Esercizi di tutto il programma di Analisi matematica 1

ESERCITAZIONE

f(x) = xⁿ

n pari

f(x) = x^-n = 1/xⁿ

n pari

Le funzioni con esponente pari sono funzioni pari

∀x ∈ ℝ, f(x) = f(-x)

f(x) = 1/xⁿ

con n pari

{ƒ: (0,+∞) → (0,+∞)

d: (-∞,0) → (0,+∞)

f(x) = xⁿ

n dispari

punto di flesso

f(x) = x^-n = 1/xⁿ

n dispari

Le funzioni con esponente dispari sono funzioni dispari

∀x ∈ ℝ, f(x) = -f(-x)

INTERVALLI DI MONOTONIA:

f(x) = ¹/_xⁿ, n pari

• (-∞, 0) f(x) = ¹/_xⁿ strettamente crescente
• (0, +∞) f(x) = ¹/_xⁿ strettamente decrescente

f(x) = ¹/_xⁿ con n dispari non è biiettiva su tutto ℝ

• (-∞, 0) strettamente decrescente
• (0, +∞) strettamente decrescente

f(x) = sin x e è periodi → ∃T ∈ ℝ: f(x) = f(x+kT) ∀x ∈ ℝ

PERIODO = il minore tra i possibili T.

periodo di sinx = 2π

J: [^-π/₂, ^π/₂] → [-1, 1] e è biiettiva e invertibile

h - H = { x ∈ ℝ : √x² - ⌊x⌋ }

h(x) è pari. Perché h(x) = h(-x)

= H = { √x² - ⌊x⌋ : x ≥ 0 }

y = x ± x ⋯ 0 ⇒ H è limitato

inf(H) = min(H) =

sup(H) = max(H) =

= 0

i - I = { |sin x| - i : x ∈ ℝ }

im(sin x) = [-1, 1] => im(|sin x|) = [0, 1]

=> im(|sin x| - i) = [-1, 0] => I è limitato

inf(I) = min(I) = -1

sup(I) = max(I) = 0

J - J = { e^-x - 1 : x ∈ ℝ }

im(exp) = (0, +∞) => im(exp - 1) = (-1, +∞)

J è limitato inferiormente

inf(J) = -1

e illimitato superiormente

(2x - 3)²

4x² - 12x + 9 + 3 = 0

∀ x ∈ ℝ

x = 1 ∨ x = 2

e)

(x + 2 / x - 4)² - 17(x + 2 / x - 4)² + 36 = 0

domf = x ≠ 4

t = (x + 2 / x - 4)² → t² - 13t + 36 = 0

t_1,2 = 17 + √69 - 4t₂

9 - (x + 2 / x - 4)² = 9

1)

(x + 2)² = 9(x - 4)² → x² + 4x + 4 = 9x² - 72x + 144

-8x² + 76x - 140 = 0 → 2x² - 19x + 35 = 0

x_1,2 = 19 + √361 - 280

= 7 / 4

= 5 / 2

2)

(x + 2)² = 4(x - 4)² → x² + 4x + 4 = 4x² - 32x + 64

-3x² - 36x + 60 = 0

x_1,2 = 10 / 2

x = 7 ∨ x = 5 / 2 ∨ x = 4 ∨ x = 10

c)

√(2 + x³) - x · x √(2 + x³) = 1 + x

-2 + x³ = 1 + 3x + 3x² - x³ --> 7x² + 3x - 1 = 0

x₁,₂ =

-3 ± √21

------------

6

d) √x - 1 + 1/√x - 1 = x/√x - 1 dom f: x > 1

x² - x - 1 = 0

-1 = -1 ∀ x ∈ D = x > 1

es. 6

a) x - 1 < √x² - 6x + 3 dom f:

√x² - 6x + 3 > x - 1

{ x > 1, x - 6x + 3 > x² - x + 1

x³ - x² - 2x + 2 > 0

(x - 1)(x - 2) > 0

x < 1

es. 5

a)

√x + x = 6 ⟹ √x = 6 - x

√x ≤ 6 - x ⇔ x = x² - 12x + 36

6 - x ≥ 0

x ≤ 6

x₁,₂ = ^{1 ± √(169 - 144)}/₂ ⟹ 9 ⟹ N.A.

