Esercizi di Calcolo numerico con svolgimento completo

F

i) Si indichi l’insieme dei numeri di macchina.

ii) Assegnati vettori 12 −4.7654),

x = (−56.8765, 0.003, 1.2811), y = (−0.1 10 ,

si rappresentino in macchina.

kxk kxk kxk kxk

iii) Dopo aver definito ,kxk e , si calcolino , usando l’aritmetica

∞ ∞

1 2 1

dell’elaboratore.

iv) Si definisca la precisione di macchina e si indichi il valore di per l’elaboratore

m m

sopra descritto.

Svolgimento Esercizio 2.

F ∈

i) L’insieme dei numeri di macchina è costituito dai numeri x IR della forma

b

± 6 −9 ≤ ≤

x = 0.a a a β , dove a = 0, β = 10, b 9.

1 2 3 1

F(β, F(10, −9,

Quindi si indica m, L, U ) = 3, 9).

ii) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati:

−2 −2

2 1 2 1

⇒

x = (−0.568765 10 , 0.3 10 , 0.12811 10 ) f l(x) = (−0.569 10 , 0.300 10 , 0.128 10 )

1

12 1 12 −0.477

−0.47654 ⇒ , 10 )

y = (−0.1 10 , 10 ) f l(y) = (−0.100 10

{z }

| overf low

n

∈

iii) Posto x IR , x = (x , x , . . . , x ), si ha

1 2 n v

n n

u

X X

u 2

kxk |x |, kxk kxk |x |.

= = x , = max

∞

1 i 2 i

t i 1≤i≤n

i=1 i=1

Usando l’aritmetica dell’elaboratore abbiamo −2

2 1

kf ⊕ ⊕

l(x)k = 0.569 10 0.300 10 0.128 10

1 2 2 1

⊕ ⊕

= 0.569 10 0.000 10 0.128 10

2 2 2

⊕

= 0.569 10 0.013 10 = 0.582 10 (1)

2

kf

e l(x)k = 0.569 10 .

∞

iv) La precisione di macchina è la limitazione superiore all’errore relativo commesso nel

m

rappresentare un numero x in macchina:

|x − f l(x)| ≤ ∈ 6

, x IR, x = 0

m

|x|

La precisione di macchina dipende dalla base di numerazione β, dal numero m di cifre disponibili

per la mantissa e dalla tecnica utilizzata per formare il floating. Il valore di per l’elaboratore

m

−2

12 1−m

β = 0.5 10

descritto è =

m 3

3) Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β = 10, arit-

metica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = 4 le cifre a disposizione

della mantissa e n = 1 le cifre per la caratteristica, escluso il segno.

F

i) Si indichi l’insieme dei numeri di macchina ed il valore della precisione di

macchina.

ii) Si rappresentino in macchina i seguenti vettori −8 −9

−0.02), −0.02),

x = (45.69364, y = (45.698, z = (−0.036 10 , 0.01 10 )

iii) Usando l’aritmetica dell’elaboratore e la norma 1, si calcoli l’errore relativo a

meno del quale y approssima x.

Svolgimento Esercizio 3.

F ∈

i) L’insieme dei numeri di macchina è costituito dai numeri x IR della forma

b

± 6 −9 ≤ ≤

x = 0.a a a a β , dove a = 0, β = 10, b 9.

1 2 3 4 1

F(β, F(10, −9,

Quindi si indica m, L, U ) = 4, 9). 12 1−m

Dato che l’elaboratore opera per arrotandamento, la precisione di macchina è = β =

m

−3 −4

1 10 = 5.0 10 .

