Esercizi cinematica dei meccanismi a camma

R

punteria.

con la Questa è la condizione che consente il contatto

senza scivolamento tra camma e rotella, e l’abbiamo

rappresentata tracciando una retta passante per il punto di

contatto.

Dal punto di vista delle velocità assolute, supponiamo ora che la

ω

camma abbia una velocità angolare intorno al punto

camma

P

O . La velocità del punto , che si trova sul bordo della

C

ω ⋅ r r distanza

camma, sarà data da , dove è la

camma OP OP

P

tra e il punto di contatto

O .

C P

antiorario,

Se la camma ruota in senso la velocità di sarà un

C

vettore circonferenza della camma in quella

tangente alla

posizione. Posso scomporre questa velocità in due componenti:

componente punteria

una lungo la direzione di traslazione della

e una componente ortogonale. La stessa analisi può essere

P

velocità rotella,

e ettuata per la del punto della .

R

P rotazione della rotella,

La velocità di , dovuta alla sarà pari a

R

ω ⋅ r raggio della

, con una direzione ortogonale al

rotella rotella

rotella. sommare la velocità di

A questa velocità devo

traslazione della punteria lungo l’asse della punteria.

ff fi fi fi

A nché ci sia contatto senza scorrimento tra rotella e camma, è necessario che la componente

nulla.

della velocità nella direzione normale alle super ci a contatto sia

Con quanto abbiamo appena visto, posso ora procedere a chiarire il comportamento della camma

e della rotella in questo meccanismo. Ripeto, dovrei considerare anche la velocità di scorrimento.

camma rotella

Ciò che abbiamo descritto nora garantisce che la e la si comportino come pro li

coniugati nel moto relativo, assicurando quindi che non vi sia scorrimento tra loro.

Qual è dunque la della rotella lungo l’asse di scorrimento a nché i

velocità di scorrimento

pro li si comportino come E, quindi, come deve essere a nché non vi sia

coniugati?

slittamento? Vediamo di chiarire questo concetto con un esempio.

camma posizione di contatto

Il punto della che si trova in possiede una velocità assoluta, come

rotella, posizione di contatto,

abbiamo già descritto. Anche il punto della situato nella stessa

velocità, componente

avrà una certa di cui una si troverà lungo l’asse di scorrimento. Per

garantire l’assenza di scorrimento, è essenziale che queste componenti di velocità lungo l’asse di

scorrimento siano identiche.

In altre parole, ciò signi ca che, se la componente della velocità della camma lungo l’asse è

rappresentata da un segmento, ottenuto tracciando una perpendicolare in quel punto, tale

componente deve essere uguale alla componente di scorrimento del centro della rotella lungo lo

stesso asse.

Riconosco che questa spiegazione possa sembrare

complessa, quindi procediamo a visualizzare il meccanismo in

modo più chiaro. Innanzitutto, eliminiamo tutti gli elementi di

disegno precedenti per evitare confusione. Disegniamo la

camma punteria

e la nella posizione desiderata e

centro della rotella

posizioniamo il alla distanza r , dove r

rappresenta il raggio della rotella.

È importante precisare che la distanza r non va misurata

lungo una direzione generica, ma esattamente lungo la

B

punto di contatto sulla camma,

congiungente tra il , e il

1

centro della rotella. Con questa rappresentazione, il punto di

contatto tra camma e rotella è chiaramente identi cato.

Ora, con il raggio della rotella de nito, abbiamo identi cato il punto di contatto e possiamo

proseguire con l’analisi delle velocità, mantenendo le componenti necessarie per evitare qualsiasi

scorrimento tra i pro li coniugati.

Ora analizziamo ulteriormente le informazioni a disposizione. Consideriamo la velocità del centro

della rotella: si tratta della velocità del centro della rotella rispetto alla punteria, non della sua

punto di contatto,

velocità assoluta. Tuttavia, nel la velocità è assoluta, poiché perpendicolare al

C

punto di contatto

raggio che congiunge O con il .

1

In primo luogo, assegno la velocità della camma,

velocità angolare della

determinandola in base alla

camma punto di contatto.

e alla posizione del A

questo punto, a nché il contatto non venga perso o

generi scorrimento, le componenti delle velocità

assolute del punto di contatto sulla camma e del

punto di contatto sulla rotella devono essere uguali.

ffi fi ffi fi fi fi fi fi fi fi ffi ffi fi

velocità del punto della rotella, punto di

Consideriamo ora la velocità del cedente. La nel

contatto, camma (cedente)

rispetto alla deve corrispondere alla somma vettoriale della velocità

velocità del

assoluta del punto di contatto della camma e della velocità della rotella. Pertanto, la

punto di contatto della camma, calcolata come prodotto tra la velocità angolare della camma e

la distanza del punto di contatto dal centro, deve corrispondere alla somma delle velocità del

centro della rotella e del punto di contatto della rotella rispetto al cedente.

velocità del punto di contatto della rotella, cedente, direzione

La rispetto al ha una

assegnata, punto di contatto rotella

ma non ancora un modulo determinato. A nché il della e

camma

della si comporti come un punto con velocità unitaria lungo l’asse del cedente, disegno la

direzione del cedente velocità della rotella l’intersezione

parallela alla partendo dalla e trovo

con la retta del cedente per determinare il valore corretto della velocità del cedente.

