Esercizi svolti Calcolo numerico

Q

iii) det(A) = det(L) det(U ) = 1 u =

ii

i=1



 2 0 1

−1 12

− ×

0 0 , K (A) = 3 6 = 18

iv) A = 

 ∞



 12 1

− −

1 4

Esercizio 4: Assegnati la matrice A ed un parametro reale α, con:

 

α 2 0

−4

2 6

A = ,

 

 

−4

0 0

si chiede di:

i) stabilire per quali valori del parametro α è possibile fattorizzare la matrice A;

ii) fattorizzarla per il valore di α = 2;

iii) calcolare il determinante di A con il valore di α = 2;

iv) calcolare K (A) con il valore di α = 2.

∞

Svolgimento:

i) Per il teorema di fattorizzazione tutti i minori principali di testa della matrice devono avere

determinante diverso da zero fino all’ ordine 2, quindi i valori di α che consentono la fattoriz-

2

6 − 6 6 6

zazione sonoα = 0 e 6α 4 = 0; ovvero α = 0 e α = ,

3

ii) Poniamo α = 2

2 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 0

−4 −4 −1 −4 −1

−→ −→

2 6 0 1 0 0 4 1 0 0 4 1 0

−4 −4 −4 −1

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

   

1 0 0 2 2 0

−4

1 1 0 0 4

L = U =

   

   

−1 −4

0 1 0 0

12

iii) Per il teorema di Binet 3

Y

×

det(A) = det(L) det(U ) = 1 u

ii

i=1

−32

e quindi det(A) =

iv) Per il calcolo della matrice inversa e del numero di condizionamento si veda, ad esempio l’

esercizio n.1.  

1 0 1

2

−1 14 34

− ×

0 0

In questo caso abbiamo A = K (A) = 12 = 9

  ∞

 

1 1 1

− −

4 4 4

Esercizio 5: Assegnata la matrice 

 4 4 6

0 0 2 

 

 −4 0 0

i) se ne determini l’ inversa ed il determinante (utilizzando il metodo di Gauss con

pivot se necessario);

ii) si calcoli il numero di condizionamento in norma 1 della matrice di cui sopra.

Svolgimento: −1

Dobbiamo calcolare la matrice A e la sua norma 1. Impostiamo i tre sistemi con i vettori dei

termini noti uguali ai primi tre vettori canonici ed applichiamo il metodo di Gauss per risolvere

i sistemi con tecnica di pivot parziale al secondo passo. 

 4 4 6

0 0 2

A = 

 

 −4 0 0

4 4 6 1 0 0 1 0 0 1 0 0

4 4 6 4 4 6

con il pivot parziale

−→ −→

0 0 2 0 0 2 0 4 6

0 1 0 0 1 0 1 0 1

−4 0 0 0 0 1 0 4 6 1 0 1 0 0 2 0 1 0

 

1

−

0 0 4

−1 1 34 1

−

Risolvendo i tre sistemi otteniamo le colonne della matrice inversa A = .

 

4 4

 

1

0 0

2

Si ricorda che in presenza di pivot parziale/totale il determinante della matrice cambia segno

per ogni scambio di righe/colonne effettuato. Quindi

1 × × × −32

det(A) = (−1) 4 4 2 =

e 5

×

K (A) = 8 = 10

1 4

Esercizio 6: Assegnato il sistema lineare

     

−2 −1

0 1 x 1

0 1 1 x 0

= ,

     

2

     

−3 −1 −4

0 x 3

13

i) se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con la variante del

pivoting totale

ii) si calcoli il determinante della matrice dei coefficienti.

Svolgimento:

Applichiamo il metodo di Gauss con pivot totale ed otteniamo:

−2 −1 −3 −1 −4 −3 −1 −4

0 1 0 0

con il pivot totale

−→ −→

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

5 5

−3 −1 −4 −2 −1

0 0 1 0 0 3 3

−1,

La soluzione del sistema è x = 1, x = x = 1

3 2 1 5

1 ×(−3)× = 5

Ricordando uno scambio di riga al primo passo di Gauss abbiamo det(A) = (−1) 3

Esercizio 7: Assegnata la matrice A ed il vettore b 

 

 −1 0

1 0 3

2 0 1 b =

A = 

 

 

 

 −1

−1

0 0

i) fattorizzare la matrice A;

ii) calcolare il determinante della matrice A;

iii) risolvere il sistema Ax = b con il metodo di Gauss con pivot parziale.

Svolgimento:

i) −1 −1 −1

1 0 1 0 1 0

−→ −→

2 0 1 0 2 1 0 2 1

12

−1 −1

0 0 0 0 0 0

   

−1

1 0 1 0 0

0 2 1 2 1 0

U = , L =

   

   

12 1

−

0 0 0 1

2

1

× ×

ii) det(A) = 1 2 =1

2

iii) −1

1 0 0 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3

con il pivot parziale 12 3 12 32

−1 −1 − − −1 − −

−→ −→ −→

2 0 1 3 1 0 0 0 0

2 1 1

−1 −1 −1 −1 −1 −1

0 0 0 0 0 0 0 0 2 2

 

1

1

x =  

 

1

Esercizio 8: Assegnata la matrice A 14 

 −2 0 1

0 1 1 

 

 −3 −1

0 −1

kAk · kA k

se ne determini il numero di condizionamento K (A) = . Si calcoli l’

∞ ∞ ∞

inversa con il metodo di Gauss. Si discuta il condizionamento ottenuto.