4 ⟹ x = 4

_{dom f} = x > 1

b)

√x - 1 - 2√x + 6 + 1 = -5 ⟹ √x - 1 = -5 + 2√x - 6

√x - 1 ≤ -5 + 2√x - 6

-5 + 2√x + 6 ≤ 0 ⟹ 2√x ≤ .5 ⟹ 1ₓ + 2 ≥ 25

x - 1 = 29 + 6x = 20√x + 6 ⟹ 20√x + 6 = 7x + 50

6k ≥ 1 .1 ⟹ x ≥ ¹/₄

400x + 2400 = 9x² + 300x + 2500

9x² - 100x + 100 = 0 ⟹ x₁,₂ = ^{100 ± √10000 + 3600}/₁₈

= (±) ¹⁰/₉ ⟹ x = ¹⁰/₉ ∨ x = 10

√x+2 < √6-x - √5-x

dom f = -2 ≤ x ≤ 5

√x+2 < √6-x - √5-x

√6-x - √5-x > 0

(1)

√x+2 < √6-x - 2√(6-x)(5-x) + 5-x

5-x

6-x ≥ 5-x → 6 ≥ 5 → ∀ x ∈ ℝ

↦ 2√–4x+20 < 9-3x

9-3x

2√–4x+20 < 9-3x V 2√–4x+20 < 9-3x

9-3x < 20 → x ≤ 3

x ≤ 3

5x² – 14x+120 < 5x – 14x+9x ²

5x² – 10x – 39 > 0

x < √

x < 5 – 2√55

x ∈

↦

5-x < 9

2√(5-x)<=

√(x-1) x+3

√(x+1) x+1 ≥0, x≥0

-√(x-1)

√(x+1) x+1 ≥0, x≤0

1)

x+3

√(x-1)(x+1) --------- x+1

--- √x+1 ≥ x+3 --- dom: x≥-1 ---

√x+1 ≥ x+3

x≥-3

---

√x+1 ≥ x+3

x≤-3

x≥-3

x²+5x+6≤0

-5±√25-32

x≤-3

xpath:∈ℝ

2

√x-1 x+3

2)

√(x-1)

√(x+1)(x+1) ------- x-1

---

1-x≥2 x≥3 dom: x≤1

√x-1 x+1

x≤-3 --- x^2+7x+6≤0

x²+7x²+6x+9

---

x+7±√49-32

x≤x≤

1)

1 - |x| - 1 ≥ 0

• 1 + x - 1 ≥ 0, x ≥ 0, x ≤ 1 ∨ x ≥ 1
• 1 + x - 1 ≤ 0, x < 0, x < -1 ∨ x ≥ 0
• -x - 1 + 1 ≥ 0, x ≥ 0, -1 ≤ x ≤ 1
• -x - 1 + 1 ≤ 0, x < 0, -1 ≤ x ≤ 1

• x ≥ -2, x ≥ 1 ⇒ 1 ≤ x ≥ -2
• x > -2, x ≤ -1 ⇒ -2 < x ≤ -1
• x ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x < 1
• x < 0, -1 ≤ x < 0 ⇒ -1 ≤ x < 0

-2 < x ≤ 0 ∨ 0 ≤ x < 2

c)

1 + |x - 1| ≤ 1 - |x + 1|

• 1 + x - 1 ≤ 1 - x - 1, ∃x ∈ ℝ
• 1 + x - 1 ≤ -1 + x + 1, ∃x ∈ ℝ
• 1 - x - 1 ≤ 1 + x - 1, -2.5 ≤ x < 1
• 1 - x - 1 ≤ -1 - x + 1, 0 < x < 1
• 1 + x + 1 ≥ 1 + x + 1, ∃x ∈ ℝ
• 1 + x + 1 ≤ -1 + x + 1, 1.5 ≤ x ≤ 3
• -x + 1 ≤ 1, x ≤ 3
• -x + 1 ≤ -1, x < -1, ∃x ∈ ℝ

x > 1

d)

√|x| - 1 ≥ (x + 3) / (|x| + 1)

dom =

• √ x² - 1 ≥ (x + 3) / (x + 1)
• √ x² - 1 ≥ x + 3, x > 0
• √ x² - 1 ≥ x + 3
• √ x² - 1 ≥ -x + 3, x < 0

x² - 1 ≥ x - 1 ∨ x ≥ -1 ∨ x ≥ 1

|x| ≠ -1 ⇒ ∃x ∈ ℝ

x ≤ -1 ∨ x > 1

7x³-2x²+9x-10 < 0 ⇔ (x-1)(3x²+x+10) < 0

x x < 1

D: 3x-1 < 0 ⇔ x > ¹/₃

-1/3 < x < 1

⇔ x ∈ Iℝ

c) log(^√36-x2_-x) > log(^√1+x2_-x)

dom.:

• √36-x² > x ⇔ -6 < x < 6
• √1+x² > x ∀x ∈ Iℝ

36-x² > 1+x² ⇒ x² < 35 ⇒ -√³⁵/₂ < x < √³⁵/₂ ⇒con dom ⇒ -√³⁵/₂ < x < √³⁵/₂