Esercizi Analisi matematica I

Tutorato 446 16/01

A.1

\(\lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \log(x+y^2)\)

\(y = mx\)

f(x,0) = \log x = -\infty

f(0,y) = \log(y^2) = -\infty

f(x,mx) = \log(x + x^2) = -\infty

Non dipende da m

Il lim può esistere

f(x,mx^2) = \log(x + mx^4) = -\infty

y = mx^2

Dimostro il lim:

• x = \(\rho \cos \theta\)
• y = \(\rho \sin \theta\)

\(\rho \in [0,+\infty]\)

\(\theta \in [0,2\pi]\)

\(\left| f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) - l \right| \leq g(\rho)\)

Con \(g(\rho) \to 0\) se \(\rho \to 0\)

f(\(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta\)) = \(\log(\rho \cos \theta + \rho^2 \sin^2 \theta) = \log[\rho (\cos \theta + \rho \sin^2 \theta)]\)

= \(\log \rho + \log(\cos \theta + \rho \sin^2 \theta) = \log \rho + \log(\cos \theta)\)

\(\rho \to 0\)

\(\cos \theta < 1\)

Quindi il log \(\leq 0\)

f(ρ cosθ, ρ senθ) ≤ g(ρ) Con g(ρ)→-∞ se ρ→0

=> log g + log (cosθ + ρ senθ) ≤ log g → -∞ se ρ→0

Il limite è verificato

1.2

lim_{(x,y)→(0,0)} log (x⁴y)

f(x,0) = log (x⁴) → +∞

f(0,y) = log (y) → -∞

y = ux f(x,ux) = log (x⁴u³) = log[x⁴(u+x³)]

y=u^x3 f(x,u^x3) = log(x⁴ux⁴) → +∞

Il lim. può esistere

Dimostro: f(ρ cosθ, ρ senθ) > g(ρ) Dove g(ρ) → +∞

f(ρ cosθ, ρ senθ) = log (ρ²cos²θ + ρ²sen²θ) = log ρ² = 2 log ρ > log ρ → +∞

Il limite è verificato e vale uno

1.3

lim_{(x,y)→(0,0)} 1/x⁴y

f(x,0)= 1/x² → +∞

Il limite esiste e vale 0

1.7\(\lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} \frac{1}{{x^2 + y}}\)

f(x, 0): \(\frac{1}{x} \to \infty\)

f(0, y): \(\frac{1}{y} \to \infty\)

f(x, mx) = \(\frac{1}{x(1+m)} \to \pm \infty\) in funzione di m

Il limite non esiste

1.9\(\lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} \frac{\sin y \cdot \sin x}{e^{x^2} \cdot y}\)

f(x, mx) = \(\frac{1}{x(1+m)} \to \frac{0^+}{0^-}\)

Dipende da m \(\Rightarrow\) Il limite non esiste

\(\frac{1}{\rho(\cos\theta + \sin\theta)}\)

Poteva variare in base a \(\theta \Rightarrow\) Non esiste

f(x,y) Non è differenziabile

f(x,y) = ∫₀^x 1/(t⁶ + 2) dt + (x + y)/(1 + e^x⁴)

F(x) = ∫₀^x f(t) dt

F'(x) = f(x)

∂f/∂x = 1/(x⁶ + 2) + 1 ⋅ (1 + e^x⁴) - (x + y) y ⋅ e^x⁴/(1 + e^x⁴)² |_(0,0) = 1/2 + 2/4 = 1

∂f/∂y = 0 + 1 ⋅ (1 + e^x⁴) - (x + y) x e^x⁴/(1 + e^x⁴)² |_(0,0) = 1/2

∂f/∂x, ∂f/∂y continue in (0,0) => f(x,y) Differenziabile

∇f(0,0) = (1, 1/2)