Esercizi d'esame (esame : Calcolo numerico)

Pag 176 esercizio 7.15

A = _K∈IR

Soluzione: A è simmetrica.

Una matrice è definita positiva se tutte:

• del A₁ = 2k - 1
• del A₂ = 2(k - 1) - (2 - ¹/₂) + ¹/₂( - ¹/₄ - k) > 0

Il valore di k per cui risulta Al_∞ minim:

Per ⁴/₃ < |k| < ³/₂

Cap 81 esercizio 7.29

f(x) = cos x - e^-x

Soluzione

Determinare con almeno due cifre esatte le ascisse di due punti di massimo e minimo assoluto nell'intervallo I: [0,2,0,7]

• x₁ = 0,5287 3519 ⟹ f(x₁) = 0,2764 4827
• x₂ = 0,9528 3274 28 ⟹ f(x₂) = -0,2078 79456

X = 1,5707 96327

Verificare sul sistema proposto:

1. se la matrice dei coefficienti è definita positiva
2. se il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente
3. se il metodo di Jacobi risulta convergente e quindi iterata nulla per dare ‖E‖_∞<10^-4 dove E_n è l’errore di troncamento

1) la matrice dei coefficienti è:

2¹ -2 1

3 -6 3

1 -2 1

si risolvono il sistema

U1: X – Y + 2Z =1

CD2: X^-1

LA MATRICE DEI COEFFICIENTI

UNA MATRICE è definita POSITIVA SE SODDISFA IL CRITERIO DI SYLVESTER

det A₃ = 2 ∣ A = SIMMETRICA

det A₁ = 0 det A₂ ≥ 0

ORDINIO minimante → il valore di Delta

SIGª La matrice è definita positiva poiché i suoi determinanti

sono maggiori di zero

³  -A ³ ≤ 0 →

IL METODO DI GAUSS-SEIDEL CONVERGE

3) chiude gli elementi sulla diagonale principale sono diversi da zero

è possibile con il metodo di Jacobi E

C_j= D^-1∣ (L U) = I

I O I

@ 2

Esercizio 1-A esame 12 (Luglio 2017)

1) Determinare i valori di α, β per la quale la matrice è definita positiva.

2) Individuare un metodo iterativo adatto ad approssimare le soluzioni del sistema lineare:

• A (x=0, y=1) x = b
• B = [-1, 0, 3]

Svolgimento

È facile notare che la matrice A (α, β) è una matrice simmetrica poiché A (>), quindi per verificare che A (α, β) sia definita positiva, è necessario che siano veri tutti i determinanti di testa di A (α, β) debbono essere maggiori di zero.

• β > 0
• β > 0 ⇒ 3β > 0 ⇒ β > 0
• det 3 = 3β > 0 ⇒ β > 0
• det
  • α 0 1
  • 0 3 α
  • 1 β 8
  ⇒ β(2α - 2α) + 1x(-3) > 0

2αβ - β² - 3 > 0 ⇒ α² < 24 - 3/β

β = 1/8

24 - β > 0 ⇒ 24 - 3/β

Dunque la matrice è definita positiva per questi valori:

β = 3/8

Lavoro il sistema lineare: (con α = 0, β = 2) e B = [-1, 0, 3]^T

• 1/2 x + 0 + z = -1
• 0 + 3y + 0 = 0
• 1x + 0 + 8 = 3

⇒ Ax = B con A =

• 1/2 0 1
• 0 3 0
• 1 0 8

Esercizio 7.32 pag 198

Alla funzione f(x) sono noti i valori in tabella

1. Approssimare ∫₀¹f(x) dx con la formula di trapezi utilizzando cinque nodi della tabella opportunamente scelti
2. Dare una stima del relativo errore di troncamento
3. Dare una maggiorazione dell'errore di propagazione

Svolgimento

Per approssimare ∫₀¹f(x) dx con la formula di trapezi utilizzo i seguenti nodi: 0, 2, 4, 6, 8 dunque il passo h sarà: h=0,250

Calcolo la parte approssimata:

S_Tⁿ = _h/2 [f(a) + 2 ∑ f(x_i) + f(b)] = _0,250/2 [1,0000 + 2(0,7780 + 0,6065 + 0,4724) + 0,3679]

