Esercizi di esame svolti di Calcolo numerico

Interpolazione

Sono dati n + 1 punti (x_i, y_i), x, y ∈ IR.

i) Si definisca il polinomio interpolante i punti assegnati e si indichi quando tale polinomio esiste ed è unico.

ii) È unico il polinomio che interpola i seguenti dati? -1x 0 1y 2 1 3. Si costruisca il polinomio interpolante utilizzando la rappresentazione di Lagrange e si mostri la correttezza del risultato trovato.

iii) Si costruisca infine il polinomio che interpola i dati -1x 0 1y 4 5 0 e si mostri la correttezza del risultato trovato.

Svolgimento Esercizio 10) Il polinomio interpolante n + 1 punti (x_i, y_i) è il polinomio p(x) di grado al più n tale che p(x_i) = y_i, i = 1, ..., n. Il polinomio interpolante esiste ed è unico quando i nodi x sono distinti.

ii) Il polinomio che interpola i dati assegnati è unico poiché i nodi x sono distinti. Il polinomio interpolante di Lagrange ha la forma p(x) = l₀(x)y₀ + l₁(x)y₁ + l₂(x)y₂ dove l₀(x), l₁(x), l₂(x) sono le funzioni di Lagrange.

• − 2(x² + x)(x² + x + 1) = 0
• l(x) = − (x² + x)(x² + x + 1) / ((−1)(0)(−1)(1)) = 0
• 2(x² + x)(x² + x + 1) / ((0 + 1)(0 − 1)) = 1
• 2(x² + x)(x² + x + 1) / ((1 + 1)(1 + 0)) = 2
• l(x) = 1
• 2(x² + x)(x² + x + 1) / ((1 + 1)(1 − 0)) = x + x0 + 1
• l(x) = 1
• 2(x² + x)(x² + x + 1) / ((2 + 1)(2 + 0)) = x + x + 1
• p(x) = 2 − 12x² + 2x² + 2x + 1
• Il risultato trovato è corretto perché p(−1) = 2, p(0) = 1, p(1) = 3
• p(x) = −2(x² + x)(x − 1) − 3x − 2
• Il risultato trovato è corretto perché p(−1) = 4, p(0) = 5, p(1) = 0
• Sono dati n + 1 punti (x_i, y_i), x_i, y_i ∈ IR
• Si definisca il polinomio interpolante i punti assegnati e si indichi quando

talepolinomio esiste ed è unico.

ii) Assegnati i dati −2 −1x 0 1−2y 1 0 0si costruisca il corrispondente polinomio interpolante utilizzando la rappresentazionedi Newton e si mostri la correttezza del risultato trovato.Si aggiunga quindi il punto (2, 1) e si determini il nuovo polinomio interpolante.

iii) Si scriva la forma generale del polinomio di Lagrange interpolante i punti(x , y ), i = 0, . . . , n.i iSvolgimento Esercizio 11 {(x ni=0i) Il polinomio interpolante n + 1 punti , y )} , è il polinomio p(x) di grado al più n talei iche p(x ) = y , i = 1, . . . , n. Il polinomio interpolante esiste ed è unico quando i nodi x sonoi i idistinti.

ii) Per svolgere in modo efficiente questo punto, conviene costruire la tavola delle differenzaconsiderando tutte le coppie di punti assegnati. La tavola delle differenze finite è la seguente−2),Indichiamo con p(x) il polinomio interpolante i punti (−2, 1), (−1, 0), (0, (1, 0) e conq(x) il polinomio

interpolante i punti precedenti e l'ulteriore punto (2, 1). Abbiamo:

p(x) = A + A (x - x0) + A (x - x0)(x - x1) + A (x - x0)(x - x1)(x - x2),

q(x) = p(x) + A (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3),

dove A = 5/51, A = -1/40, A = 1/2, A = 2/6, A = 12/12.

Quindi:

p(x) = 1 (x + 2) (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)(x - 0) = x + 2x^2 + 2x + 1,

q(x) = x + 2x^2 + 2x + 1 + (x + 2)(x + 1)(x - 0)(x - 1) = x + x^2 + 2x + 1.

Si verifica la correttezza di p(x) e q(x) verificando il soddisfacimento delle condizioni di interpolazione.

(iii) Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange è definito come segue:

p(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + ... + ln(x)yn,

dove:

l0(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xn)/(x0 - x1)(x0 - x2)...(x0 - xn),

l1(x) = (x - x0)(x - x2)...(x - xn)/(x1 - x0)(x1 - x2)...(x1 - xn),

...

ln(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)/(xn - x0)(xn - x1)...(xn - xn-1).

