Analisi matematica II - esercizi

CURVE

Chiamiamo CURVA un'applicazione continua φ: I -> R² dove I è un intervallo della retta reale e ∀t ∈ I φ(t) è il punto di coordinate (x(t), y(t))

{x= x(t) y= y(t)}

Il codominio è detto SOSTEGNO della curva; η un sottoinsieme del piano e non va confuso con la curve che è un'applicazione. Si dice SEMPLICE se co minque presi due punti distinti t₁, t₂ di I di cui almeno uno interno si sussue φ(t₁) ≠ φ(t₂). Si dice CHIUSA in un intervallo chiuso e limitato [a, b] se φ(a)= φ(b). Si dice REGOLARE se l'applicazione φ è di class se C¹ se c' ∈ int I =[a,b] e se ∀t ∈ (a,b) il vettore φ'(t)= (x'(t), y'(t)) ≠ ve So del vettore nullo cioè:

( x'(t₀)² + (y'(t₀))² > 0

┌ (β'(t))² + ┌² (t₀) ≥ 0

La retta tangente in questo caso è: (x- x(t₀))y'(t₀) - (y- y(t₀)) x'(t₀) =0

T(t₀)= (x'(t₀)/ √(x'(t₀))² (y'(t₀))² ; y'(t₀)/√(x'(t₀))² (y'(t₀))² ) vettore tangente

N(t₀)= (y'(t₀)/ - x'(t₀)/ √(x'(t₀))² (y'(t₀))² ; √(x'(t₀))² (y'(t₀))² ) vettore normale

(1)

+ Φ: R → R²     Φ(t) = (t, 2t)

Φ₁(t) e Φ₂(t)

Φ′(t) = (1, 2)

E' regolare perché non si annullano mai contemporaneamente.

È semplice perché Φ(t₁) = Φ(t₂) se e solo se t₁ = t₂, o mente per definizione t₁ ≠ t₂ → Non è chiuso

+ Φ: R → R²     Φ(t) = (t₁, t₂)

Φ(t) = (-3/2 π, 1/2 π]

E' di classe C₁ in tutto l'insieme

Φ′(t) = (-2sin(t), 2 cos(t))

Non è semplice perché Φ(t) = Φ(t + 1) → Quindi è regolare

Non è semplice perché Φ(t₁) = Φ(t₂) con t₁ ≠ t₂

È chiuso perché Φ(t) = (4,0)

+ Φ: [0, 2π] → R²     Φ(t) = (cos t, √λπ t)

E' di classe C₁

Φ′(t) = (-√λπt, cos t)

È regolare

È semplice perché hanno lo stesso valore se t₁ ≠ t₂

È chiuso

perché Φ(t₁) = (4,0)

Φ(t₂) = (4,0)

+ Φ: R → R²     Φ(t) = (t, cos t)

+ Φ: Φ: (t, cos t, √λπ t)     Φ(t) = (3t, 4t)

E' di dom C¹

Φ′(t): = (-sin t, √λπ cos t)

È regolare

Non è semplice perché periodica in R

Non è chiuso

+ Φ: R → R²     Φ(t) = (cos t,t + cos (2 t))

E' di dom C¹

Φ'(t) = (-sin t, 1 + cos(2t))

Non è regolare

Non è semplice

Non è chiusa

+ Φ: [0, π] → R²     Φ(t) = ( λsin t, cos 2t)

E' di dom c¹

Φ(t) = λ sin t cos t

= (2cos t, sin t)

È regolare

È semplice

(2)

Non è chiuso

Φ = {X(t) = r t (t−1),_t = λπ t}

Verifico che è semplice:

Φ(t) ≠ Φ(t₂) se e solo se

la curva è semplice !

Verifico se è chiuso:

Φ(0) = (0, 0)

Φ(2π) = (2π r, 0)

non è chiuso !

Verifico se è regolare:

È di classe c¹ in tutto I = [0, 2π]

Φ′(t) = {γr r t 0

B= (â1-2r-1 cos}, √t

∈)\, noyio is collo alto

(3)

+ Φ: R → R²     Φ(t) = {^{3t / 2, λπ t}}

ρ= (6, 4)

Φ′(t) = (3t² −1, 2t)

Φ′(2) = (l l,4) →

+m

Φ(t) = (t₃ / sin t)

Φ(0) (0,0)

Φ(t) = (x

y

(4)

Φ(t) = {λsin2π, 3lnt)

X = t₁, Y ≠ 2t