S_Tⁿ = 0,635425

Per dare una stima dell'errore di troncamento uso il criterio di Runge

R_Tⁿ = S_Tⁿ - S_T²ⁿ ➔ dunque calcolo la parte approssimata con passo 2h

S_Tⁿ = _0,25/2 [1,0000 + 2(0,7780 + 0,6065 + 0,4724 + 0,3679)]

S_T²ⁿ = 0,654625 ➔ 0,645225

R_T = S_Tⁿ - S_T²ⁿ = _0,635425/0,645225 ➔ 8,0075_-4 ➔ errore di troncamento

Errore di propagazione

• |R_T|≤ ε (b-a)
• |R_T| ≤ 0.5 × 10 ^-4 (1-0) ➔ |R_T| ≤ 0.5 × 10 ^-4

L'errore di propagazione è trascurabile rispetto all'errore di troncamento

Quindi l'integrale vale

I = ∫(f) + R_n (f) = 0,635425 + (-3,2708 ^10-4) ≈ 0,6321417

Esercizio 7.28 pag 180

I = ∫₀¹ e^-x dx

SVOLGIMENTO

Per fornire una stima dell'errore di troncamento nel metodo dei trapezi utilizzo la seguente relazione:

|R_T| ≤ ((b - a)³)/12 * max_x∈[a,b]|f''(x)|

dunque b-a = 1-0 h = b-a/10 = 0.1

Calcolo la derivata seconda di f(x)

f(x) = -e^-xx + e^-x

f''(x) = e^-x(x - 2) = 0

Il valore massimo in modulo nell'intervallo [0,1] è in corrispondenza di:x = 0

Per verificarlo sulla calcolatrice, svolgere x mod x (TABLE) inserire la funzione f(x) = e^-x(x - 2) rispetto specifici start dicco 0 presso dicco.

|R_T| ≤ (0.1)² * e(0 - 2) ⇒ |R_T| ≤ (0.1)² * 1 * e(0)^-2 = A

|R_Pf| ≤ A|R_Pf| ≤ A sarà sicuramente minore

|R_Pf| = |((b-a)⁵ * h⁴)/180 * f⁽⁴⁾ (r)| con r∈[a,b]

f⁽⁴⁾(x) = e^-x(x - 4)

max_x∈[0,1]f(x)= il max

⇒ (b-a)⁵ * e^(-1)) < e^-0.1) ⇒ h ≤ (0.186*10^-2)

h < 0.52331

h = a-b/m*nm

n = a-b/h = 1/0.52331 = 1.91 ≈ 2

dunque il numero di nodi è ├3┤ perché il numero di intervalli è →

Esercizio 7,48 pg 187

f(x) = ax + a - 1

• x_λ: -1 0 1 2 3
• f: 4.07 4.92 4.85 8.18 11.05

SVOLGIMENTO

Dunque valendo i coefficenti della retta di regressone

b₀, b₁

b₀, a₀, a₁, a₄, b₀

dove n^-1 ∑ x

g ₂, i⁰

b₂, μ_x = ∑ o, yi

b₂, μ = ∑ y_x, μ = ∑ x _i

5a₀ + 5a₁ = 24.93

5a₀ + f(0.19 (4.92) [4.85] [2.818] [3.4 05 ...].

b₃, i : [-1], -1, (0.19 [4.92]) :

F(x) = 3.05 X + 1.936

a₁₁, λ = 3.05

x, scrivere F(X) = a_{à, ixo} + a_o

g (3.05x + 1.936 .

E' facile notole dic tre 19858666667 e 19.944 e ple accarola la

b_x, o₂ = gate 4.942 4.944 8 11.05 = 4.197 + λ (4.485) + 11.05 = 19.58666667

tabole adesso il valore dell seguente , integrale

∫⁸₃ F(x) dx = ∫^|_result 3.05X + 1.936 dx

dunque risolvo col tempo

∫⁸₂ ³⁰⁵_x² + . 1936 X) ¹_{3 = 19.914}

loche il valone esatto del integrale ec 20 allolo

∫⁸₂ β(x) 20 → ∫^o₂ ax + a -1 dx = 20 → [a x² (-0-1)x) ]₃

x^| = 4.92 4.95 (;2.8) [4.05]

[2a, 1] = 24|

Dato i dati sono una pertubazione ds valora assumta, della

dove: dx

elongamenta e facolta di ca9 9V aeste