Fluidodinamica (Teoria ed esercizi)

GRANDEZZE

1. SCALARI: Grandezze definite da un numero che mi indica la quantità e da una unità di misura che la adatta ai misura della grandezza.

t₀ = 100℃; t₀ = 375 K

2. VETTORIALI La grandezza il VETTORE, è definito da MODULO DIREZIONE e VERSO

E₀: velocità composizionale ...

SISTEMA DI RIFERIMENTO CILINDRICO r z o

E⁵ = u_t + S₀ u_t + S₀u_t + S₀u_t

3. TENSORIALI La grandezza, il TENSORE, è definita dall'ORDINE, che indica le q.tà adrà in cui la coordinazione

E₀ SCALARE = tensore di ordine 0 = d⁰ = 1 definito da 1D

VETTORE = tensore di ordine 1 = d¹ = 2 definito da 3D

In generale un tensore è di ordine n in quanto definito da 3 Q.TA SCALARI

OPERATORE "NABLA" L'OPERATORE NABA ∇ è un OPERATORE DIFFERENZIAZIALE SPAZIALE E puo' essere applicato ad ogni tensore (quindi anche vettori e scalari) AMMIANDO o DISTILLANDO Scalari Tensoriali e ponendo così da vachi a vettori da Tensori viciatt.

Sx: S_x (5 u_y) = S₀ cos@ fx

S_m: S₅in un S.R. 2D x/y

- m S.D.R. CARESIANO =  Δ/∂x =  Δ/∂y =  Δ/∂z

Divergenza

L'operatore divergenza diminuisce di 1 unità l'ordine tensoriale della quantità a cui viene applicato.

Quindi nel caso di un vettore \(\underline{S}\): \((S_x, S_y, S_z)\) restituisce uno scalare pari a

\[\underline{\nabla} \cdot \underline{S} = \frac{\partial S_x}{\partial x} + \frac{\partial S_y}{\partial y} + \frac{\partial S_z}{\partial z}\] ← nel S.D.R. cartesiano

Inoltre nel caso di un tensore di \(\underline{T}^{2}\) ordine \(\underline{\nabla}\) ne restituisce un vettore con tre componenti:

\[ \begin{vmatrix} \frac{\partial T_{xx}}{\partial x} & \frac{\partial T_{xy}}{\partial y} & \frac{\partial T_{xz}}{\partial z} \\ T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{\partial T_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial T_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial T_{xz}}{\partial z} \\ \end{vmatrix} → \text{Prodotto scalare esterno} \]

Osservazione:

Nel caso in cui si adotti un S.D.R. cilindrico bisogna prima notare che per un vettore \(\underline{u}\) si hanno:

\(\underline{u} = u_r \, \underline{e_r} + u_{\phi} \, \underline{e_{\phi}} + u_z \, \underline{e_z} \)

Inoltre i versi variano rispetto alle variabili: \(\underline{e_r}\) non varia

\[\frac{\partial \underline{e_{\phi}}}{\partial r} = \frac{\partial \underline{e_{\phi}}}{\partial z} = 0\] \] \[\frac{\partial \underline{e_{\phi}}}{\partial \phi} = \underline{e_r}\] \]

La durata di un vettore rotato col un angolo \(\phi\) produce un vettore uguale ma ruotato di \(\phi\) nel verso positivo della rotazione.

Ne consegue che la divergenza del vettore \(\underline{u}\) nel S.D.R. cilindrico è pari a:

\[ \underline{\nabla} \cdot \underline{u} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \]

• \(\underline{e_r} \cdot \underline{e_{\phi}} = 0\)
• \(\underline{e_{\phi}} \cdot \underline{e_z} = 0\)
• \(\underline{e_z} \cdot \underline{e_r} = 0\)
• \(\underline{e_z} \cdot \underline{e_{\phi}} = 0\)
• \(\underline{e_{\phi}} \cdot \underline{e_r} = 0\)
• \(\underline{e_r} \cdot \underline{e_z} = 0\)

GAS PERFETTI

Volume privo di forze di attrito e forze intermolecolari trascurabili

EQ. STATO GAS PERFETTI

P V = n R_i T

Espo girendo il P ESO RIDURE M^R del gas divin...

P M / P V_i = R_i

P: P = R T

P V = M R = T

Dividendo poi tutto per la massa m risulta

P V / M = R T

Formula gas perfetti è anche possibile ricavare

COEFFICIENTI DI ESPANSIONE TERMICA

Comprimibilità fluido

Elastica di un fluido di variare il proprio volume in seguito a variazione di tensione

Modulo di comprimibilità

Se un fluido ha volume iniziale V dopo aver subito uno DIF... di pressions d

E = dp / dv

dP / dV [Pa]