Procedendo, de niamo alcune notazioni per rendere il sistema più chiaro: con h indichiamo

θ

posizione del centro della rotella rispetto all’origine;

l’alzata, ovvero la con , la coordinata

de nisce la posizione angolare della camma rispetto al sistema di riferimento;

libera che con

e , l’eccentricità; con R , il raggio della camma; con r , il raggio della rotella. Il punto di contatto

B

segmento che collega con il

tra camma e rotella si trova lungo il (centro della camma)

1

con una .

centro della rotella, lunghezza pari alla somma di R e r

Per facilitare l’analisi del movimento,

conviene riferirsi a un “meccanismo

equivalente”, un modello meccanico

sempli cato in cui la posizione e la velocità

di tutti i punti coincidono con quelle del

sistema camma-rotella per un dato valore

della coordinata libera.

fi fi fi ffi

Disegnando questo meccanismo accanto alla rappresentazione della camma, si nota che il

sistema equivalente è un meccanismo a manovella: il raggio della manovella è e , cioè il

OB B di contatto).

segmento , mentre la biella collega e P (punto In questo sistema, il

1 1

pistone ssata biella elemento rigido.

si muove lungo una direzione e la si comporta come un

Pertanto, per ottenere i diagrammi di velocità e di accelerazione del sistema camma-rotella, è

su ciente studiare il meccanismo a manovella equivalente.

Possiamo costruire i diagrammi di velocità e di accelerazione sia per il meccanismo a camma che

per il manovellismo equivalente. Questi diagrammi possono essere realizzati sia in forma analitica,

tramite il poligono delle velocità (ricordate l’approccio con Z_1 + Z_2 = Z_3 ), sia in forma gra ca,

che è la modalità che solitamente preferisco.

Per disegnare il diagramma di velocità del manovellismo, basta seguire le tecniche standard

senza necessità di dettagli aggiuntivi. Analogamente, per il diagramma di accelerazione possiamo

utilizzare la stessa procedura.

Seguendo questa analisi, possiamo poi ottenere il diagramma di alzata, dove per alzata H

posizione del centro della rotella rispetto a un’origine ssa O

intendiamo la . Per ogni valore

θ manovellismo

di , possiamo determinare H azionando il e riportando il risultato su un gra co in

θ

ascisse ordinate

cui l’asse delle rappresenta la coordinata libera e l’asse delle rappresenta

·

H(θ ) H

. Abbiamo così la velocità di alzata, , e l’accelerazione di alzata.

Ora consideriamo un altro tipo di

meccanismo: una camma a disco eccentrico

accoppiata a un bilanciere. Prima di tutto,

O

ssa

dobbiamo assegnare l’origine . La

1

camma è una camma a disco, per cui, una

volta stabilita l’eccentricità, possiamo

la circonferenza su cui ruota il

disegnare

centro del disco. Questo centro viene

posizionato in base al valore della coordinata

θ

libera . O

In questo caso, oltre a , abbiamo un altro

1

O centro di

punto sso, , che rappresenta il

2 O

rotazione del bilanciere, ovvero il cedente. Possiamo speci care la posizione di nel sistema

2

di assi x, y , dove l’asse y è verticale e x è orizzontale. In alcuni casi, è preferibile che l’asse y

di scorrimento della punteria,

coincida con l’asse ma, comunque, è necessario stabilire la

O O

posizione di rispetto a .

2 1

Procediamo quindi a disegnare la camma con

centro C e raggio assegnato. Per chiarezza,

O O

de niamo le coordinate di : in un esempio,

2 2

ha coordinate (400, 200) , con un raggio della

∘

θ = 30

camma di 180 e, per un angolo , la rotella

ha un raggio di 40. È importante anche speci care

la lunghezza del bilanciere, poiché in questo caso

O

elemento rigido che ruota attorno a

è un .

2

Rappresentiamo il bilanciere come un elemento

O

rigido con un centro di rotazione in .

2

ffi

fi fi fi fi fi fi fi fi fi

La posizione del centro della rotella sul bilanciere

O

è ssata a una distanza di 420 da . Per

2

trovare la posizione della rotella, essa deve essere

O

circonferenza centrata in e

collocata su una 2

con raggio pari a 420. Questo vincolo stabilisce

che il centro della rotella si troverà sempre su

questa circonferenza, pur dipendendo dalla

posizione della camma. punto di contatto

Inoltre, conosciamo il raggio della rotella e sappiamo che il deve trovarsi sulla

centro geometrico della camma e il centro della rotella,

congiungente tra il per evitare

Pertanto, il centro della rotella deve trovarsi

scorrimento e garantire il contatto senza urti.

O

sull’asta del bilanciere a distanza 420 da , e questa distanza è un dato assegnato che non

2

pu&o