall’infinito alla distanza r. Il lavoro è positivo se fatto contro la forza repulsiva tra cariche dello

stesso segno, mentre è negativo se le cariche sono di segno opposto. Vale la pena di

sottolineare come il ruolo delle forse del campo elettrico sia opposto a quello delle forze

esterne. Per un sistema contenente più di due cariche occorre calcolare l’energia elettrostatica

di ciascuna coppia e sommare algebricamente i risultati:

1

() = �

2 4

0

≠ 1 va

In cui la sommatoria algebrica si intende estesa a tutte le possibili coppie. Il fattore �

2

aggiunto per compensare il fatto che ciascuna combinazione nella sommatoria è contata due

volte. Una carica distinta dalle precedenti possiede un’energia elettrostatica pari a:

0

0

( ) = �

0 4

0

=1

Per cui l’energia potenziale elettrostatica complessiva del sistema di n+1 cariche è:

() +

= ( )

0

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA (Pagina 34)

Quando la particella, con carica e massa passa dalla posizione A alla posizione B, la sua

,

0

energia cinetica cambia in accordo con il teorema dell’energia cinetica. Prendendo la

1 1

2 2

relazione che esprime la conservazione dell’energia in

+ = +

0 0

2 2

presenza della sola forza elettrostatica possiamo affermare che durante il moto della particella

l’energia totale, somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elettrostatica, rimane

1 2

costante, infatti = + = + = .

0

2

La conservazione dell’energia in un campo uniforme si scrive:

1

1 2 2 )

− = ( −

0

2

2

Nel caso del campo di una carica puntiforme diventa:

1 1 1

1 0

2 2

− = − � − �

2

4

2 0

Def: In ogni caso quando una particella carica viene accelerata guadagna energia cinetica e

perde la stessa quantità di energia potenziale. L’energia totale rimane costante.

IL CAMPO COME GRADIENTE DEL POTENZIALE (Pagina 39)

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