O a volti viene conte il inverso di E cioè il coefficiente di comprimibilità

Per un gas quasi per tutte allineine E si ottorno messiori osidurti

tipo di traspotizionate

ombando ad esprimere il gradiente della pressione _∇P (in

^∂P/_∂x^∂P/_∂y^∂P/_∂z

tramite i 3 vettori lineari

molcando poi con ^F _F tutti e conbinali tutte le dorisuti delle forze di volumen servono nelle

forma dell'equilibrio: I due esivere come

_{∇P + ρg = ρa}

Il pulso lle volutà di ρ, g, e a per qualsiasi ³ ed ²

variazioni di pressione in funzione della quota

Oblo _uersione _∇P = ρ . g ^{ω 3 posizioni}

_di _S.R E Controm risultati nel caso dinamico (_{^a ≠ 0}) che nel caso statico

_a = 0)

• caso dinamico

• ∂_P / ∂_x = 0
• ∂_P / ∂_y = 0
• ∂_P / ∂_z = ρg - ρ ∂₂

• caso statico

• ∂_P / ∂_x = 0
• ∂_P / ∂_y = 0
• ∂_P / ∂_z = ρg

dP / dz = ρg _☐

L'espresione attuativa vericia durante come varia la funzione ^P relativamenta lungo la cos ^z

z _order trump compla indoli della domicina ^P ú del fidio

Ogabili integrare l'espressione al temp simplito ottimi a persone del tipi di fluidi:

1. Liquidi

Risultliquidihormi un fondos conbrisibili E hoito eachsi esce il pormo

deferimeraa come fluidi incompressibili dinimra con ^V + a |quini l'adeci

dP/dz = ρg ^{P2 = dP}

dP/dz ↔ ^dP_P2d_z

∫ dP/dz + ρg∫dz

a ⁰ ^e conservação

→ P(z) - P(0) = ρg . z

P(Z) = ^{P(0) + ρg + ζ}

P(Z) = ^{P(0)+ ρg . z = pressione quota 0}

P(0) = pressione quota 0

^ρ(l2) - P(10)

I donm = 1⁄03.10⁵ ³Pa

ρ^H2O = _P10kg/m³

p^atm = _1.03 . 10⁵ pa

_ρg

Zol _{P(Z) - P10} = -101,330 m

Zm, _{P(Z) = 222} . P(Z)

2. Gas

Ni goor ha danusia per mon i eatiuata: distinisis interpretazzi gas erogeti o

epreemiote come

F = ρgRT

dP/dz = ρ P / RT → ^rp/P/RT

vazionne di p in funz dell di ^{z domirim di h da dz}

Intatit pollizammo un caso isoteromi con T punti che conzienne che

de - RT → ^{dP - dP -_RT}

de ↓ ⊕

P(z) .

P(0) . ^e-dP - dP →^e_oplus;eZ

→ In _P(2)2/P(0) . ⊕- 2 - ↓

e Z →⊕→ P(L)

SUPERFICI CURVE

Nel caso di SUPERFICI CURVE, si definisce un VOLUME DI CONTROLLO chiudendo la curva con delle SUPERFICI PIANE verticali e orizzontali, che forniscono semplici condizioni all’equilibrio.

Sottolineo il DIAGRAMMA DI CORPO LIBERO le forze, quindi si ottiene come:

W^s → forza peso sul volume

F_Z → forza sulla superficie nel fluido

Dall’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE disegno sempre che:

ΣF_x = F_zx + W_x + F_x = 0 → F_zx + Wx = 0

Dove F_Zx e F_Zy sono le componenti di F_Z che quindi avrà MODULE e DIREZIONE più a:

√(F_zx² + F_zy²) → MODULO

tan⁡(alpha) _(FZy) → DIREZIONE

Di conseguenza, si ha une reazione R^N = F_Z, che è la forza che il fluido esercita sulla superficie.

Pro determinare poi il VERO α^s ell'equilibrio, il BARICENTRO G come (b_Z) ^altitudine. Risale appoggiando l’equilibrio alle rotazioni della superficie.

k: F_x(b_x) - F_y(b_y) + b_z)

f:_z → AFFLUSSO → Verso f. p_z

f:_z → inverso _{calcariamente}

SPINTA DI ARCHIMEDE

Un corpo immerso in un fluido con alcune delle sue varianti di pressione indicate e con una forza perpendicolare ad esso si presenta la SPINTA DI ARCHIMEDE e dell’influsso. Rappresenta volume, fluido portato dal corpo all’immersione.

Avviene invece nel caso di forma parametri che compiono un equilibrio notabile nelle forze, che si fanno eserc((_L)). Con esse funzioni e dimostrammi sul fluido con considerazioni della fluidità:

superfice inferiore con L e p_u

superfice suPEriorE con inf

Continuata e vincolato in qualità con d^S sulla suddetta, con p _z nella forma cilindrica.

• zona inferiore (elementi appoggati sulla superficie inferiore) _composizione risultante da influenze risultanti dalle forze di pressione portate dal diverso
• dF ^inferiore (p _inferiore-p _inferiore)d^s = _d^s

dP = ρg(ζ₂ ζ₁)

dZ = (p _z -p₁) _α ρgdz

dS=p_x d_x = V _{volume comb.} al corpo

Il moto come F Offset nel fluido