2

ii) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati:

−1 −1

2 2

−0.2 ⇒ −0.2000

x = (0.4569364 10 , 10 ) f l(x) = (0.4569 10 , 10 )

−1 −1

2 2

−0.2 ⇒ −0.2000

y = (0.45698 10 , 10 ) f l(y) = (0.4570 10 , 10 )

−9 −10 −9 −10

⇒

z = (−0.36 10 , 0.1 10 ) f l(z) = (−0.3600 10 , 0.1 10 )

{z }

|

underf low n

n |z |

∈ kzk P e

iii) Ricordiamo che la norma 1 del vettore z IR , z = (z , z , . . . , z ) è = i

1 2 n 1 i=1

l’errore relativo a meno del quale y approssima x è

kx − yk

1

e =

R kxk 1

Usando l’aritmetica dell’elaboratore otteniamo −1 −1

2 2

kf k(0.4569 −0.2000 −0.2000

l(x) f l(y)k 10 , 10 ) (0.4570 10 , 10 )k

1 1

e = =

R −1

2

kf k(0.4569 −0.2000

l(x)k 10 , 10 )k

1 1

−1

k(−0.1000 10 , 0.0000)k

1

= −1

2 −0.2000

k(0.4569 , 10 )k

10 1

−1 −1

2 ⊕

= 0.1000 10 (0.4569 10 0.2000 10 )

−1 2 2

⊕

= 0.1000 10 (0.4569 10 0.0002 10 )

−1 −3

2

= 0.1000 10 0.4571 10 = 0.2188 10

4) Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β = 10,

aritmetica floating-point e tecnica di troncamento. Siano m = 4 le cifre a disposizione

della mantissa e n = 1 le cifre per la caratteristica, escluso il segno.

4

F

i) Si indichi l’insieme dei numeri di macchina ed il valore della precisione di

macchina.

ii) Si rappresentino in macchina le seguenti matrici

! !

7 8

−56.924 −4.008765 −56.0 −40.9

10 10

A = B = −12

−0.00452 1.1 0.1 10 0.0

iii) Usando l’aritmetica dell’elaboratore si calcoli la norma 1 e la norma infinito di

A.

Svolgimento Esercizio 4.

F ∈

i) L’insieme dei numeri di macchina è costituito dai numeri x IR della forma

b

± 6 −9 ≤ ≤

x = 0.a a a a β , dove a = 0, β = 10, b 9.

1 2 3 4 1

F(β, F(10, −9,

Quindi si indica m, L, U ) = 4, 9). −3

1−m

Dato che l’elaboratore opera per troncamento, la precisione di macchina è = β = 10 .

m

ii) Rappresentiamo in macchina le matrici A e B: !

! 2 1

2 1 −0.5692 −0.4008

−0.56924 −0.4008765 10 10

10 10 ⇒ f l(A) =

A = −2

−2 1

1 −0.4520

−0.452 10 +0.1100 10

10 +0.11 10 overf low

 

z }| {

!

9 10 10

9

−0.560 −0.409

10 10 −0.5600 −0.4090

10 10

 

⇒ f l(B) =

B =  

−12 −12 0

+0.1 10 +0.0  

+0.1000 10 +0.0000 10

 

| {z }

underf low

2×2

∈ kf {|a | |a |, |a | |a |} kf

iii) Posto A = (a ) IR abbiamo l(A)k = max + + e l(A)k =

∞

ij 1 11 21 12 22

{|a | |a |, |a | |a |}.

max + +

11 12 21 22 kf kf

Usando l’aritmetica dell’elaboratore calcoliamo l(A)k e l(A)k .

∞

1

n o

−2

2 1 1

kf ⊕ ⊕

l(A)k = max 0.5692 10 0.4520 10 , 0.4008 10 0.1100 10 (2)

1 n o

2 2 1 1 2

⊕ ⊕

= max 0.5692 10 0.0000 10 , 0.4008 10 0.1100 10 = 0.5692 10

n o

−2

2 1 1

kf ⊕ ⊕

l(A)k = max 0.5692 10 0.4008 10 0.4520 10 0.1100 10 (3)

∞ n o

2 2 1 1 2

⊕ ⊕

= max 0.5692 10 0.0400 10 , 0.0004 10 0.1100 10 = 0.6092 10

5) Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β = 10, arit-

metica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = 3 le cifre a disposizione

della mantissa ed n = 1 le cifre per la caratteristica, escluso il segno.

i) Si indichi l’insieme dei numeri di macchina ed il valore della precisione di macchina.

