Esercizi d'esame comune di Economia politica

ECONOMIA POLITICA (CANALE N-Z) ESERCITAZIONE #1 – MICROECONOMIA - A.A. 2020/2021

DOMANDA E OFFERTA ED ELASTICITA’

ESERCIZIO 1.

Considerate la funzione di domanda di un bene

= 500 + – 5 ,

dove indica il reddito medio dei consumatori di questo mercato.

(A) Determinate la formula dell’elasticità della domanda rispetto al reddito medio dei consumatori, e

,

calcolate il suo valore per e

= 600 = 110.

(B) Spiegate come varia l’elasticità della domanda rispetto al reddito se, a parità di prezzo il reddito

= 110,

passa da a

= 600 = 500.

Soluzione:

(A) La formula che definisce l’elasticità della domanda rispetto al reddito è

∆

=

, ∆

Sostituendo i termini e otteniamo la seguente espressione finale:

∆/∆ = 1 = 500 + – 5

=

, 500 + – 5

la quale, nel caso in cui e restituisce il seguente valore:

= 600 = 110, 600

= = ≈ 1.09

, 500 + – 5 550

Poiché si ha che è possibile stabilire che il bene di riferimento di questo mercato è un bene

> 0,

,

normale.

(B) Se, a parità di prezzo di acquisto del bene, il reddito medio dei consumatori dovesse diminuire di 100 e

passare a il valore dell’elasticità salirebbe a:

= 500, ′ 500

= = ≈ 1.11

, 500 + ′ – 5 450

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ESERCIZIO 2.

Considerate le seguenti funzioni di domanda relative a due diversi mercati di riferimento, A (le cui quantità

sono espresse in Kg) e B le cui quantità sono espresse in litri), di un’impresa:

= 1100 – 5

= 1000 – 5

(A) Stabilite, partendo da un livello di prezzo e in quale mercato al produttore

= 4€/ = 2€/,

converrà aumentare il prezzo di 1€.

(B) Cosa succede al valore dell’elasticità di A se, a parità di prezzo la costante passa da 1100 a 1000?

Soluzione

(A) Per determinare in quale mercato al produttore converrà alzare il prezzo, mettiamo a confronto le elasticità

rispetto al prezzo delle due funzioni di domanda. Nel caso del mercato A si ha:

∆

=

, ∆

da cui, sostituendo ∆ = −10

∆

= 1100 – 5

= 4

si ricava: −10

= ≈ −0.156

, 1100 – 5

Nel caso del mercato B si ha: ∆

= ,

, ∆

da cui, sostituendo ∆ /∆ = −15

= 1000 – 5

= 2

si ricava: −15

= ≈ −0.125

, 1000 – 5

Dai valori delle due elasticità è possibile concludere che entrambi i mercati sono relativamente anelastici.

Tuttavia, il mercato B presenta un’elasticità in valore assoluto minore del mercato A ed è pertanto da preferire

in caso di aumento di prezzo.

(B) Se, a parità di prezzo, la costante della funzione di domanda del mercato A dovesse passare da 1100 a 1000,

l’elasticità della quantità domanda rispetto al prezzo passerebbe da a:

(−0.156)

10

=− ≈ −0.173

, 1000 – 5

La domanda di A diventa più elastica. Pag. 2 di 6

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ESERCIZIO 3

Supponete che siano note le seguenti informazioni:

(i) Elasticità della domanda rispetto al prezzo è pari a -0.5;

(ii) Il prezzo corrente è pari a €0.05 per unità di prodotto;

(iii) Le vendite annuali ammontano a 10 milioni di unità.

(A) Trovate la funzione di domanda lineare di questo mercato che descrive tali dati e rappresentatela su un

piano (P,Q);

(B) Sapendo la funzione di offerta è pari a

= −1.000.000 + 150.000.000

determinate il prezzo e la quantità di equilibrio di questo mercato;

(C) Com’è cambiata l’elasticità della domanda rispetto al prezzo? È sempre uguale a -0.5 o è cambiata?