6 Az }| {45− −56 5 −2+2 =2 =0 -2 61+1 2+2 120+2 =21−0 − −212 − 561 0 =2+1−1−0 1−2 12=1 =2−1 2−02 1con ∏n − − − − − −(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )1 2 i−1 i+1 nkl (x) = = , i = 0, . . . , ni − − − − − −(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )i i 1 i 2 i i−1 i i+1 i nkk =1̸k = i12) È data la funzione polinomiale a tratti{ ∈s (x) x [x , x )1 0 1s(x) = ∈s (x) x [x , x ]2 1 2con 3 2 3 2s (x) = a x + b x + c x + d , s (x) = a x + b x + c x + d1 1 1 1 1 2 2 2 2 2i) Si indichino le condizioni che s(x) deve soddisfare per essere una spline cubica.ii) Verificare se, ponendo x = 1, x = 2, x = 3 e0 1 2−4 − − −3 2 3 2s (x) = x + 18 x 24 x + 11, s (x) = 4 x 30 x + 72 x 541 2s(x) è una spline cubica. 12Svolgimento Esercizio 12i) La funzione polinomiale a tratti { ∈s (x) x [x , x )1 0 1s(x) =

1. Per essere una spline cubica, la funzione s(x) deve soddisfare le seguenti condizioni:
   • Continuità della funzione s(x) fino alla seconda derivata in tutti i punti di intersezione tra i segmenti.
   • Continuità della prima derivata della funzione s(x) nei punti di intersezione tra i segmenti.
   • Continuità della seconda derivata della funzione s(x) nei punti di intersezione tra i segmenti.
2. Verifichiamo se s(x) è una spline cubica ponendo x = 1, x = 2, x = 3 e ottenendo:
   • s(1) = 1 + 18(1) + 1(1)^2 + 11 = 1 + 18 + 1 + 11 = 31
   • s(2) = 4(2) + 72(2) + 2(2)^2 - 54 = 8 + 144 + 8 - 54 = 106
   • s(3) = 4(3) + 72(3) + 2(3)^2 - 54 = 12 + 216 + 18 - 54 = 192
   Poiché s(1) = 31, s(2) = 106 e s(3) = 192, possiamo concludere che s(x) non è una spline cubica perché non soddisfa le condizioni di continuità della prima derivata nei punti di intersezione tra i segmenti.

− − −3 2 3 2s (x) = x + 23 x 31 x + 13, s (x) = 3 x 22 x + 51 x 351 2s(x) è una spline cubica.

Svolgimento Esercizio 13

i) La funzione polinomiale a tratti

{ ∈3 2s (x) = a x + b x + c x + d x [x , x )1 1 1 1 1 0 1

s(x) = ∈3 2s (x) = a x + b x + c x + d x [x , x ]2 2 2 2 2 1 2

è una spline cubica se ⇒

s(x) s (x ) = s (x )

s(x) = limlim 1 1 2 1− +x→x

11 ′ ′ ′′ ⇒s (x) s (x ) = s (x )

s(x) = limlim 1 11 2− +x→x

11 ′′ ′′ ′′′′ ⇒s (x) s (x ) = s (x )

s(x) = limlim 1 11 2− +x→x

11 13 −1.

ii) Si noti che s (x ) = s (x ) = 3 e s (x ) = 1, s (x ) = Quindi s(x) non è una spline

1 1 2 1 1 1 2 1

cubica.

14) È data la funzione polinomiale a tratti

{ ∈s (x) x [x , x )1 0 1

s(x) = ∈s (x) x [x , x ]2 1 2

i) Posti x = 1, x = 2, x = 3 e

0 1 2

11 75 11 189− − − −3 2 3 2s (x) = x + 26 x x + 18, s (x) = x

40 x + x 701 22 2 2 2verificare se s(x) è una spline cubica.

ii) In caso affermativo stabilire se s(x) interpola i punti (1, 1), (2, 3), (3, 2).

Svolgimento Esercizio 14

i) La funzione polinomiale a tratti { ∈s (x) x [x , x )1 0 1s(x) = ∈s (x) x [x , x ]2 1 2con 3 2 3 2s (x) = a x + b x + c x + d , s (x) = a x + b x + c x + d1 1 1 1 1 2 2 2 2 2è una spline cubica se ⇒lim s(x) = lim s(x) s (x ) = s (x )1 1 2 1− +x→x x→x1 1′ ′ ′ ′⇒lim s (x) = lim s (x) s (x ) = s (x )1 11 2− +x→x x→x1 1′′ ′′ ′′ ′′⇒lim s (x) = lim s (x) s (x ) = s (x )1 11 2− +x→x x→x1 1 ′ ′′ ′′′ −141s(x) è una spline cubica perché s (2) = s (2) = 3, s (2) = s , s (2) = s (2) =(2) =1 2 1 1 22 2

ii) s(x) interpola i punti (1, 1), (2, 3), (3, 2). Infattis(1) = s (1) = 1, s(2) = s (2) = s (2) = 3, s(3) = s (3) = 21 1 2 214MIGLIORE

1. APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI
2. Sono dati m punti (x_i, y_i), x_i, y_i ∈ IR, x_i = x_j se i = j.
3. Si consideri il problema di determinare il polinomio p(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k, 0 < k < m-1, di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
4. i) Si definisca il vettore deviazione e il problema della migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
5. ii) Assegnati i punti (-3, -1), (2, 5), (1, 2), (3, 1), si determini la parabola di migliore approssimazione.
6. Svolgimento Esercizio 15)
7. Siano dati m punti (x_i, y_i), x_i, y_i ∈ IR, x_i = x_j se i = j, determiniamo il polinomio p(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k, k < m-1, di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
8. Il vettore deviazione d ∈ IR^m è tale che d = (d₁, d₂, ..., d_m) = (p(x₁) - y₁, p(x₂) - y₂, ..., p(x_m) - y_m).

deviazione rappresenta lo scarto fra il valore di p(x) nei punti x e i dati assegnati y, per i = 1, . . . , m.

Calcolare il polinomio p(x) = a + a₁ x + ... + a_k x^k di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati significa calcolare a₀, a₁, ..., a_k in modo che sia minimo il quadrato d