5

ii) Utilizzando lo sviluppo troncato di Taylor, sin(x) può essere approssimato medi-

3 5

x x

−

ante il valore s = x + . Usando l’aritmetica dell’elaboratore si calcoli il valore

3! 5!

3

di s per x = .

11

iii) Si usi la definizione di errore relativo per confrontare il valore di s calcolato al

3

punto precedente con il valore di sin( ) ottenuto con la calcolatrice scientifica.

11

Svolgimento Esercizio 5

F ∈

i) L’insieme dei numeri di macchina è costituito dai numeri x IR della forma

b

± 6 −9 ≤ ≤

x = 0.a a a β , dove a = 0, β = 10, b 9.

1 2 3 1

F(β, F(10, −9,

Quindi si indica m, L, U ) = 3, 9). 12 1−m

β =

Dato che l’elaboratore opera per arrotondamento, la precisione di macchina è =

m

−2

1 10 .

2 volte

n }| {

z

n ⊗ · · · ⊗

x x x.

ii) Denotiamo con il simbolo x il prodotto

Usando l’aritmetica dell’elaboratore per calcolare il valore di s dobbiamo valutare

3 5

⊕

s = f l(x) f l(x) 6 f l(x) 120.

Abbiamo:

3 0

x = = 0.272727 . . ., e quindi f l(x) = 0.273 10 .

11 −1 −1

3 0 0 0 0

⊗ ⊗ ⊗

f l(x) = 0.273 10 0.273 10 0.273 10 = 0.745 10 0.273 10 = 0.203 10 .

−1 −2

3 1

f l(x) 6 = 0.203 10 0.60010 = 0.338 10 −1 −2

5 3 0 0 0 0

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

f l(x) = f l(x) 0.273 10 0.273 10 = 0.203 10 0.273 10 0.273 10 = 0.554 10

−2

0

0.273 10 = 0.151 10 −2 −4

5 3

f l(x) 120 = 0.151 10 0.120 10 = 0.126 10 .

Infine, possiamo calcolare il valore di s:

−2 −4 −4

0 0 0 0

⊕ ⊕ ⊕

s = 0.273 10 0.338 10 0.126 10 = 0.273 10 0.003 10 0.126 10 = 0.270 10

−4 0 0 0

⊕

0.126 10 = 0.270 10 0.000 10 = 0.270 10 .

3 3

iii) Il valore di sin( ) ottenuto con la calcolatrice scientifica è sin( ) = 0.269358 . . . e l’errore

11 11

relativo è tale che 3

|sin( −

) s| −3

11 ' 2.2 10

e =

R 3

|sin( )|

11

6) Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β = 10, arit-

metica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = 4 le cifre a disposizione

della mantissa e n = 1 le cifre per la caratteristica, escluso il segno.

F

i) Si indichi l’insieme dei numeri di macchina ed il valore della precisione di

macchina. 6

ii) Si rappresentino in macchina i seguenti vettori 7

−0.076987), −0.077),

x = (1.25, y = (1.25, z = (−126.46 10 , 16.836)

iii) Usando l’aritmetica dell’elaboratore e la norma 1, si calcoli l’errore relativo a

meno del quale y approssima x.

Svolgimento Esercizio 6

F ∈

i) L’insieme dei numeri di macchina è costituito dai numeri x IR della forma

b

± 6 −9 ≤ ≤

x = 0.a a a a β , dove a = 0, β = 10, b 9.

1 2 3 4 1

F(β, F(10, −9,

Quindi si indica m, L, U ) = 4, 9). 12 1−m

β =

Dato che l’elaboratore opera per arrotondamento, la precisione di macchina è =

m

−3 −4

1 10 = 5.0 10 .

2

ii) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati:

−1 −1

1 1

−0.76987 ⇒ −0.7699

x = (0.125 10 , 10 ) f l(x) = (0.1250 10 , 10 )

−1 −1

1 1

−0.77 ⇒ −0.7700

y = (0.125 10 , 10 ) f l(y) = (0.1250 10 , 10 )

10 2 10 2

⇒

z = (−0.12646 10 , 0.168