Soluzione

(A) Sappiamo che lungo una curva di domanda lineare si ha che

= −

,

Usando le informazioni in nostro possesso, la precedente espressione diventa:

0,05

−0,5 = − da cui otteniamo b = 100.000.000

10.000.000

Sostituendo questo risultato nella generica equazione che definisce una funzione di domanda lineare

e poi utilizzando il prezzo e la quantità note in modo da eliminare le variabili Q e P, è possibile

= − ,

scrivere: 10.000.000 = − 100.000.000 × 0,05

da cui otteniamo = 15.000.000

Graficamente la curva di domanda è la seguente: Pag. 3 di 6

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(B) Per determinare prezzo e quantità di equilibrio di questo mercato, risolviamo il seguente sistema

(15

= 1.000.000 − 100)

(150

= 1.000.000 − 1)

∗

= =

Operando per sostituzione otteniamo la seguente coppia di valori di equilibrio per prezzo e quantità

8

∗ ∗

= = 0,064 = 8.600.000

125

(C) Per stabilire in che modo l’elasticità della domanda rispetto al prezzo è variata in corrispondenza del nuovo

punto di equilibrio partiamo dalla seguente formulazione generale:

∗ ∗

⟨ |

= 0,064 = 8.600.000⟩ ∆

=

, ∆

Sostituendo ∆ /∆ = −100.000.000,

(15

= 1.000.000 − 100)

= 8/125

si ricava: 100 32

= −1.000.000 =− ≈ −0,74

, (15

1.000.000 − 100) 43

Infine, mettendo a confronto quanto trovato con il livello iniziale dell’elasticità possiamo concludere

(−0,5)

che l’elasticità della quantità rispetto al prezzo è aumentata in valore assoluto, e che dunque il mercato è

diventato più sensibile a variazioni del prezzo. Pag. 4 di 6

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ESERCIZIO 4

La domanda lineare di un certo bene X è data dalla seguente espressione:

= 700 − 2 − + 10

dove rappresenta il prezzo di X, il prezzo di un altro bene Y, il cui consumo si ritiene essere collegato a

quello di X, e il reddito medio dei consumatori.

(A) Assumendo che e determinate graficamente la curva di domanda di X in uno spazio

= 100 = 10.000,

⟨, ⟩.

(B) Sapendo che la funzione di offerta di X è pari a ,determinate il prezzo di l’equilibrio di

= −100 + 2

questo mercato e stabilite in che relazione si pone rispetto a e

.

(C) X e Y rappresentano beni sostituti o beni complementi? (rispondete facendo ricorso ad un appropriato

indice di elasticità).

Soluzione

(A) Se e la funzione di domanda del bene X diventa:

= 100 = 10.000, 10.000

= 700 − 2 − 100 + = 1600 − 2

10

con cui è possibile tracciare il seguente grafico.

(B) Per determinare il prezzo di equilibrio, risolviamo il seguente sistema

= 700 − 2 − +

⎧ 10

= −100 + 2

⎨ ∗

= =

⎩

Operando per sostituzione è possibile scrivere la seguente condizione di equilibrio:

700 − 2 − + = −100 + 2

10

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Risolvendo per otteniamo:

= 200 − +

4 40

Dalla precedente espressione è possibile pervenire alle seguenti conclusioni:

1. Esiste una relazione inversa tra il prezzo di X è a quello di Y

2. Esiste una relazione diretta tra il prezzo di X è il livello del reddito medio dei consumatori.

(C) Per stabilire quale relazione lega tra loro i beni X e Y, facciamo ricorso al calcolo dell’elasticità incrociata:

∆

= =− < 0, per ogni > 0 e > 0

, ∆ 700 − 2 − + 10

Poiché possiamo concludere che i due beni sono legati tra loro da un rapportp di complementarietà

< 0,

,

nel consumo. Pag. 6 di 6

ECONOMIA POLITICA (CANALE N-Z) ESERCITAZIONE #2 – MICROECONOMIA - A.A. 2020/2021

ESERCIZIO 1 (fatto in classe)

Le preferenze di un consumatore relativamente al consumo di due beni e sono rappresentate dalla seguente

funzione di utilità

(, ) = 2

(A) Calcolate l’utilità marginale relativamente al bene e rappresentate, in grafici diversi, sia l’andamento

dell’utilità totale a parità di sia l’andamento dell’utilità marginale di

.