Svolgimento:

Per la spiegazione si veda, ad esempio esercizio n.1.

−2 −2

0 1 1 0 0 0 1 1 0 0

−→

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0

52 3

−3 −1 − −

0 0 0 1 0 0 0 1

2

 

1 1

− −

0

5 5

−1 3 25

− 1

A =  

5

 

3 25

−

0

5

kAk = 4

∞

−1

kA k = 2

∞ ×

K (A) = 4 2 = 8

∞

Esercizio 9: Assegnato il sistema lineare

     

1 1 1 x 3

1

0 1 0 x 1

=

     

2

     

−1

3 1 x 1

3

i) se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con la tecnica del

pivoting parziale

ii) si stabilisca se la matrice dei coefficienti è fattorizzabile e se ne determini quindi

la fattorizzazione LU .

Svolgimento:

i) Applichiamo il metodo di Gauss che serve per ottenere la fattorizzazione e la soluzione del

sistema lineare. −1 −1

1 1 1 3 3 1 1 3 1 1

con il pivot parziale con il pivot parziale

−→ −→ −→

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

43 23 8

−1

3 1 1 1 1 0

1 3 3

−1 −1

3 1 1 3 1 1

43 23 8 43 2 8

−→

0 0

3 3 3

12

− −1

0 1 0 1 0 0

La soluzione è x = 2, x = 1, x = 0

3 2 1

15

ii) Fattorizzazione: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

−→ −→

0 1 0 0 1 0 0 1 0

−1 −4 −2 −2

3 1 0 0 0 

 

 1 1 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 , U =

L = 

 

 

 

 −2

−4 0 0

3 1

Esercizio 10 : Data la matrice 

 −1 −1

1

−2

1 0

A = 

 

 0 1 0

se ne determini K (A).

∞

Svolgimento:

Applichiamo il metodo di Gauss. Per la spiegazione si veda,ad esempio esercizio n.1.

−1 −1 −1 −1 −1 −1

1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1

−2 −1 −1 −1 −1

−→ −→

1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1 0

−1

0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 1 1

 

0 1 2

−1 0 0 1

A =  

 

−1 −1 −1

×

K (A) = 3 3 = 9

∞

Esercizio 11 : Dato il sistema lineare

     

−1 −1 −2

1 x 1

−2

1 0 x 1

=

     

2

     

0 1 0 x 0

3

se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con pivoting totale.

Svolgimento:

Applichiamo il metodo di Gauss:

−2 −1 −1 −2 −2

−1 −1 1 1 0 1

1 con il pivot totale con il pivot totale

−2 −2 −1 −1 −2

−→ −→ −→

1 0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

−2 −2

1 0 1 1 0 1

con il pivot totale

1 3 12 3

−1 − −1 − −

−→

0 0

2 2 2

1 1 1 1

0 0 0 0

2 2 2 2

16

La soluzione del sistema ottenuto con gli scambi del pivot totale è

y = 1, y = 1, y = 0.

3 2 1

Dovendo necessariamente riordinare le incognite, la soluzione del sistema iniziale è

T

−→

x = y , x = y , x = y x = (1, 0, 1) .

2 1 3 2 1 3

Esercizio 12: Assegnata la matrice A ed il vettore f 

 

 1

2 k 0

−1 0

3 1 , f =

A = 

 

 

 

 1

0 1 4

si chiede di:

i) determinare i valori di k per cui la matrice non è fattorizzabile;

−1

ii) se per k = la matrice è fattorizzabile, fattorizzarla con il metodo di Gauss;

iii) calcolare det(A); iv) calcolare la soluzione del sistema Ax = f .

Svolgimento:

Per le spiegazioni si veda ad esempio esercizio n.6.

6 6 −6,

i) Per 6 + k = 0, ovvero k = è fattorizzabile.

−1

ii) k = −1 −1 −1

2 0 1 1 1

2 0 2 0

52 52

12 1

−1 −→ −→

3 1 0 0

0 1 1 2

4

18

1 1

0 1 4 0 1 4 0 0 5 5



  

−1

2 0

1 0 0 52

1

− 0

1 0 1

, U =

L = 

  

2 

  

2 18

0 0 0

1

5 5

5 18

× ×

iii) det(A) = 2 = 18.

2 5

iv) Soluzione del sistema 2 1 5

x = , x = , x = .

3 2 1

9 9 9

17

Sistemi lineari: Metodi Iterativi

(Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel)

Esercizio 1: Dato il sistema  −

4 x + 3 x x =1

1 2 3



 −2 −

x 4 x + 5 x = 2

1 2 3

 x + 2 x + 6 x =3

 1 2 3

i) si scriva la matrice di iterazione P del metodo di Gauss-Seidel e la condizione

GS

che assicura la convergenza delle iterate

ii) si parli della scelta del vettore iniziale {0, −0.4167}

iii) sapendo che gli autovalori di P sono 0.3750, si chiede di stabilire

GS

se è possibile applicare il metodo di Gauss-Seidel

iv) se la risposta alla domanda precedente è affermativa, eseguire due iterazioni del

metodo.<