(B) Determinate l’equazione che definisce la curva di indifferenza associata al livello di utilità = 1000,

rappresentatela in uno spazio e mostrate in quale direzione occorra muoversi per accrescere il livello di utilità

(, )

del consumatore.

(C) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra e e verificate se esso risulta essere decrescente.

Soluzione

(A) Data la funzione di utilità la funzione dell’utilità marginale rispetto a è

(, ) = ( )/2,

(, )

= =

Mettendo a confronto le due funzioni dell’utilità totale e marginale è possibile concludere che, a parità di ,

l’utilità totale presenta un andamento crescente in modo convesso, mentre l’utilità marginale presenta un

andamento crescente in modo lineare (cfr. grafici sotto) MUx

U(x,y) x

x

(B) Fissiamo il livello dell’utilità totale, in modo che valga la seguente relazione tra livello di utilità e

U = 1000,

panieri di consumo: 1000 = ( )/2.

Risolvendo questa equazione per l’equazione che definisce la generica curva di indifferenza associata alla

y,

nostra funzione di utilità è 2000

=

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Dalla precedente espressione deriva che: 1) la curva è monotonicamente decrescente al crescere di (infatti,

derivando rispetto a otteniamo: 2) la curva è strettamente convessa

/ = −4000/ < 0 per ogni > 0);

per (infatti, derivando due volte rispetto a otteniamo:

> 0 / = 12.000/ > 0 per ogni > 0).

Graficamente, la curva d’indifferenza sarà quindi una iperbole come quella riportata dal seguente grafico

SPAZIO DI

ESPANSIONE

DELL'UTILITA'

(C) saggio marginale di sostituzione tra e misura la pendenza in un punto della curva di indifferenza ed è pari

al rapporto: .

= /

,

Nel caso della funzione di utilità questo si scrive

(, ) = ( )/2, 2

= =

,

2

La forma della funzione che definisce il è quella di un’iperbole, per cui è possibile concludere che il

, ,

tende a per che tende a 0 (curva di indifferenza verticale) e a 0 per che tende a (curva di indifferenza

∞ +∞

piatta). Il che significa che la curva di indifferenza tende ad appiattirsi a mano a mano che viene consumato in

dosi maggiori.

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ESERCIZIO 2

Le preferenze di un consumatore relativamente al consumo di due beni e sono rappresentate dalla seguente

funzione di utilità /

(, ) = + 2

(A) Calcolate l’utilità marginale di ognuno dei due beni e rappresentate, in grafici diversi, sia l’andamento dell’utilità

totale sia l’andamento dell’utilità marginale, quando l’altro bene rimane costante.

(B) Determinate l’equazione che definisce la curva di indifferenza associata al livello di utilità = 100,

rappresentatela in uno spazio e mostrate in quale direzione occorra muoversi per accrescere il livello di utilità

(, )

del consumatore.

(C) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra e e verificate se il suo valore assoluto risulta essere

decrescente all’aumentare di .

Soluzione

(A) La funzione di utilità appartiene alla famiglia delle funzioni quasi lineari. Le utilità marginali sono pari a:

1

= √

= 1

I grafici relativi all’andamento dell’utilità totale e all’utilità marginale, quando l’altro bene rimane costante, sono i

seguenti

 

Utilità quando Y è fissato Utilità quando X è fissato

 

U x,y U x,y

x y

ECONOMIA POLITICA (CANALE N-Z) ESERCITAZIONE #2 – MICROECONOMIA - A.A. 2020/2021

MU

MU y

x x y

(B) Per l’equazione che definisce la curva di indifferenza del consumatore si scrive:

= 100, = 100 − 2√

È possibile osservare che esistono due intersezioni per e ognuno dei quali identifica due diversi

= 100 = 2.500,

livelli di sazietà per e Graficamente, la curva d’indifferenza sarà quindi convessa come riportato nel seguente

.

grafico y SPAZIO DI

ESPANSIONE

DELL'UTILITA' x

(C) Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione di questo consumatore ( ) è pari a:

,

1

= =

, √

Il è decrescente all’aumentare di Infatti, si ha che:

.

,

lim =0

,

→

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RISOLVETE I SEGUENTI PROBLEMI

ESERCIZIO 3

Considerate la seguente funzione di utilità relativamente ai due beni e :

/

( )

(, ) = +

(A) Calcolate l’utilità marginale di ognuno dei due beni e rappresentate, in grafici diversi, sia l’andamento dell’utilità

totale sia l’andamento dell’utilità marginale, quando l’altro bene rimane costante.

(B) Determinate l’equazione che definisce la curva di indifferenza associata al livello di utilità = 1.500,

rappresentatela in uno spazio e mostrate in quale direzione occorra muoversi per accrescere il livello di

( , )

utilità del consumatore.

(C) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra e e verificate se il suo valore assoluto risulta essere

decrescente all’aumentare di .

ESERCIZIO 4

Data la seguente funzione di utilità relativamente ai due beni e :

(, ) = 6 + 3

(A) Calcolate l’utilità marginale di ognuno dei due beni e rappresentate, in grafici diversi, sia l’andamento dell’utilità

totale sia l’andamento dell’utilità marginale, quando l’altro bene rimane costante.

(B) Determinate l’equazione che definisce la curva di indifferenza associata al livello di utilità = 360,

rappresentatela in uno spazio e mostrate in quale direzione occorra muoversi per accrescere il livello di

( , )

utilità del consumatore.

(C) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra e e verificate se il suo valore assoluto risulta essere

decrescente all’aumentare di .

ESERCIZIO 5

Le preferenze di un consumatore relativamente al solo bene sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità

(, ) = 100 − 2

(A) Calcolate l’utilità marginale e rappresentate, in grafici diversi, sia l’andamento dell’utilità totale sia l’andamento

dell’utilità marginale.

(B) Verificate per quali quantità di x l’assioma della “non sazietà” non è più valido

ECONOMIA POLITICA (CANALE N-Z) ESERCITAZIONE #3 – MICROECONOMIA - A.A. 2020/2021

Esercizio 1.

Considerate la seguente funzione d’utilità: (, ) = 3 +

e un vincolo di bilancio pari a = +

Calcolate:

(A) le funzioni di domanda del bene e del bene

;

(B) la scelta ottimale del consumatore per e

= 24, = 3 = 2;

(C) il grafico dell’ottimo del consumatore.

Soluzione

(A) La funzione di utilità definisce preferenze lineari e si caratterizza per una mappa di curve

(, ) = 3 +

di indifferenza lineari – quindi rette di indifferenza. In presenza di preferenze lineari, il consumatore considererà

i beni e come sostituti tra loro e tenderà a scambiarli in proporzioni fisse.

Per ottenere le funzioni di domanda del bene e del bene precediamo mettendo a sistema la condizione di

,

ottimo del consumatore, con il suo vincolo di bilancio,

= / = + .

,

Data la funzione di utilità il suo si scrive:

(, ) = 3 + , ,

3

= = =3

, 1

La scelta ottima del consumatore sarà data dalla soluzione del seguente sistema:

3 = /

= +

Dalla prima equazione è possibile concludere che il consumatore si d